浙教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義：用頻率估計(jì)概率（學(xué)生版+解析）

第8課用頻率估計(jì)概率

號(hào)目標(biāo)導(dǎo)航

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.了解隨機(jī)事件在每次試驗(yàn)中發(fā)生與否具有不確定性，但隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率逐漸趨于

穩(wěn)定.

2.通過試驗(yàn)，認(rèn)識(shí)大量重復(fù)試驗(yàn)所得的頻率可作為概率的估計(jì)值.

3.會(huì)運(yùn)用大量重復(fù)試驗(yàn)所取得的事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率.

魏知識(shí)精講

知識(shí)點(diǎn)01用頻率估計(jì)概率

在相同條件下，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)大量增加時(shí)，事件發(fā)生的頻率就穩(wěn)定在相應(yīng)的概率附近.因此，我們可

以通過大量重復(fù)試驗(yàn)，用一個(gè)事件發(fā)生的頻率來估計(jì)這一事件發(fā)生的概率，

注：1.當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)大量增加時(shí)，事件發(fā)生的頻率就穩(wěn)定在相應(yīng)的概率附近，即事件發(fā)生可能性

的大小可以用試驗(yàn)的頻率來表示，然后用概率的知識(shí)來解決問題.

2.頻率與概率二者并不完全相同，頻率是通過多次試驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)，而概率是理論上事件發(fā)生的可能

性.

能力拓展

考點(diǎn)01用頻率估計(jì)概率

【典例1】某射擊運(yùn)動(dòng)員在同一條件下的射擊，結(jié)果如下表：

射擊總次數(shù)〃1020501002005001000

擊中靶心的次數(shù)m9164188168429861

擊中靶心的頻率0.900.80.820.880.840.8580.861

根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計(jì)這名運(yùn)動(dòng)員射擊一次時(shí)擊中靶心的概率約是（）

A.0.90B.0.82C.0.84D.0.861

【即學(xué)即練1］某種油菜籽在相同條件下的發(fā)芽試驗(yàn)的結(jié)果如下:

試驗(yàn)的粒數(shù)n208010020040080010001500

發(fā)芽的粒數(shù)相1454671322645326701000

發(fā)芽的頻率如0.70.6750.670.660.660.665a0.667

n

（1）填空：上表中a—

（2）根據(jù)上表，請(qǐng)估計(jì)，當(dāng)力很大時(shí)，發(fā)芽的頻率將會(huì)接近多少？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

（3）根據(jù)上表，這種油菜籽發(fā)芽的概率的估計(jì)值是多少？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.從一定的高度任意拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣的次數(shù)很大時(shí)，落下后，正面朝上的頻率最有可能接近的數(shù)

值為（）

A.0.83B.0.52C.1.50D.1.03

2.王師傅對(duì)某批零件的質(zhì)量進(jìn)行了隨機(jī)抽查，并將抽查結(jié)果繪制成如下表格，請(qǐng)你根據(jù)表格估計(jì)，若從該

批零件中任取一個(gè)，為合格零件的概率為（）

隨機(jī)抽取的零件個(gè)數(shù)n20501005001000

合格的零件個(gè)數(shù)m184691450900

零件的合格率如0.90.920.910.90.9

n

A.0.9B.0.8C.0.5D.0.1

3.某城市啟動(dòng)“城市森林”綠化工程，林業(yè)部門要考察某種樹苗在一定條件下的移植成活率.在同樣條件

下，對(duì)這種樹苗進(jìn)行大量移植，并統(tǒng)計(jì)成活情況，數(shù)據(jù)如下表所示:

移植總數(shù)10270400750150035007000900014000

成活數(shù)量8235369662133532036335807312628

成活頻率0.8000.8700.9230.8830.8900.9150.9050.8970.902

估計(jì)樹苗移植成活的概率是（）（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）

A.0.81B.0.8C.0.9D.無法計(jì)算

4.在不透明的袋子中裝有黑、白兩種球共50個(gè)，這些球除顏色外都相同，隨機(jī)從袋中摸出一個(gè)球，記錄

下顏色后，放回袋子中并搖勻，再從中摸出一個(gè)球，經(jīng)過如此大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸出的黑球的頻率穩(wěn)

定在0.4附近，則袋子中黑球的個(gè)數(shù)約為（）

A.20個(gè)B.30個(gè)C.40個(gè)D.50個(gè)

5.某籃球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行定點(diǎn)投籃訓(xùn)練，其成績(jī)?nèi)绫?

