2023年江西中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)試題分類(lèi)匯編：幾何壓軸題（解析版）

專(zhuān)題07幾何壓軸題

1.（2022?江西）綜合與實(shí)踐

問(wèn)題提出

某興趣小組在一次綜合與實(shí)踐活動(dòng)中提出這樣一個(gè)問(wèn)題：將足夠大的直角三角板尸ERNP=90。,/尸=60。）

的一個(gè)頂點(diǎn)放在正方形中心。處，并繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，探究直角三角板PEF與正方形ABCD重疊部分的

面積變化情況（已知正方形邊長(zhǎng)為2）.

操作發(fā)現(xiàn)

（1）如圖1,若將三角板的頂點(diǎn)P放在點(diǎn)。處，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)O尸與03重合時(shí)，重疊部分的面積為

當(dāng)O/與3c垂直時(shí)，重疊部分的面積為—；一般地，若正方形面積為S,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，重疊部

分的面積y與S的關(guān)系為—；

類(lèi)比探究

（2）若將三角板的頂點(diǎn)廠放在點(diǎn)。處，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，OE,OP分別與正方形的邊相交于點(diǎn)N.

①如圖2,當(dāng)=CN時(shí)，試判斷重疊部分AOA/N的形狀，并說(shuō)明理由；

②如圖3,當(dāng)CM=QV時(shí)，求重疊部分四邊形OMCN的面積（結(jié)果保留根號(hào)）；

拓展應(yīng)用

（3）若將任意一個(gè)銳角的頂點(diǎn)放在正方形中心。處，該銳角記為NG?！埃ㄔO(shè)NG（汨=e）,將NGO"繞

點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，/GO8的兩邊與正方形ABCD的邊所圍成的圖形的面積為邑，請(qǐng)直接

寫(xiě)出邑的最小值與最大值（分別用含。的式子表示）.

圖1圖2圖3

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】（1）如圖1，若將三角板的頂點(diǎn)P放在點(diǎn)。處，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)O尸與重合時(shí)，OE與OC重

合，此時(shí)重疊部分的面積=\OBC的面積=,正方形ABCD的面積=1；

4

當(dāng)OF與垂直時(shí)，OE^BC,重疊部分的面積正方形ABCD的面積=1；

4

一般地，若正方形面積為S,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，重疊部分的面積S]與S的關(guān)系為S]=LS.

114

理由：如圖1中，設(shè)O尸交AB于點(diǎn)/,O石交5C于點(diǎn)K,過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)M,ON1BC于點(diǎn)、N.

圖1

?O是正方形ABCD的中心,

.OM=ON,

-ZOMB=ZONB=ZB=90°,

.四邊形OMBN是矩形,

?OM=ON,

四邊形OMBN是正方形,

.ZMON=ZEOF=90°,

.ZMOJ=ZNOK,

-ZOMJ=ZONK=90°,

.AOMJ=AONK(AAS),

,S"MJ~S^oNK'

,S四邊形OKR7=S正方形OMBN=4S正方形MCD

.S.=-S.

14

故答案為：1,1,s-s.

1=4

(2)①如圖2中，結(jié)論：AOMN是等邊三角形.

圖2

理由：過(guò)點(diǎn)O作OT_L5C,

-.?O是正方形ABCD的中心，

...BT=CT,

???BM=CN,

:.MT=TN，

?;OT工MN,

:.OM=ON,

?;ZMON=60。，

「.AMON是等邊三角形;

②如圖3中，連接OC,過(guò)點(diǎn)O作Q7L3C于點(diǎn)八

圖3

?.?CM=CN,ZOCM=NOCN,OC=OC,

:,AOCM=AOCN(SAS),

二Z.COM=ZCON=30°,

ZOMJ=/COM+ZOCM=75°,

???OJ工CB,

.?.ZJOAZ=90o-75o=15°,

,;BJ=JC=OJ=1,

JM=OJtanl50=2-y/3,

.-.CM=CJ-M7=l-(2-T3)=^-l,

S四邊形ca/cN=2x彳xCMxOJ=^/3-1?

(3)如圖4—1中，過(guò)點(diǎn)O作OQLBC于點(diǎn)。，當(dāng)BM=QV時(shí)，AOMN的面積最小，即邑最小.

在RtAMOQ中，MQ=OQ-tan￡=tan￡,

(y

..MN=2MQ=2tan—,

1CL

，2=^AOMN=~XMNxOQ=tan-.

如圖4—2中，當(dāng)CM=CN時(shí)，S?最大.

同法可證ACOM=ACON,

:.ZCOM=-a，

2

ZCOQ=45°,

ZMOQ=45°-^a,

QM=OQ-tan（45°-：a）=tan（45°-；or）,

;.MC=CQ_MQ=l_tan（45。一ga）,

/.S2=2SACMO=2xxCMxOQ=1-tan（45°-.

