湖南省多校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考 數(shù)學(xué)試題含答案

湖南省多校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．在空間直角坐標(biāo)系中，直線過(guò)點(diǎn)且以為方向向量，為直線上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足的關(guān)系式是（

）A． B．C． D．3．已知總體劃分為3層，按比例用分層隨機(jī)抽樣法抽樣，各層的樣本量及樣本平均數(shù)如下表：分層樣本量樣本平均數(shù)第一層1055第二層3075第三層1090估計(jì)總體平均數(shù)為（

）A．73 B．74 C．76 D．804．設(shè)，直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B．2 C． D．6．如圖，在異面直線上分別取點(diǎn)和，使，且，若，則線段的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．7．已知圓臺(tái)的上?下底面圓周上的點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且圓臺(tái)的上?下底面半徑分別為1，3，高為4，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．8．如圖所示，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，且，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．如圖，在三棱錐中，分別是棱的中點(diǎn)，是和的交點(diǎn)，則（

）A．四邊形是平行四邊形B．平面C．三棱錐的體積小于三棱錐的體積D．10．已知圓與圓相交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），則（

）A．直線的方程是B．四點(diǎn)不共圓C．圓的過(guò)點(diǎn)的切線方程為D．11．已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，且為奇函數(shù)，則（

）A． B．為定值C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線在軸上的截距為1，則.13．從集合中任取2個(gè)不同的數(shù)分別作為一個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則得到的對(duì)數(shù)值為整數(shù)的概率是.14．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中有這樣一個(gè)結(jié)論：平面內(nèi)與兩點(diǎn)距離的比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人稱(chēng)這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.已知點(diǎn)，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知直線的方程為，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和.(1)若，求的值；(2)若當(dāng)變化時(shí)，總過(guò)定點(diǎn)，求.16．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減且，(1)求的解析式；(2)求使成立的的取值范圍.17．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.(1)求；(2)若的面積為，求.18．如圖，在三棱錐中，分別是棱，上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且.(1)證明：平面平面.(2)設(shè)，則當(dāng)為何值時(shí)，的長(zhǎng)度最?。?3)當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，求平面與平面的夾角的余弦值.19．已知圓，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為.(1)求的方程；(2)討論與圓的位置關(guān)系；(3)若與圓相交于兩點(diǎn)，圓心到的距離為，圓的圓心在線段上，且圓與圓相切，切點(diǎn)在劣弧上，求圓的半徑的最大值.

參考答案1．【答案】D【詳解】由可得，故對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限，故選：D2．【答案】A【詳解】由方向向量得，又因?yàn)椋?故選：A.3．【答案】B【詳解】依題意，估計(jì)總體平均數(shù)為.故選：B4．【答案】A【詳解】因?yàn)橹本€，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即可以推出，當(dāng)時(shí)，，解得或，又時(shí)，，此時(shí)，所以推不出，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A.5．【答案】C【詳解】點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，又的幾何意義為直線上的點(diǎn)到的距離，故最小值為到直線的距離，即最小值為故選：C．6．【答案】C【詳解】如圖，過(guò)作，過(guò)作于，連接，因?yàn)?，所以，又，，面，所以面，又面，所以，又易知，所以，又，所以，在中，，所以，在中，，，所以，又，所以?/p>

故選：C.7．【答案】D【詳解】如圖：設(shè)，則∵圓臺(tái)的上?下底面圓周上的點(diǎn)都在同一個(gè)球面上∴解得則∴表面積：故選：D8．【答案】D【詳解】如圖連接,則由題可知，∴，，，∴，在中,,,在中,故選：D.9．【答案】ABD【詳解】對(duì)于A中，在三棱錐中，分別是棱的中點(diǎn)，可得且，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以A正確；對(duì)于B中，在中，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，可得，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，所以B正確；對(duì)于C中，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，可得，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離也為，因?yàn)?，，又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，可得，所以，所以，所以三棱錐的體積等于的體積，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危傻?，因?yàn)椋?，則，所以D正確.故選：ABD.10．【答案】AC【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)閳A與圓，兩圓方程相減得到，即直線的方程是，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，由和，解得或，即，，又，所以中點(diǎn)為，則，又，所以到四點(diǎn)距離相等，即四共圓，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，由選項(xiàng)B知，所以，得到圓的過(guò)點(diǎn)的切線方程為，整理得到，所以選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)椋?，在中，由余弦定理得，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AC.11．【答案】ABC【詳解】∵，則，則關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，∵為奇函數(shù)，則，即，則，故A選項(xiàng)正確；∵，∴關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即，由可得，則，即，則，可知4為函數(shù)的周期，∴為定值，故B選項(xiàng)正確；，故C選項(xiàng)正確；，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：ABC12．【答案】【詳解】因?yàn)橹本€，令，得到，由題有，解得，故答案為：.13．【答案】【詳解】從集合中任取2個(gè)不同的數(shù)共有種取法；作為一個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則得到的對(duì)數(shù)值為整數(shù)的情況有：，共2種，∴概率故答案為：14．【答案】9【詳解】令，則．由題意可得圓是關(guān)于點(diǎn)，的阿波羅尼斯圓，且，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，整理得，由題意得該圓的方程為，即所以，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，當(dāng)時(shí)，此時(shí)最小，最小值為，因此當(dāng)時(shí)，的值最小為，故答案為：9

15．【答案】(1)或.(2)【詳解】（1）直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和,所以，所以直線的斜率為，因?yàn)橹本€的斜率為，,所以,解得或.（2）直線的方程為可以改寫(xiě)為,由，解得，所以總過(guò)定點(diǎn),根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式,16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，∴fx的最小正周期，解得.，由“五點(diǎn)法”可知..（2）由（1）可知，，，解得，的取值范圍是.17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，得到，又，，得到，即，所以，得到，又，所以，所以，解得.（2）因?yàn)?，由?）知，所以，由正弦定理，得到，又，所以，又的面積為，所以，整理得到，解得.18．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)時(shí)，的長(zhǎng)度最小(3)【詳解】（1）由于又平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）作交于，連接，由于平面，故平面，平面，故，，故，，故又易知是等腰直角三角形，由余弦定理可得，故，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)的最小值為.（3）由于，故，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為和軸，以過(guò)點(diǎn)垂直與平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，當(dāng)時(shí)，分別為的中點(diǎn)，則，，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，可得平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的所成角為，則，故平面與平面的所成角的余弦值為.19．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析(3).【詳解】（1）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，解得的方程為.（2）圓的方程可變形為，則圓心的坐標(biāo)為，且，解得或，圓的