投籃次數(shù)1010010000

投中次數(shù)9899012

則這名運(yùn)動(dòng)員定點(diǎn)投籃一次，投中的概率約是—（精確到0.1）.

6.某射手在相同條件下進(jìn)行射擊訓(xùn)練，當(dāng)射擊次數(shù)很大時(shí)，該射手擊中靶心的頻率在常數(shù)0.9附近擺動(dòng),

則在這種條件下，該射手射擊一次擊中靶心的概率的估計(jì)值是—.

7.綜合實(shí)踐小組的同學(xué)們?cè)谙嗤瑮l件下做了測(cè)定某種黃豆種子發(fā)芽率的實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如表所示:

黃豆種子數(shù)（單位：粒）800100012001400160018002000

發(fā)芽種子數(shù)（單位：粒）76294811421331151817101902

種子發(fā)芽的頻率（結(jié)果保留至小0.9530.9480.9520.9510.9490.9500.951

數(shù)點(diǎn)后三位）

那么這種黃豆種子發(fā)芽的概率約為—（精確到0.01）.

8.在一個(gè)不透明的口袋里裝有若干個(gè)相同的紅球，為了用估計(jì)袋中紅球的數(shù)量，八（1）班學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)

驗(yàn)室分組做摸球試驗(yàn)：每組先將10個(gè)與紅球大小形狀完全相同的白球裝入袋中，攪勻后從中隨機(jī)摸出一

個(gè)球并記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù).下表是這次活動(dòng)統(tǒng)計(jì)匯總各小組數(shù)據(jù)后獲得的全班數(shù)據(jù)

統(tǒng)計(jì)表：

摸球的次數(shù)S15030060090012001500

摸到白球的頻數(shù)“63a247365484606

摸到白球的頻率0.4200.4100.4120.4060.403b

n

S

（1）按表格數(shù)據(jù)格式，表中的；b=

（2）請(qǐng)估計(jì)：當(dāng)次數(shù)s很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近—（精確到0.1）；

（3）請(qǐng)推算：摸到紅球的概率是—（精確到0.1）；

（4）試估算：這一個(gè)不透明的口袋中紅球有一只.

9.一個(gè)不透明的袋子里裝有黑白兩種顏色的球若干個(gè)，這些球除顏色外都相同.從袋子中隨機(jī)摸一個(gè)球,

記下顏色后放回?cái)噭颍粩嘀貜?fù)上面的過程，并繪制了如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息解決

下列問題：

（1）摸到白球的概率估計(jì)值為（精確到0.1）；

（2）若袋子中白球有4個(gè)，

①求袋中黑色球的個(gè)數(shù)；

②若將加個(gè)相同的白球放進(jìn)了這個(gè)不透明的袋子里，然后再次進(jìn)行摸球試驗(yàn)，當(dāng)大量重復(fù)試驗(yàn)后，摸出

白球的概率估計(jì)值是.（用含加的式子表示）

?白球的頻率

0.3-----------------------------------

0.2——;——2-----------.-----?—

0.1-----------------------------------

―1血2&X）30bo血X）sobo、球次數(shù)

題組B能力提升練

10.如圖，小紅在一張長(zhǎng)為6m，寬為5機(jī)的長(zhǎng)方形紙上畫了一個(gè)老虎圖案，他想知道該圖案的面積大小,

于是想了這樣一個(gè)辦法，朝長(zhǎng)方形的紙上扔小球，并記錄小球落在老虎圖案上的次數(shù)（球扔在界線上或

長(zhǎng)方形紙外不計(jì)試驗(yàn)結(jié)果），他將若干次有效試驗(yàn)的結(jié)果整理成統(tǒng)計(jì)表，由此他估計(jì)此圖案的面積大約