2.（2021?江西）課本再現(xiàn)

（1）在證明“三角形內(nèi)角和定理”時(shí)，小明只撕下三角形紙片的一個(gè)角拼成圖1即可證明，其中與NA相

等的角是_NDCE'_；

（2）如圖2,在四邊形ABCD中，NABC與44DC互余，小明發(fā)現(xiàn)四邊形ABCO中這對(duì)互余的角可類(lèi)比（1）

中思路進(jìn)行拼合：先作NCDF=ZABC,再過(guò)點(diǎn)C作Cd）尸于點(diǎn)E,連接鉆，發(fā)現(xiàn)4）,DE,AE之

間的數(shù)量關(guān)系是—；

方法運(yùn)用

（3）如圖3,在四邊形ABCD中，連接AC,N54C=90。，點(diǎn)O是AACD兩邊垂直平分線的交點(diǎn)，連接。4,

ZOAC=ZABC.

①求證：ZABC+ZADC=90°；

②連接5。，如圖4,已知A0=根，DC=n,——=2,求瓦）的長(zhǎng)（用含機(jī)，〃的式子表示）.

AC

圖3圖4

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】（1）解：如圖1中，由圖形的拼剪可知,ZA=NDCE',

故答案為：ZDCE'.

ZADC+ZABC=90°,ZCDE=ZABC,

ZADE=ZADC+ZCDE=90°,

AD2+DE2=AE2.

故答案為：Alf+DE2=AE2.

(3)①證明：如圖3中，連接OC,作AADC的外接圓OO.

圖3

?.?點(diǎn)。是AACD兩邊垂直平分線的交點(diǎn)

.?.點(diǎn)O是AADC的外心，

:.ZAOC=2ZADC,

-.OA=OC,

:.ZOAC=ZOCA,

?/ZAOC+ZOAC+ZOCA=180°,ZOAC=ZABC,

/.2ZADC+2ZABC=180°,

「.ZADC+ZAB。=90°.

②解：如圖4中，在射線。。的下方作NCDT=NABC,過(guò)點(diǎn)。作CT_LOT于T.

???NC7D=NC4B=90。，NCDT=ZABC,

ACTD^ACAB，

CDCT

:.ZDCT=ZACB

~CB~~CA

罟T，3="A

..ADCB^ATCA,

.BDCB

…AT-C4'

AB-

???--=2,

AC

AC:BA:BC=CT:DT:CD=1:2:y/5,

:.BD=45AT,

?.?ZADT=ZADC+ZCDT=ZADC+ZABC=90°,DT=^—n,AD=m,

5

:.AT=-JAD。+DT。=Jm2+(^-n)2=Jm2+|ra2,

BD=^5nr+4n2.

3.（2020?江西）某數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組在學(xué)習(xí)了勾股定理之后，針對(duì)圖1中所示的“由直角三角形三邊向外

側(cè)作多邊形，它們的面積工，S2,S3之間的關(guān)系問(wèn)題”進(jìn)行了以下探究：

類(lèi)比探究

(1)如圖2,在RtAABC中，3c為斜邊，分別以鉆，AC,3c為斜邊向外側(cè)作RtAABD,RtAACE,

RtABCF,若N1=N2=N3,則面積S「S2,1之間的關(guān)系式為+星=Ss_；

推廣驗(yàn)證

(2)如圖3,在RtAABC中，3C為斜邊，分別以AB,AC,3c為邊向外側(cè)作任意AABD,AACE,ABCF,

滿足4=N2=N3,ZD=ZE=ZF,則(1)中所得關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若

不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

拓展應(yīng)用

(3)如圖4,在五邊形ABCDE中，ZA=ZE=ZC=105°,ZABC=90°,AB=2.^/3,DE=2,點(diǎn)、P在AE

上，ZABP=30°,PE=42,求五邊形ABCDE的面積.

【詳解】類(lèi)比探究

(1)?jNl=N3,ZD=ZF=90°,

:.AADB^ABFC,

.S11ADB_ZAB2

SABFCBC

同理可得：^=(—)2,

s.cBC

AB2+AC2=BC~,

S.S,AB,,,AC、，AB2+Aa

—+—=(—)-+(—廠=-----—

2

S3S3BCBCBC

S{+S2=S3J

故答案為：品+邑=邑.

(2)結(jié)論仍然成立，

理由如下：?.?N1=N3,ZD=NF,

:.AADBs^BFC,

.?京-BC'

同理可得：心皿=（4￡）2,

S.cBC

222

???AB+AC=BCf

Sy+S2=S39

(3)過(guò)點(diǎn)A作AH_LBP于H,連接PD,BD,

圖4

■.■ZABH=3Q°,AB=26,

:.AH=j3,BH=3,N3AH=60°,

?.?ZBAP=105°,

:.ZHAP=45°,

-.■AH±BP,

ZHAP=ZAPH=45°,

PH=AH=y/3,

AP=j6,BP=BH+PH=3+6,

.BP-AH(3+?634+3

..AABP_2_22

■■PE=yf2,ED=2,AP=娓,AB=2-j3,

P￡_V2_A/3DE2_A/3

"AP~y/6~3AB-2退一3，

.PEED

"~AP~^B?

