河南省許平汝名校2024−2025學年高三上學期10月期中考試 數(shù)學試題含答案

河南省許平汝名校2024?2025學年高三上學期10月期中考試數(shù)學試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則的真子集個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．52．已知，，向量，滿足，則“，不共線”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知，，，則（

）A． B． C． D．4．若曲線與軸，直線的交點分別為為坐標原點，則向量與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．5．已知是以為直徑的圓上一點，為的中點，則（

）A． B． C． D．6．已知角的始邊為軸的非負半軸，終邊過點，則（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)（為常數(shù)），若在上的最大值為，最小值為，且，則（

）A．6 B．4 C．3 D．28．在中，角為銳角，的面積為，且，則周長的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數(shù)，則（

）A．為偶函數(shù) B．的最小正周期為C．在區(qū)間上單調遞減 D．在上有4個零點10．若實數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．11．已知函數(shù)，則（

）A．的圖象關于點對稱B．為奇函數(shù)C．是的極小值點D．在上有極值三、填空題（本大題共3小題）12．已知，則曲線在點處的切線方程為.13．若定義在上的函數(shù)滿足：，且，則.14．如圖的“心形”曲線恰好是半圓，半圓，曲線組合而成的，則曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積等于.四、解答題（本大題共5小題）15．（1）已知是第三象限角，且是方程的一個實根，求的值；（2）已知，且，求的值.16．已知函數(shù)，且圖象的一個對稱中心到與其相鄰的對稱軸的距離為.(1)求的值及的單調遞增區(qū)間；(2)將圖象上的所有點的橫坐標向右平移個單位長度（縱坐標不變），再向上平移個單位長度，再將縱坐標伸長為原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上存在零點，求的取值范圍.17．在中，角的對邊分別為.(1)求；(2)已知為的平分線，交于點，且為線段上一點，且，求的周長.18．如圖，我們把由平面內(nèi)夾角成的兩條數(shù)軸Ox，Oy構成的坐標系，稱為“完美坐標系”.設，分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，若向量，則把實數(shù)對叫做向量的“完美坐標”.(1)若向量的“完美坐標”為，求；(2)已知，分別為向量，的“完美坐標”，證明：；(3)若向量，的“完美坐標”分別為，，設函數(shù)，x∈R，求的值域.19．已知函數(shù).(1)證明：當時，只有1個零點；(2)當時，討論的單調性；(3)若，設，證明：.

參考答案1．【答案】B【詳解】因為，所以，所以的真子集個數(shù)為個.故選：B.2．【答案】A【詳解】若，不共線，由及平面向量基本定理，得；若，無論，共線與否，都有.綜上，“，不共線”是“”的充分不必要條件.故選：A3．【答案】D【詳解】因為，，，所以.故選：D.4．【答案】C【詳解】依題意，，，解得，故，由，所以，解得，所以，所以，所以.故選：C5．【答案】B【詳解】如圖，連接，，因為是圓的直徑，所以，又，，則，又是的中點，則，.故選：B.6．【答案】D【詳解】由三角函數(shù)的定義，得，，所以，，.故選：D.7．【答案】D【詳解】因為，，令，則，設，，則，所以是奇函數(shù)，最大值為，最小值為，則，由，解得.故選：D.8．【答案】A【詳解】依題意，，由得，即，，由于是銳角，所以，與一正一負，或，若，即，由于，所以，所以，，此不等式組無解，所以不成立.同理可得不成立.所以，所以，所以，.所以，所以三角形的周長，當且僅當時等號成立，所以三角形的周長的最小值為.故選：A9．【答案】AB【詳解】對于A：，顯然為偶函數(shù)，故A正確；對于B：最小正周期，故B正確；對于C：當時，，因為在上單調遞減，所以在上單調遞增，故C錯誤；對于D：由，得，所以在上的零點有，，，共3個，故D錯誤.故選：AB.10．【答案】AC【詳解】因為，可得，當時，可得，令，求導得，令，可得，解得，當時，，函數(shù)在上單調遞增，當時，，函數(shù)在上單調遞減，所以，無最小值，故，當時，可得，令，求導得，令，可得，解得，當時，，函數(shù)在上單調遞減，當時，，函數(shù)在上單調遞增，所以，無最大值，故，故A正確，B錯誤；由，可得，所以，所以，當且僅當，即或時取等號，故C正確；當時，方程，，方程有解，所以，故D錯誤.故選：AC.11．【答案】ABC【詳解】對于A，由易知,即滿足，所以的圖象關于點對稱，可得A正確；對于B，易知，滿足奇函數(shù)定義，即可得為奇函數(shù)，即B正確；對于C，求導可得，不妨只研究當時的單調性，當時，，當時，，可知函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，因此在處取得極小值，所以是的極小值點，即C正確.對于D，由可知，當時，，此時函數(shù)在上是單調遞減的，因此在上沒有極值，即D錯誤.故選：ABC12．【答案】【詳解】，故，又，故曲線在點處的切線方程為，即，故答案為：13．【答案】3【詳解】因為，所以，所以，4為的一個周期，則，又，取，得，所以，故.故答案為：314．【答案】【詳解】設，線段的中點為，如圖，因為曲線關于點對稱，所以可將曲線與軸、軸圍成的區(qū)域割補為直角三角形的區(qū)域，于是曲線與軸、軸圍成的區(qū)域的面積就是直角三角形的面積，即；根據(jù)對稱性，可得曲線與、軸圍成的區(qū)域的面積為，又曲線所圍成的“心形”區(qū)域中，兩個半圓的面積為，所以曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積等于.故答案為：15．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由，得，或，∵是方程的一個實根，且是第三象限角，∴，∴；（2）∵，∴，則，∵，所以，，故，.16．【答案】(1)；單調遞增區(qū)間為：；(2)【詳解】（1）由，因為圖象的一個對稱中心到與其相鄰的對稱軸的距離為，所以其最小正周期為，則，令，解之得；（2）由題意可知將圖象上的所有點的橫坐標向右平移個單位長度（縱坐標不變），再向上平移個單位長度可得，再將縱坐標伸長為原來的2倍，得到函數(shù)，當，所以，令，則條件可化為在時有解，易知在上單調遞減，在上單調遞增，易知，則，解之得.17．【答案】(1)；(2).【詳解】（1），，，，，，，又，.（2）因為BD為的平分線，，所以，又，，所以，即，①由余弦定理，得，即，②由①②可得（舍去負值），，所以a，c是關于的方程的兩個實根，解得.又因為BD為的平分線，所以，又，，所以，，所以的周長為.18．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【詳解】（1）因為的“完美坐標”為，則，又因為，分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，且夾角為，所以,，所以.（2）由（1）知，所以，即.（3）因為向量，的“完美坐標”分別為，，由（2）得.令，則，因為x∈R，所以，即，令，因為的圖象是對稱軸為，開口向上的拋物線的一部分，所以當時，取得最小值，當時，取得最大值，所以的值域為.19．【答案】(1)證明見解析(2)答案見詳解(3)證明見解析【詳解】（1）當時，，則函數(shù)的定義域為，恒成立，所以在單調遞增，且，根據(jù)零點唯一性定理可知，只有1個零點為0.（2），因為，所以定義域為，，因為，