為（）

試驗(yàn)次數(shù)m60120180240300360420480

小球落在圖案內(nèi)的次數(shù)"22386583102126151168

小球落在圖案內(nèi)的頻率40.370.320.360.350.340.350.360.35

m

A.11.1m2B.10.5m2C.9.61V1D.9/n2

11.在利用正六面體骰子進(jìn)行頻率估計(jì)概率的試驗(yàn)中，小穎同學(xué)統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪出的統(tǒng)計(jì)

圖如圖所示，則符合這一結(jié)果的試驗(yàn)可能是（）

A.朝上的點(diǎn)數(shù)是5的概率B.朝上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)的概率

C.朝上的點(diǎn)數(shù)大于2的概率D.朝上的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的概率

12.“十一”長(zhǎng)假期間，某玩具超市設(shè)立了一個(gè)如圖所示的可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，開展有獎(jiǎng)購買活動(dòng)，顧

客購買玩具就能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針落在哪一區(qū)域就可以獲得相應(yīng)獎(jiǎng)品.下

表是該活動(dòng)的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的次數(shù)”1001502005008001000

落在“鉛筆”區(qū)域的次數(shù)相68108140355560690

落在“鉛筆”區(qū)域的頻率㈣0.680.720.700.710.700.69

n

轉(zhuǎn)盤

A.轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤20次，一定有6次獲得“文具盒”

B.轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，獲得“鉛筆”的概率大約是0.70

C.再轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤100次，指針落在“鉛筆”區(qū)域的次數(shù)不一定是68次

D.如果轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤3000次，指針落在“文具盒”區(qū)域的次數(shù)大約有900次

13.一名職業(yè)籃球球員某次投籃訓(xùn)練結(jié)果記錄如圖所示，由此可估計(jì)這名球員投籃800次，投中的次數(shù)約

為一次.

投中頻率

A

1.00?

0.75------------------------------------------>---

0.50

0.25

0200300400500600投籃頻數(shù)

14.盒中有若干枚黑棋和白棋，這些棋除顏色外無其他差別，現(xiàn)讓學(xué)生進(jìn)行摸棋試驗(yàn)：每次摸出一枚棋，

記錄顏色后放回?fù)u勻.重復(fù)進(jìn)行這樣的試驗(yàn)得到以下數(shù)據(jù):

摸棋的次數(shù)n1002003005008001000

摸到黑棋的次數(shù)m245176124201250

摸到黑棋的頻率巨（精確到0.2400.2550.2530.2480.2510.250

n

0.001）

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)從盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是—;（精確到0.01）

（2）若盒中黑棋與白棋共有4枚，某同學(xué)一次摸出兩枚棋，請(qǐng)計(jì)算這兩枚棋顏色不同的概率，并說明理

由

題組C培優(yōu)拔尖練

15.北京2022年冬奧會(huì)的吉祥物為“冰墩墩”，冬殘奧會(huì)的吉祥物為“雪容融”，體現(xiàn)了人與自然和諧共

生，深受青少年的喜愛.現(xiàn)有兩張正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面圖案不同外，其余均相同,

其中一張正面印有“冰墩墩”圖案，另一張正面印有“雪容融”圖案，將兩張卡片正面向下洗勻，從中

隨機(jī)抽取一張卡片，小穎和同學(xué)抽取卡片獲得的數(shù)據(jù)如下表:

抽取卡片的次100200300400500

數(shù)/次

抽到冰墩墩的5398156201248

次數(shù)/次

若抽取卡片的次數(shù)為1000,則“抽到冰墩墩”的頻數(shù)最接近（）

A.250B.500C.700D.850

16.某班學(xué)生做“用頻率估計(jì)概率”的實(shí)驗(yàn)時(shí)，給出的某一結(jié)果出現(xiàn)如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，則符合這一結(jié)果