&ZE=ZBAP=105°,

^ABPs.DP，

PDPEy/3

:.ZEPD=ZAPB=45°,

BP~AP~3

.?.ZBPD=90°,PD=1+C,

BPPD=(3+g).(l+6)=2百+3

SgPD22—

AABP^AEDP,

,q_13A/3+3A/3+1

.."DE_3x22

3NPBD=a=2,

BP3

:.ZPBD=30°,

ZCBD=ZABC-ZABP-ZPBD=30°,

/.ZABP=ZPDE=ZCBD,

又?.?ZA=N￡=NC=105。，

AABP^AEDP^ACBD,

由(2)的結(jié)論可得：5甌口=SAABP+S^)PE=3拒;3+力+1=2人+2,

二.五邊形ABCDE的面積=述9+3里+2用2+2石+3=6用7.

22

4.(2019?江西)在圖1,2,3中，已知wWCD,ZABC=120°,點(diǎn)E為線段3c上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE,以

(2)如圖2,連接AF.

①填空：ZFADZEAB(填"<"，"二”)；

②求證：點(diǎn)尸在NABC的平分線上；

(3)如圖3,連接EG,DG,并延長(zhǎng)DG交84的延長(zhǎng)線于點(diǎn)X,當(dāng)四邊形AEGH是平行四邊形時(shí)，求生

AB

的值.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】(1)??,四邊形但G是菱形，

ZAEF=180。—ZE4G=60。，

/.ZCEF=ZAEC-ZAEF=60°,

故答案為：60°；

(2)①?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

.?.ZDAB=180°-ZABC=60°,

???四邊形AEFG是菱形，NE4G=120。，

.\ZFAE=6Q°,

:.ZFAD^ZEAB,

故答案為：=；

②當(dāng)E4v5石時(shí)，如圖2—1,作于7W_LB4交84的延長(zhǎng)線于N,

貝IZFNB=ZFMB=90°，

,\ZNFM=6O°f又ZAFE=60。，

,\ZAFN=ZEFM9

?.?EF=EA,ZFAE=6O°,

.?.AAEF為等邊三角形，

:.FA=FE,

在AAFN和AEFM中，

"AFN=ZEFM

<ZFNA=ZFME,

FA=FE

/.AAFN=AEFM(AAS)

:.FN=FM,又FM工BC,FNLBA,

二.點(diǎn)尸在ZABC的平分線上，

當(dāng)54=BE時(shí)，如圖3,連接AF,

-.BA=BE,ZABC=120°,

:.ZBAE=ZBEA=30°,

???NE4G=120。，四邊形AEFG為菱形，

.-.ZE4F=60°,又EA=EF,

；.AA￡F為等邊三角形，

:.ZFEA=60°,FA=FE,

貝UN/=XB=NFffi=90。，又Fk=FE,

點(diǎn)廠在ZABC的平分線上，

當(dāng)時(shí)，同理可證，點(diǎn)尸在NABC的平分線上,

綜上所述，點(diǎn)廠在NABC的平分線上；

(3)設(shè)線段ZM,GE相交于點(diǎn)N,

?.?四邊形AEFG是菱形，NE4G=120。，

.,.ZAGr=60。,

:.ZFGE=ZAGE=30°,

?.?四邊形AEGH為平行四邊形，

:.GE//AH,

ZGAH=ZAGE=30°,ZH=ZFGE=30°,

:.ZGAN=90°,又ZAGE=30°,

:.GN=2AN,

?：ZDAB=GQ°,ZH=30°,

:.ZADH=30°,

；.AD=AH=GE,

?.?四邊形ABCD為平行四邊形，

BC=AD,

:.BC=GE,

\-ZDAE=ZEAB=30°,

.??平行四邊形ABEN為菱形，

：.AB=AN=NE,

GE^3AB,

BC1

5.(2018?江西)在菱形ABCD中，ZABC=60°,點(diǎn)P是射線BD上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊向右側(cè)作等邊AAPE,

點(diǎn)E的位置隨著點(diǎn)尸的位置變化而變化.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD內(nèi)部或邊上時(shí)，連接CE,3P與CE的數(shù)量關(guān)系是_3尸=原_,CE

與4)的位置關(guān)系是一；

(2)當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD外部時(shí)，(1)中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理

由(選擇圖2,圖3中的一種情況予以證明或說(shuō)理)；

(3)如圖4,當(dāng)點(diǎn)尸在線段班)的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接3E,若AB=2也,BE=2^/19,求四邊形ADPE的

面積.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】(1)如圖1中，結(jié)論：PB=EC,CEYAD.

理由：連接AC.

?.?四邊形ABCD是菱形，ZABC=60°,

:.AABC,AACD都是等邊三角形，ZABD=ZCBD=30°,

:.AB=AC,ZBAC=60°,

?.?AAPE是等邊三角形，

;.AP=AE,ZPAE=G0°,

\ZBAC=ZPAE,

:.ZBAP=Z.CAE,

AB=AC

<ZBAP=ZCAE,

AP=AE

:.ABAP=ACAE,

:.BP=CE,ZABP=ZACE=30°,

延長(zhǎng)CE交AD于"，

ZCAH=60°,

,\ZCAH+ZACH=90°,

ZAHC=90°,即CE_LAD.

故答案為依=￡C,CELAD.

（2）結(jié)論仍然成立.

圖2

理由：選圖2,連接AC交BD于O,設(shè)CE交4D于〃.

