2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章隨機(jī)變量及其分布2.4正態(tài)分布作業(yè)含解析新人教A版選修2-3

PAGE其次章2.4【基礎(chǔ)練習(xí)】1.(多選)下列關(guān)于正態(tài)曲線特點(diǎn)的敘述中正確的是()A.曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱(chēng)，整條曲線在x軸上方B.曲線對(duì)應(yīng)的正態(tài)總體概率密度函數(shù)是偶函數(shù)C.曲線在x＝μ到處于最高點(diǎn)，由這一點(diǎn)向左右兩邊延長(zhǎng)時(shí)，曲線漸漸降低D.曲線的對(duì)稱(chēng)位置由μ確定，曲線的形態(tài)由σ確定，σ越大曲線越“矮胖”，反之，曲線越“瘦高”【答案】ACD2．設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N(μ1，σeq\o\al(2,1))(σ1>0)和N(μ2，σeq\o\al(2,2))(σ2>0)的密度函數(shù)圖象如圖所示，則()A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2【答案】A3．設(shè)隨機(jī)變量X～N(3，σ2)，若P(X>m)＝0.3，則P(X>6－m)＝()A．0.3 B.0.4C.0.6 D．0.7【答案】D4．設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f(x)的圖象且f(x)＝φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(8π))e－eq\f(x－102,8)，則這個(gè)正態(tài)總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別是()A．10與8 B．10與2C．8與10 D．2與10【答案】BN(10,0.12),現(xiàn)抽取500袋樣本，X表示抽取的面粉質(zhì)量在區(qū)間(10,10.2)內(nèi)的袋數(shù)，則X的數(shù)學(xué)期望約為()注：若Z~N(μ,σ2)，則P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.A.171 B.239 C.341 D.477【答案】B6.(2024年唐山模擬)已知隨機(jī)變量X聽(tīng)從正態(tài)分布N(3，σ2)，且P(X＜5)＝0.8，則P(1＜X＜3)＝.【答案】0.37.(2024年湖南模擬)某市高三年級(jí)26000名學(xué)生參與了2024年3月模擬考試，已知數(shù)學(xué)考試成果X~N(100,σ2).統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成果X在80分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的eq\f(3,4)，則數(shù)學(xué)成果不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為_(kāi)_________．【答案】3250【解析】因?yàn)槌晒鸛~N(100,σ2)，所以正態(tài)分布曲線關(guān)于X=100對(duì)稱(chēng)，又成果在80分到120分之間的人數(shù)約占總?cè)藬?shù)的eq\f(3,4)，所以成果不低于120分的學(xué)生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的eq\f(1,2)×(1-eq\f(3,4))=eq\f(1,8)，所以此次考試成果不低于120分的學(xué)生約有eq\f(1,8)×26000=3250.8．某一部件由三個(gè)電子元件按如圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作．設(shè)三個(gè)電子元件的運(yùn)用壽命(單位：小時(shí))均聽(tīng)從正態(tài)分布N(1000,502)，且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立，求該部件的運(yùn)用壽命超過(guò)1000小時(shí)的概率．【解析】由題意知每個(gè)電子元件運(yùn)用壽命超過(guò)1000小時(shí)的概率均為eq\f(1,2)，元件1或元件2正常工作的概率為1－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，∴該部件的運(yùn)用壽命超過(guò)1000小時(shí)的概率為eq\f(1,2)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,8).【實(shí)力提升】9.(2024年鄂爾多斯期末)已知隨機(jī)變量X～N(6,1)，且P(5<X<7)＝a，P(4<X<8)＝b，則P(4<X<7)＝A.eq\f(b－a,2)B.eq\f(b＋a,2)C.eq\f(1－b,2)D.eq\f(1－a,2)【答案】D【解析】由題意得，該正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)軸為x＝100，且σ＝2，則質(zhì)量在[96,104]內(nèi)的產(chǎn)品的概率為P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9545，而質(zhì)量在[98,102]內(nèi)的產(chǎn)品的概率為P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6827，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性知，質(zhì)量在[98,104]內(nèi)的產(chǎn)品的概率為0.6827＋eq\f(0.9545－0.6827,2)＝0.8186，據(jù)此估計(jì)質(zhì)量在[98,104]內(nèi)的產(chǎn)品的數(shù)量為10000×0.8186＝8186(件).10.(2024年鄂爾多斯期末)已知隨機(jī)變量X~N(6,1)，且P(5<X<7)=a,P(4<X<8)=b，則P(4<X<7)=A.eq\f(b-a,2)

B.eq\f(b+a,2)

C.eq\f(1-b,2)

D.eq\f(1-a,2)【答案】B【解析】因?yàn)閄~N(6,1)，則正態(tài)分布曲線關(guān)于x=6對(duì)稱(chēng)，所以P(4<X<5)=P(7<X<8)=eq\f(1,2)[P(4<X<8)-P(5<X<7)]=eq\f(b-a,2).所以P(4<X<7)=P(4<X<5)+P(5<X<7)=eq\f(b-a,2)+a=eq\f(b+a,2).故選B.11．(2024年泉州二模)若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)是φμ，σ(x)＝eq\f(1,2\r(2π))e－eq\f(x＋22,8)(x∈R)，則E(2X－1)＝________.【答案】－5【解析】依題意，得σ＝2，μ＝－2，則E(2X－1)＝2E(X)－1＝2×(－2)－1＝－5.12.(2024年梧州期末)從某公司生產(chǎn)線生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取1000件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)，由檢測(cè)結(jié)果得如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求這1000件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的樣本平均數(shù)eq\o(\s\up10(_),\s\do0(x))和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(2)由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z近似聽(tīng)從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)eq\o(\s\up10(_),\s\do0(x)),σ2近似為樣本方差s2.①利用該正態(tài)分布，求P(175.6<Z<224.4)；②已知每件該產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為10元，每件合格品(質(zhì)量指標(biāo)值Z∈(175.6,224.4))的定價(jià)為16元；若為次品(質(zhì)量指標(biāo)值Z?(175.6,224.4))，除了全額退款外且每件次品還須賠付客戶(hù)48元.若該公司賣(mài)出100件這種產(chǎn)品，記這些產(chǎn)品的利潤(rùn)為Y元，求E(Y).附:eq\r(150)≈12.2，若Z~N(μ,σ2)，則P(μ-σ<Z<μ+σ)≈0.68，P(μ-2σ<Z<μ+2σ)≈0.95.【解析】(1)由題意得eq\o(\s\up10(_),\s\do0(x))=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，則s2=(170-200)2×0.02+(180-200)2×0.09+(190-200)2×0.22+(200-200)2×0.33+(210-200)2×0.24+(220-200)2×0.08+(230-200)2×0.02=150.(2)①由(1)可得μ=200,σ=eq\r(150)≈12.2，則Z~N(200,12.22),所以P(175.6<Z<224.4