A.從標(biāo)有1,2,3,4,5,6的六張卡片中任抽一張，抽到的卡片上標(biāo)有奇數(shù)

B.扔一枚面額一元的硬幣，正面朝上

C.在“石頭、剪刀、布”的游戲中，某人隨機(jī)出的是“剪刀

D.擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點(diǎn)數(shù)是4

17.小明在一次用頻率估計(jì)概率的實(shí)驗(yàn)中，從一副去掉大小王的撲克牌中，任意抽取一張，把抽到紅桃出

現(xiàn)的頻率繪制的統(tǒng)計(jì)圖，則滿足題意的統(tǒng)計(jì)圖是()

，ai_1a>

100020003000次秋

八分率

0.4...........................................

0.3...........................................

___1_ILIAA

100020003000次數(shù)

18.為了加強(qiáng)疫情防控，某校從4月初開始啟動(dòng)閉環(huán)管理，要求所有的學(xué)生午餐統(tǒng)一在學(xué)校食堂就餐.為

了加強(qiáng)對(duì)食堂的監(jiān)控，有效保證飲食質(zhì)量，學(xué)校隨機(jī)抽取部分學(xué)生開展?jié)M意度問卷調(diào)查，學(xué)生根據(jù)實(shí)際

情況給食堂評(píng)分.將本次調(diào)查結(jié)果制成如下統(tǒng)計(jì)表：

評(píng)分/分45678910

人數(shù)/人6183646a284

比率3%9%18%23%31%b2%

(1)本次問卷調(diào)查，學(xué)生所評(píng)分?jǐn)?shù)的眾數(shù)是一分；

(2)根據(jù)本次調(diào)查結(jié)果，若從本校隨機(jī)抽選一名學(xué)生給食堂評(píng)分，估計(jì)他的評(píng)分不低于8分的概率是多

少？

(3)學(xué)校決定：本次調(diào)查綜合得分8?10分為“滿意”，給予食堂通報(bào)表揚(yáng)；6?8分為“比較滿意”，

提醒食堂進(jìn)行改善；0?6分為“不滿意”，貴令食堂限時(shí)整改.根據(jù)本次調(diào)查結(jié)果，判斷學(xué)?？赡軐?duì)食

堂采取何種措施，說明理由.(這里的。?6表示大于等于。同時(shí)小于6)

19.某水果公司新進(jìn)一批柑橘，銷售人員首先從所有的柑橘中隨機(jī)抽取若干柑橘，進(jìn)行“柑橘損壞率”統(tǒng)

計(jì)，并把獲得的數(shù)據(jù)記錄在下表中.

柑橘總質(zhì)量"/依…300350400450500

損壞柑橘質(zhì)量m/kg???30.9335.3240.3645.0251.05

柑橘損壞的頻率巨（精確到???0.1030.1010.1010.1000.102

n

0.001）

（I）柑橘損壞的概率約為—（精確到0.1）；

（2）當(dāng)抽取柑橘的總質(zhì)量w=2000像時(shí)，損壞柑橘質(zhì)量機(jī)最有可能是.

A.99.32依B.203.45必C.486.76依D.894.82依

（3）若水果公司新進(jìn)柑橘的總質(zhì)量為10000依,成本價(jià)是1.8元1kg,公司希望這些柑橘能夠獲得利潤(rùn)5400

元，那么在出售柑橘（去掉損壞的柑橘）時(shí)，每千克大約定價(jià)為多少元比較合適？

第8課用頻率估計(jì)概率

號(hào)目標(biāo)導(dǎo)航

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.了解隨機(jī)事件在每次試驗(yàn)中發(fā)生與否具有不確定性，但隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件發(fā)生的

頻率逐漸趨于穩(wěn)定.

2.通過試驗(yàn)，認(rèn)識(shí)大量重復(fù)試驗(yàn)所得的頻率可作為概率的估計(jì)值.