???四邊形ABCD是菱形，ZABC=60°,

.-.AABC,AACD都是等邊三角形，ZABD=ZCBD=30°,

:.AB=AC,Z^4C=60°,

?.?AAPE是等邊三角形，

,\AP=AE,ZR4E=60°,

:,ZBAP=Z.CAE.

AB=AC

<ZBAP=ZCAE,

AP=AE

:.\BAP=\CAE,

:.BP=CE,ZPBA=ZACE=30°,

\-ZCAH=60°,

.-.ZC4H+ZACH=90°,

.*.ZAHC=90°,即CE_LAZ).

選圖3,連接AC交BD于O,設(shè)CE交AD于H.

???四邊形ABCD是菱形，ZABC=60°,

/.AABC,AACD都是等邊三角形，ZABD=ZCBD=30°,

:.AB=AC,ZBAC=60°,

???AAPE是等邊三角形，

:.AP=AE,ZE4E=60。，

.\ZBAP=ZCAE.

AB=AC

<ZBAP=ZCAE,

AP=AE

:.ABAP=ACAEf

:.BP=CE,ZABP=ZACE=30°,

vZC4/f=60°,

Z.CAH+ZACH=90°,

.\ZAHC=90°,即CEJ_AT).

(3)NBAP=\CAE,

E

由(2)可知￡C_LAD,CE=BP,

在菱形ABCD中，ADIIBC,

,\EC±BC,

?：BC=AB=26BE=2M,

在RtABCE中，EC=7(2A/19)2-(2A/3)2=8,

,?.BP=CE=8,

???AC與BD是菱形的對(duì)角線,

:.ZABD=-ZABC=30°,ACLBD,

2

/.BD=2BO=2AB?cos30°=6,

:.OA=-AB=y/3,DP=BP—BD=8—6=2,

2

:.OP=OD+DP=5,

在RtAAOP中，AP=sjAO2+OP2=277,

S四邊形ADPE=S^DP+3AA￡P(guān)=-X2x^3+

E

B

C

圖3

6.(2022?南昌模擬)已知正方形ABCD與正方形AEFG,正方形MFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周.

(1)如圖1,連接3G、CF,

①求”的值;

BG

②求NBbC的度數(shù).

(2)當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至圖2位置時(shí)，連接CF、BE,分別取CF、BE的中點(diǎn)M、N,連接MN,

猜想MN與況的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

CD

F

E

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】(1)①如圖1,連接AF，AC,

?.?四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形,

AC=y[2AB,AF=0AG,ZCAB=ZGAF45°,

ZGAF+ZCAG=Z.CAB+Z.CAG

ACAF

,\ZCAF=ZBAG,—=——

ABAG

.'.ACAF^ABAG,

②???AC是正方形BCD的對(duì)角線，

,-.ZABC=90°,ZACB=45°,

在A5cH中，ZBHC=180°-(ZHBC+ZHCB)

=180°-(Z/ffiC+ZACB+ZACF)

=180°-(Z/ffiC+ZACB+ZABG)

=180°-(ZABC+ZACB)

=45°；

(2)BE=2MN,MNLBE,

理由如下：如圖2,連接ME,過(guò)點(diǎn)。作CQ//跖，交直線ME于Q,連接5Q,設(shè)CF與AD交點(diǎn)為P,

CF與AG交點(diǎn)為R,

.?CQ//EF,

:./FCQ=/CFE,

???點(diǎn)M是CF的中點(diǎn)，

:.CM=MF,

又???NCMQ=/FME,

\CMQ=AFME(ASA),

/.CQ=EF,ME=QM,

/.AE=CQ9

\-CQ//EF,AGHEF,

:.CQ//AG,

ZQCF=ZCRA,

?.AD//BC,

:.ZBCF=ZAPR,

.NBCQ=NBCF+/QCF=ZAPR+ZARC,

?/ZDAG+ZAPR+ZARC=180°,ZBAE+ZDAG=180°,

,\ZBAE=ZBCQ,

又?.BC=AB,CQ=AE,

:.NBCQ^NBAE(SAS),

BQ^BE,ZCBQ=ZABE,

NQBE=NCBA=90°,

-,-MQ=ME,點(diǎn)N是BE中點(diǎn),

BQ=2MN,MN//BQ,

:.BE=2MN,MN,BE.

7.(2022?吉安一模)在RtAABC中，ZACB=90°,AC=2,ZABC=30°,點(diǎn)A關(guān)于直線3c的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為

點(diǎn)A,連接A'3,點(diǎn)尸為直線3c上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)3重合)，連接"，將線段"繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，

得到線段PD,連接A'D,BD.

［問(wèn)題發(fā)現(xiàn)］

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)P在線段3C上時(shí)，線段BP與AD的數(shù)量關(guān)系為相等，ZDAB=；

［拓展探究］

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在3c的延長(zhǎng)線上時(shí)，(1)中結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)

明理由；

［問(wèn)題解決］

(3)當(dāng)乙犯1'=45。時(shí)，求線段釬的長(zhǎng)度.

D

圖①圖②

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】（1）在RtAABC中，NACB=90。，AC=2,NABC=30。，點(diǎn)A關(guān)于直線5。的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A,則

ZABC=ZABC=30°,AB=AB.

:.ZABA=60°,

「.AW是等邊三角形，

.\ZAAB=60°.

-,-ZAPD=60°,

:.ZBAP=ZABP=ZPAC=30°,

...AP=PB,PC=-AP,

2

???AP=PD,

PC=-PD,

2

:.PC=CD,

又???AC=AC,ZACP=ZACD,

AAPC=△ADC(SAS),

.\DA=AP,ZCAD=ZPAC=30°,

:.PB=DA,ZBAD=600+30°=90°,

故答案為：相等；90°；

(2)成立，證明如下：

如圖②，連接4),

是等邊三角形,

.\AB=AA,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AP=DP,ZAPD=60°,

.〔AAPD是等邊三角形,

：.PA=PD=AD,

ZBAP=ZBAC+ZCAP,ZAAD=ZPAD+Z.CAP,ZBAC=ZPAD,

:.ZBAP=ZAAD,

在ABAP與△AAD中，

AB=AA'

<ZBAP=ZA'AD,

AP=AD

.-.ABAP^^AADiSAS),

:.BP=AD,ZAA!D=ZABC=3Q)°,

■.■ZBAA=60°,

ZDAB=ZBAA+ZAAD=90°：

(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段3c的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖②，連接/ID,

在RtAABC中，ZACB=9。。，AC=2,ZABC=30。,

:.AB=4,BC=2拒,

ZADB=45°,ZBA'r)=90°,

.-.ZA,DB=ZA,BD=45°,

:.AB=AD,

:BP=AD,ZAAD=ZABC=30°,

：.A'D=BP=AB=4,

CP=BP-BC=4-2^3,

AP2=AC2+CP2=4+(4-2退了，

AP=2j6-2y/2；

若點(diǎn)尸在線段CB的延長(zhǎng)線上，如圖③，連接4),

圖③

■.■ZADB=45°,ZBA,D=90°,

:.ZA!DB=ZABD=45°,

:.AB=AD,

：.AB=AB=AD^4=BP,

PC=2百+4,

AP2=AC2+CP2=4+(4+2A/3)2,

:.AP=2y/6+2yf2；

綜上所述：AP=2屈+2⑤或2娓—2位.

8.(2022?新余一模)綜合與實(shí)踐

如圖1,已知點(diǎn)G在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，GEVBC,垂足為E,GF±CD,垂足為F.

【證明與推斷】

(1)①四邊形CEGF的形狀是正方形；

②黑的值為

【探究與證明】

(2)在圖1的基礎(chǔ)上，將正方形CEGF繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)夕角(0。＜。＜45。)，如圖2所示，試探

究線段AG與3E之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由;

【拓展與運(yùn)用】

（3）如圖3,在（2）的條件下，正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)3、E、尸三點(diǎn)共線時(shí)，探究AG和GE

的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

圖3

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】（1）①正方形②也.

理由：如圖1中，：四邊形ABCD是正方形,

:.ZBCD=90°,ZBCA=45°,

:GE工BC、GFLCD,

ZCEG=ZCFG=NECF=90°,

二.四邊形CEGF是矩形，ZCGE=ZECG=45°,

:.EG=EC,

：.四邊形CEG尸是正方形，

?.?AC=03C,CG=72EC,

.-.AG=AC-CG=?BC-EC)=42BE,

:.絲~=也.

BE

故答案為：正方形，A/2.

(2)結(jié)論：AG=^2BE,

理由：如圖2中，連接CC.由旋轉(zhuǎn)可得NBCE=NAGG=c,

圖2

?.,四邊形ABCD是正方形,

:.ZABC=90°,AB=BC,

???AABC為等腰直角三角形,

由①得四邊形GECF是正方形,

:.ZGEC=ZECF=90°,GE=EC,

「.AEGC為等腰直角三角形.

...AAC8ABCE,

空=生=應(yīng),

BEEC

線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為AG=&3E；

(3)結(jié)論：AG±GE,

理由：如圖3中，連接CG,

圖3

NCEF=45°,點(diǎn)B、E、F三點(diǎn)共線,

ZBEC=135°.

-,-^ACG^ABCE,

:.ZAGC^ABEC=\35°.

ZAGF=ZAGC+Z.CGF=135°+45°=180°,

.?.點(diǎn)A,G,b三點(diǎn)共線，

ZAGE=ZAGF-ZEGF=180°-90°=90°,

:.AG±GE.

9.(2022?贛州一模)圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問(wèn)題的重要手段之一，小麗和小亮對(duì)等腰三角形的旋

轉(zhuǎn)變換進(jìn)行研究.

［觀察猜想］

(1)如圖1,AABC是以9、AC為腰的等腰三角形，點(diǎn)。、點(diǎn)E分別在9、AC上.旦DEIIBC,將

AADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0。蛋h360。）.請(qǐng)直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)后班）與CE的數(shù)量關(guān)系_BD=CE_；

［探究證明］

（2）如圖2,AACB是以NC為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，OE/ABC分別交AC與兩邊于點(diǎn)E、點(diǎn)

D.將A4DE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖中所示的位置時(shí)，（1）中結(jié)論是否仍然成立.若成立，請(qǐng)給出證明；

若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

［拓展延伸］

（3）如圖3,80是等邊AABC底邊AC的中線，AEYBE,AE/ABC.將AABE■繞點(diǎn)3逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到AFBE,

點(diǎn)A落在點(diǎn)尸的位置，若等邊三角形的邊長(zhǎng)為4,當(dāng)彼時(shí)，求出。尸的值.