3.會(huì)運(yùn)用大量重復(fù)試驗(yàn)所取得的事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率.

魏獻(xiàn)精講

知識(shí)點(diǎn)01用頻率估計(jì)概率

在相同條件下，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)大量增加時(shí)，事件發(fā)生的頻率就穩(wěn)定在相應(yīng)的概率附近.

因此，我們可以通過大量重復(fù)試驗(yàn),用一個(gè)事件發(fā)生的頻率來估計(jì)這一事件發(fā)生的概率，

注：1.當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)大量增加時(shí)，事件發(fā)生的頻率就穩(wěn)定在相應(yīng)的概率附近，即事

件發(fā)生可能性的大小可以用試驗(yàn)的頻率來表示，然后用概率的知識(shí)來解決問題.

2.頻率與概率二者并不完全相同，頻率是通過多次試驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)，而概率是理論上事

件發(fā)生的可能性.

能力拓展

考點(diǎn)01~~用頻率估計(jì)概率

【典例1】某射擊運(yùn)動(dòng)員在同一條件下的射擊，結(jié)果如下表：

射擊總次數(shù)n1020501002005001000

擊中靶心的次數(shù)相9164188168429861

擊中靶心的頻率0.900.80.820.880.840.8580.861

根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計(jì)這名運(yùn)動(dòng)員射擊一次時(shí)擊中靶心的概率約是（）

A.0.90B.0.82C.0.84D.0.861

【思路點(diǎn)撥】利用頻率估計(jì)概率求解即可.

【解析】解：根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計(jì)這名運(yùn)動(dòng)員射擊一次時(shí)擊中靶心的概率約是0.861,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固

定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的

集中趨勢(shì)來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率.

【即學(xué)即練1】某種油菜籽在相同條件下的發(fā)芽試驗(yàn)的結(jié)果如下:

試驗(yàn)的粒數(shù)〃208010020040080010001500

發(fā)芽的粒數(shù)1454671322645326701000

m

發(fā)芽的頻率0.70.6750.670.660.660.665a0.667

m

n

（1）填空：上表中a=0.67；

（2）根據(jù)上表，請(qǐng)估計(jì)，當(dāng)"很大時(shí)，發(fā)芽的頻率將會(huì)接近多少？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

（3）根據(jù)上表，這種油菜籽發(fā)芽的概率的估計(jì)值是多少？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

【思路點(diǎn)撥】（1）用發(fā)芽的粒數(shù)+試驗(yàn)的粒數(shù)；

（2）根據(jù)圖表，估計(jì)得出頻率即可；

（3）根據(jù)大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率解答.

【解析】解：（1）0=670+1000=0.67,

故答案為：0.67；

（2）當(dāng)“很大時(shí)，發(fā)芽的頻率將會(huì)接近0.67；

（3）在相同條件下，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，事件發(fā)生的頻率可作為概率的近似值，

根據(jù)上表，這種油菜籽發(fā)芽的概率的估計(jì)值是0.67.

【點(diǎn)睛】本題考查的是利用頻率估計(jì)概率，大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率，用頻率

估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來越精確.

福分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.從一定的高度任意拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣的次數(shù)很大時(shí)，落下后，正面朝上的頻率最

有可能接近的數(shù)值為（）

A.0.83B.0.52C.1.50D.1.03

【思路點(diǎn)撥】大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的

幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來估計(jì)概率，這個(gè)固

定的近似值就是這個(gè)事件的概率.

【解析】解：當(dāng)拋擲的次數(shù)很大時(shí)，正面朝上的頻率最有可能接近正面向上的概率工，

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是模擬實(shí)驗(yàn)和概率的意義，熟知概率的定義是解答此題的關(guān)鍵.