圖3

圖2

圖1

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】（1）-：AB=AC,

:.AB=AC,

■.■DEI/BC,

:.ZADE=ZB,ZAED=NC,

:.ZADE=ZAED,

AD=AE，

/ZBAC=ZDAE,

:,ZBAD=Z.CAE,

:.NBAD=^AE{SAS),

BD=CE,

故答案為：BD=CE；

(2)(1)中結(jié)論不成立，結(jié)論為BD=4^EC,理由如下：

???AACB是等腰直角三角形，

.?.ZA=ZB=45。，AC=BC,AB=^2AC,

.DE//BC,

ZAED=ZC=90°,ZB=ZADE=45°f

.\ZA=ZADE=45°,

:.AE=DE,

AD=yflAE,

v將AAD石繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，

.\ZDAE=ZCAB,

,\ZCAE=ZBAD,

AEAC_1

ADABy/2'

.-.AACE^AABD,

ECAE_1

'BD-AB-72，

BD=>J2EC；

(3)?,?BD是等邊AABC底邊AC的中線，

:.CD=AD=2,BD=s/3AD=2y/3,ZCBD=30°=ZABD,

如圖3,當(dāng)AB_L防時(shí)，過(guò)點(diǎn)/作￡〃_1瓦）于",

B

圖3

由旋轉(zhuǎn)可得：AB=BF=4,

-.-ABYBF,ZABD=3Q°,

:.ZFBD=O）°,

FHLBD,

:.ZBFH=30°,

:.BH=-BF=2,FH=y/3BH=273,

2

:.DH=2y/3-2,

:.DF2=FH2+DH2=12+16-8^=28-873,

如圖，

同理可得：BH=-BF=2,FH=《BH=2出，

2

:.DH=2y/3+2,

DF2=FH2+DH2=12+16+8A/3=28+8A^.

10.（2022?宜春模擬）（1）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】

如圖1,在RtAABC中，AB=AC,/fl4c=90。，點(diǎn)。為的中點(diǎn)，以80為一邊作正方形8DFE,點(diǎn)P

恰好與點(diǎn)A重合，則線段CF與AE的數(shù)量關(guān)系為CF=?E

（2）【拓展探究】

在（1）的條件下，如果正方形5ZWE繞點(diǎn)3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接CP,AE,BF,線段CF與9的數(shù)量關(guān)

系有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明;

（3）【問(wèn)題解決】

當(dāng)AB=AC=6,且（2）中的正方形BDFE繞點(diǎn)3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到E,F,C三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】（1）解：如圖1,?.?四邊形BDFE是正方形,

:.FE=BE,NE=90°,

BF=siBE2+FE2=y/lFE2=及FE,

?.?點(diǎn)/與點(diǎn)A重合，AB=AC,

:.CF^AC^AB=BF,FE=AE,

:.CF=y/2AE,

故答案為：CF=0AE.

(2)無(wú)變化，

證明：如圖2,.EB=EF,NBEF=90°,

ZEBF=ZEFB=45°,BF=yjEB2+EF2=也EB?=s/2EB,

■.■AB=AC,ABAC=90°,

:.ZABC=ZACB=A5°,BC=,AB2+3=J2AB?=叵AB,

ftpL

?.——=——=母，ZCBF=ZABE=450-ZABF,

EBAB

:.\CBF^\ABE,

:.CF=y/2AE.

(3)如圖2,E,F,C三點(diǎn)共線，且點(diǎn)尸在線段CE上,

BC=>f2AB,AB=AC=6,

BC=A/2X6=6A/2,

由(1)得

2

:.BE=EF=BD=-x6y/2=3-j2,

2

■.■ZBEC=90°,

:.CE=y]BC2-BE2=J(6夜.-(3偽2=376，

CF=CE-EF=3-j6-3A/2,

???CF=亞AE,

A￡=—CF=—X(3A/6-3A/2)=3A/3-3；

22

如圖3,E,F,C三點(diǎn)共線，且點(diǎn)尸在線段CE的延長(zhǎng)線上,

RFRCr-

V——=——=V2,NCBF=NABE=45。+NCBE,

EBAB

:.\CBF^\ABE,

AEAB

:.CF=42AE,

-,-ZBEF=90°,

ZBEC=180。一NBEF=90°,

21

:.CE=^BC-BE=J(6揚(yáng)2一(3⑸=3底,

:.CF=CE+EF=3瓜+3版,

綜上所述，線段AE的長(zhǎng)為3/-3或3百+3.

11.（2022?尋烏縣模擬）（1）發(fā)現(xiàn)

如圖1,AABC和AADE均為等邊三角形，點(diǎn)。在3c邊上，連接CE.

填空：

①ZDCE的度數(shù)是_120°_；

②線段C4、CE、CD之間的數(shù)量關(guān)系是—.

（2）探究

如圖2,AABC和AADE1均為等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,點(diǎn)。在3c邊上，連接CE.請(qǐng)判斷

NDCE的度數(shù)及線段C4、CE、CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（3）應(yīng)用

如圖3,在RtAABC中，ZA=90°,AC=4,AB=6.若點(diǎn)。滿足且N3DC=90。，請(qǐng)直接寫(xiě)

出ZM的長(zhǎng).

【詳解】（1）發(fā)現(xiàn)

解：①?.?在AABC中，AB=AC,44c=60。，

:.ZBAC=ZDAE=60°,

ABAC-ZDAC=ADAE-ADAC,ZBAD=ZCAE,

在和AC4E中,

AB=AC

<ZBAD=ZCAE,

AD=AE

:.ABAD=ACAE(SAS)f

,\ZACE=ZB=60°.

.?.ZDCE=NACE+NACB=60。+60。=120。；

故答案為：120°,

@-.ABAD=ACAE,

BD=CE，

BC=BD+CD=EC+CD,

/.CA=BC=CE+CD；

故答案為：CA=CE+CD.

(2)探究

ZDCE=90°;&CA=CD+CE.

理由：?.?AABC和AADE均為等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,

:.AB=AC,AD=AE,ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

即ZBAD=ZCAE.

:.ABAD=ACAE(SAS).

:.BD=CE,N3=ZACE=45°.

ZDCE=ZACB+ZACE=90°.

在等腰直角三角形A9C中，CB=j2CA,

?;CB=CD+DB=CD+CE,

yf2CA=CD+CE.

(3)應(yīng)用

DA=5后或血.

作于E,連接AD,

?.?在RtAABC中，AB=6,AC=4,ZS4c=90。,

BC=s/AB2+AC2=>/62+42=2^13,

■.■ZBDC=90°,DB=DC,

DB=DC=726,ZBCD=ZCBD=45°,

■.■ZBDC=ZBAC=90°,

.,.點(diǎn)3,C,A,。四點(diǎn)共圓，

:.ZDAE=45°,

，AAZ)E是等腰直角三角形，

AE=DE>

:.BE=6—DE,

-.-BE2+DE2=Blf,

:.DE2+(6-DE)2=26,

DE=1tDE=5,

AD=0或AD=5夜.

12.(2022?江西模擬)【性質(zhì)探究】

圖3

(1)如圖1,將AABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AADE,貝I：

①DE與BC的位置關(guān)系為DE±BC;

②如圖2,連接CD,BE,若點(diǎn)M為班的中點(diǎn)，連接AM,請(qǐng)?zhí)骄烤€段AM與8的關(guān)系并給予證明.

【拓展應(yīng)用】

（2）如圖3,已知點(diǎn)E是正方形ABCD的邊3c上任意一點(diǎn)，以他為邊作正方形AEFG,連接3G,點(diǎn)M

為8G的中點(diǎn)，連接A".

①若AB=4,BE=3,求川欣的長(zhǎng)；

②若AB=a,BE=b,則AM的長(zhǎng)為（用含a,6的代數(shù)式表示）.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】（1）①?.?將A4BC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AADE,

:.DE±BC；

幫答案為DELBC；

②?1M_LCD,AM=-CD,

2

證明：延長(zhǎng)54至點(diǎn)N,使AN=AB,連接NE,

圖2

V將A4BC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到MDE,

ZDAB=ZEAC^90°,AE^AC,AD^AB,

ZDAC=90°-ZDAE=ZNAE,

:.AACD=AAEN(SAS),

:.CD=EN,

■.■ZCAE=ZDAN=90°,

MEN可以由/SACD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到,

由①可知加，8,

?：AN=AB,/為3E的中點(diǎn)，

:.AM//EN,

:.AM±CD,AM=-CD,

2

(2)①如圖，連接DE，DG，

圖3

?.?四邊形ABCD,A￡FG為正方形,

;.AB^AD,AE=AG,ZBAD=ZEAG=90°,

ZBAE^900-ZEAD^ZDAG,

:.ABAE=ADAG(SAS),

AZMG可以由MAE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到,

■：AB=A,BE=3,

:.CE=1,CD=4,

由(1)中②可知40=！￡>￡,

2

:.AM=-DE^-xs/cE2+CD2=-xVl1+42=,

2222

②同①可知EC=AB—BE=a—b,CD=a,

DE=7CE2+CD2=dg-bf+a2=yl2a2-2ab+b2,

11I-----------------------------

;.AM=-DE=-^2a1-lab+b1.

22

，2/-2"+尸

故答案為

2

13.(2022?石城縣模擬)【溫故知新】黃金分割是一種最能引起美感的分割比例，具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)

性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值.我們知道：如圖1,點(diǎn)c把線段AS分成兩部分，如果生=生，

ACAB

那么稱(chēng)點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn).

【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】如圖1,請(qǐng)直接寫(xiě)出AC與CB的比值是叵蟲(chóng).

-2-

【問(wèn)題探究】如圖2,在RtAABC中，ZC=90°,AC=2,BC=1,在BA上截取=,再在AC上

截取隹=">,則”的值為

AC-----

【問(wèn)題解決】

如圖3,用邊長(zhǎng)為6的正方形紙片進(jìn)行如下操作：對(duì)折正方形ABDE得折痕MN,連接硒，將AE折疊到

EN上，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)打，得折痕CE,試說(shuō)明：C是他的黃金分割點(diǎn).