2.王師傅對(duì)某批零件的質(zhì)量進(jìn)行了隨機(jī)抽查，并將抽查結(jié)果繪制成如下表格，請(qǐng)你根據(jù)表

格估計(jì)，若從該批零件中任取一個(gè)，為合格零件的概率為（）

隨機(jī)抽取的零件個(gè)數(shù)〃20501005001000

合格的零件個(gè)數(shù)m184691450900

零件的合格率如0.90.920.910.90.9

n

A.0.9B.0.8C.0.5D.0.1

【思路點(diǎn)撥】用“實(shí)驗(yàn)頻率”的穩(wěn)定值估計(jì)“概率”，從而得到合格零件的概率；

【解析】解：???隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，合格零件的頻率逐漸靠近常數(shù)0.9,

從該批零件中任取一個(gè)，為合格零件的概率為0.9.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率估計(jì)概率.大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率.

3.某城市啟動(dòng)“城市森林”綠化工程，林業(yè)部門要考察某種樹苗在一定條件下的移植成活

率.在同樣條件下，對(duì)這種樹苗進(jìn)行大量移植，并統(tǒng)計(jì)成活情況，數(shù)據(jù)如下表所示：

移植總數(shù)10270400750150035007000900014000

成活數(shù)量8235369662133532036335807312628

成活頻率0.8000.8700.9230.8830.8900.9150.9050.8970.902

估計(jì)樹苗移植成活的概率是（）（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）

A.0.81B.0.8C.0.9D.無法計(jì)算

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)和概率的含義，可以估計(jì)樹苗移植成活的概率.

【解析】解：由表格中的數(shù)據(jù)可以估計(jì)樹苗移植成活的概率是0.9,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率估計(jì)概率，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，寫出相應(yīng)概率.

4.在不透明的袋子中裝有黑、白兩種球共50個(gè)，這些球除顏色外都相同，隨機(jī)從袋中摸出

一個(gè)球，記錄下顏色后，放回袋子中并搖勻，再從中摸出一個(gè)球，經(jīng)過如此大量重復(fù)試

驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸出的黑球的頻率穩(wěn)定在0.4附近，則袋子中黑球的個(gè)數(shù)約為（）

A.20個(gè)B.30個(gè)C.40個(gè)D.50個(gè)

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)黑球的頻率穩(wěn)定在0.4附近得到黑球的概率約為0.4,根據(jù)概率公式列

出方程求解可得.

【解析】解：設(shè)袋子中有八個(gè)黑球，

根據(jù)題意得旦=0.4,

50

解得："=20,

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了利用頻率估計(jì)概率，解答此題的關(guān)鍵是了解黑球的頻率穩(wěn)定在0.4

附近即為概率約為0.4.

5.某籃球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行定點(diǎn)投籃訓(xùn)練，其成績(jī)?nèi)绫恚?/p>

投籃次數(shù)1010010000

投中次數(shù)9899012

則這名運(yùn)動(dòng)員定點(diǎn)投籃一次，投中的概率約是0.9（精確到0.1）.

【思路點(diǎn)撥】對(duì)于不同批次的定點(diǎn)投籃命中率往往誤差會(huì)比較大，為了減少誤差，我們

經(jīng)常采用多批次計(jì)算求平均數(shù)的方法.

【解析】解：三次投籃命中的平均數(shù)是：9+89+9012co%

10+100+10000

則這名運(yùn)動(dòng)員定點(diǎn)投籃一次，投中的概率約是0.9；

故答案為：0.9.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率.用到的知

識(shí)點(diǎn)為：頻率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.同時(shí)此題在解答中要用到概率公式.

6.某射手在相同條件下進(jìn)行射擊訓(xùn)練，當(dāng)射擊次數(shù)很大時(shí)，該射手擊中靶心的頻率在常數(shù)

0.9附近擺動(dòng)，則在這種條件下，該射手射擊一次擊中靶心的概率的估計(jì)值是」

【思路點(diǎn)撥】大量重復(fù)試驗(yàn)下摸球的頻率可以估計(jì)摸球的概率，據(jù)此求解.