【拓展延伸】

如圖4,正方形ABCD中，M為對(duì)角線上一點(diǎn)，點(diǎn)N在邊CD上，豆CN<DN,當(dāng)N為CD的黃金分

割點(diǎn)時(shí)，ZAMB=ZANB,連NM,延長(zhǎng)交加于E,請(qǐng)用相似的知識(shí)求出一的值為

AE

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】解：?.?點(diǎn)C為線段的黃金分割點(diǎn),

,CB_45-1

..-------------,

AC2

.AC_A/5+1

??—,

CB2

故答案為：好以；

2

【問(wèn)題探究】解：?.?NC=90。，AC=2,BC=1,

AB=>/22+12=A/5,

?;BD=BC=1,

:.AE=AD=AB-BD=-j5-l,

,AE_亞-1

..----=---------,

AC2

故答案為：好匚；

【問(wèn)題解決】解：如圖3,設(shè)EC與交于點(diǎn)尸,

D

N

B

-/MN//AB,且M為E4的中點(diǎn)，

.NPEM_1

"~\C~~EA~^

過(guò)點(diǎn)尸作PQLEN,

???￡C平分NA￡7V,

/.PM=PQ,

^PM=PQ=^AC=x,

：.PN=MN-PM=6-xf

???EN=^DE2+DN2=^62+32=3A,

PQEM

...sinZENM=

1PN~^N

x_3

即

6-1―3百

345-3

解得x=

2

經(jīng)檢驗(yàn)尤=述二1是原方程的解,

2

AC=2x=3百-3,

AC3M3BC

AB-62~AC

故點(diǎn)。為AB的黃金分割點(diǎn)；

【拓展延伸】解：如圖4,延長(zhǎng)NE交延長(zhǎng)線于尸，過(guò)點(diǎn)A作AP_LAN于尸,

過(guò)點(diǎn)尸作PQ_L尸B于Q,過(guò)N作FH_LEB于"，

???ZAMB=ZANB,

.?.點(diǎn)A、M、N、5四點(diǎn)共圓，

???NDB4=45。，

.\ZENA=45°,（同為A"所對(duì)的圓周角）

又???Z7W=90。，

「.AR4N為等腰直角三角形，

:.PA=AN,

???PQ//AD,

ZQPA=ZPAD,

ZPAD+ZDAN=90°,ZDAN+ZNAB=90°,

:.ZPAD=ZNAB,

ZQPA=ZNAB,

又???ZPQA=ZAHN=90°,

:.^QA=\AHN（AAS^

:.AQ=NH=BC=CDfPQ=AH=DN,

???N為CD的黃金分割點(diǎn)，

:.設(shè)DN=&\,貝S=2,

設(shè)下。=%,

?.?PQ//NH,

/.AFPQ^AFNH,

,FQ_PQ_DN

…FH~NH~CD"

Bnxy/5—1

即------r-=—，

X+2+75-12

解得了=3+行＞

經(jīng)檢驗(yàn)無(wú)=3+若是方程的解，

:.AF=FQ+AQ=3+-j5+2=5+j5,

?：AF//DN,

:.ZF=ZDNE,ZFAD=ZNDA=90°,

:.ANDE^AFAE,

DEDN百-13小-5

EA~AF~5+y/5~10

故答案為：3加一$

14.(2022?石城縣模擬)如圖1,菱形ABCD中，AB=6.NB=60。，四邊形EFGB的頂點(diǎn)E,G分別在

邊5c和AB上，EF//CD,FG//AD,連接FD.

(1)若DF平分NADC,求證：四邊形EFGB為菱形；

(2)在(1)中的條件下，當(dāng)EC=2時(shí)，將四邊形￡74十繞點(diǎn)5順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2所示的位置，連接AG.

①猜想AG與小的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

②當(dāng)G尸過(guò)點(diǎn)C時(shí)，求sin/GSC的值.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】(1)證明：如圖1,連接AT、CF,

,四邊形ABCD是菱形，

:.AB//CD,BC//AD,

■：EF!/CD,FG//AD,

:.EF//AB,FG//BC,

二.四邊形EFG3是平行四邊形；

\AD=CD,ZADF=ZCDF,DF=DF,

:.AADF=ACDF(SAS)f

/.AF=CF,ZDAF=ZDCF,

???ZDAG=/DCE,

ZDAG-ZDAF=ZDCE-ZDCF,

:.ZFAG=ZFCE；

??,ZAGF=NB,NCEF=ZB,

:.ZAGF=NCEF,

/.AAGF=ACEF(AAS),

:.GF=EF,

二.四邊形EFGB是菱形.

(2)①任=@.

DF3

證明：如圖2,連接B尸、BD,作于點(diǎn)M,貝i)NAA?=90。,

???AB//BC,ZABC=60°,

ZBAD=120°,

???AB=AD,

:.ZABD=ZADB=30°BM=DM=-BD,

f2

由旋轉(zhuǎn)得，ZGBE=ZABC=60°,

同理，ZBGF=120°,ZGBF=ZGFB=30°,

:.ZABD=Z.GBF,ZBAD=