【解析】解：當(dāng)射擊次數(shù)很大時(shí)，該射手擊中靶心的頻率在常數(shù)0.9附近擺動(dòng)，、

所以在這種條件下，該射手射擊一次擊中靶心的概率的估計(jì)值是0.9,

故答案為：0.9.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解大量重復(fù)試驗(yàn)中某個(gè)

事件發(fā)生的頻率能估計(jì)概率.

7.綜合實(shí)踐小組的同學(xué)們?cè)谙嗤瑮l件下做了測(cè)定某種黃豆種子發(fā)芽率的實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如表所

不：

黃豆種子數(shù)7單位：粒）800100012001400160018002000

發(fā)芽種子數(shù)7單位：粒）76294811421331151817101902

種字發(fā)芽的娛（結(jié)果保留至小0.9530.9480.9520.9510.9490.9500.951

數(shù)點(diǎn)后三位）

那么這種黃豆種子發(fā)芽的概率約為0.95（精確到0.01）.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)7批次種子粒數(shù)從800粒增加到2000粒時(shí)，種子發(fā)芽的頻率趨近于0.95,

所以估計(jì)種子發(fā)芽的概率為0.95.

【解析】解：由表知隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加種子發(fā)芽的頻率逐漸穩(wěn)定再0.95附近，

所以這種黃豆種子發(fā)芽的概率約為0.95,

故答案為：0.95.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用頻率估計(jì)概率，大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率.用到

的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

8.在一個(gè)不透明的口袋里裝有若干個(gè)相同的紅球，為了用估計(jì)袋中紅球的數(shù)量，八（1）班

學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室分組做摸球試驗(yàn)：每組先將10個(gè)與紅球大小形狀完全相同的白球裝入

袋中，攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球并記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù).下表是這

次活動(dòng)統(tǒng)計(jì)匯總各小組數(shù)據(jù)后獲得的全班數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表：

摸球的次數(shù)S15030060090012001500

摸到白球的頻數(shù)〃63a247365484606

摸到白球的頻率0.4200.4100.4120.4060.403b

n

S

（1）按表格數(shù)據(jù)格式，表中的123；b=0.404；

（2）請(qǐng)估計(jì)：當(dāng)次數(shù)s很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近0.4（精確到0.1）；

（3）請(qǐng)推算：摸到紅球的概率是0.6（精確至！）0.1）；

（4）試估算：這一個(gè)不透明的口袋中紅球有15只.

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)頻率=頻數(shù)+樣本總數(shù)分別求得。、6的值即可；

（2）從表中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.4左右；

（3）摸到紅球的概率為1-04=0.6；

（4）根據(jù)紅球的概率公式得到相應(yīng)方程求解即可；

【解析】解：（1）0=300X0.41=123,/?=6064-1500=0.404；

（2）當(dāng)次數(shù)s很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近0.40；

（3）摸到紅球的概率是1-0.4=0.6；

（4）設(shè)紅球有x個(gè)，根據(jù)題意得：二_=0.6,

x+10

解得：x=15；

故答案為:123,0.404；0.4；0.6；15.

【點(diǎn)睛】考查利用頻率估計(jì)概率，大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率.用到的知識(shí)點(diǎn)為:

概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.組成整體的幾部分的概率之和為1.

9.一個(gè)不透明的袋子里裝有黑白兩種顏色的球若干個(gè)，這些球除顏色外都相同.從袋子中

隨機(jī)摸一個(gè)球，記下顏色后放回?cái)噭颍粩嘀貜?fù)上面的過程，并繪制了如圖所示的統(tǒng)計(jì)

圖，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息解決下列問題：

（1）摸到白球的概率估計(jì)值為0.2（精確到0.1）；

（2）若袋子中白球有4個(gè)，

①求袋中黑色球的個(gè)數(shù)；

②若將楊個(gè)相同的白球放進(jìn)了這個(gè)不透明的袋子里，然后再次進(jìn)行摸球試驗(yàn)，當(dāng)大量重

復(fù)試驗(yàn)后，摸出白球的概率估計(jì)值是①L_.（用含機(jī)的式子表示）

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)圖象可以看出，摸到白球的頻率在0.2左右附近擺動(dòng).根據(jù)頻率

與概率的關(guān)系，可知摸到白球的概率約為0.2.

（2）①根據(jù)摸到白球的頻率與白球的個(gè)數(shù)可得袋中球的總個(gè)數(shù)，則根據(jù)黑球個(gè)數(shù)=袋中

球的總個(gè)數(shù)-白球的個(gè)數(shù)求之即可.

②根據(jù)摸出白球的頻率=白球的個(gè)數(shù)米球的總個(gè)數(shù)，然后根據(jù)頻率與概率的關(guān)系，估計(jì)

出摸出白球的概率.

【解析】解：（1）由題圖可以看出，隨著摸球次數(shù)的增多，摸到白球的頻率在0.20左右

擺動(dòng).

根據(jù)頻率與概率的關(guān)系，可知摸到白球的概率為02

故答案為：0.2.

（2）①：袋子中白球有4個(gè).

二袋中球的總個(gè)數(shù)為44-0.2=20.

，袋中黑色球的個(gè)數(shù)為20-4=16.

②???將根個(gè)相同的白球放進(jìn)了這個(gè)不透明的袋子里.

，袋中白球的個(gè)數(shù)為4+777,袋中球的總個(gè)數(shù)為20+m.

，摸到白球的頻率為也也.

20+m

根據(jù)頻率與概率的關(guān)系可得，

摸到白球的概率為占L

20tm

故答案為：JiEL.

20+m

【點(diǎn)睛】本題主要考查了用頻率估計(jì)概率，熟練掌握頻率與概率的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

題組B能力提升練

10.如圖，小紅在一張長(zhǎng)為6m,寬為5m的長(zhǎng)方形紙上畫了一個(gè)老虎圖案，他想知道該圖

案的面積大小，于是想了這樣一個(gè)辦法，朝長(zhǎng)方形的紙上扔小球，并記錄小球落在老虎

圖案上的次數(shù)（球扔在界線上或長(zhǎng)方形紙外不計(jì)試驗(yàn)結(jié)果），他將若干次有效試驗(yàn)的結(jié)

果整理成統(tǒng)計(jì)表，由此他估計(jì)此圖案的面積大約為（）

試驗(yàn)次數(shù)m60120180240300360420480

小球落在圖案內(nèi)的次數(shù)〃22386583102126151168

小球落在圖案內(nèi)的頻率］0.370.320.360.350.340.350.360.35

m

A.11.1m2B.10.5m2C.9.6m2D.9"，

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)大量重復(fù)試驗(yàn)頻率穩(wěn)定值估計(jì)出概率，然后求得答案即可.

【解析】解：觀察表格發(fā)現(xiàn)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，小球落在圖案內(nèi)的頻率穩(wěn)定在0.35,

...此圖案的面積為6X5X0.35=10.5（m2）,

故選：B.

【點(diǎn)睛】考查了利用頻率估計(jì)概率的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)頻率穩(wěn)定值確定概率，難

度不大.

11.在利用正六面體骰子進(jìn)行頻率估計(jì)概率的試驗(yàn)中，小穎同學(xué)統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率,

繪出的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則符合這一結(jié)果的試驗(yàn)可能是（）

A.朝上的點(diǎn)數(shù)是5的概率B.朝上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)的概率

C.朝上的點(diǎn)數(shù)大于2的概率D.朝上的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的概率

【思路點(diǎn)撥】隨機(jī)擲一個(gè)均勻正六面體骰子，每一個(gè)面朝上的概率為工，約為16.67%,

6

根據(jù)頻率估計(jì)概率試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)的頻率，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率越穩(wěn)定在35%左右，因

此可以判斷各選項(xiàng).

【解析】解：從統(tǒng)計(jì)圖中可得該事件發(fā)生的可能性約在35%左右，

A的概率為1+6X100%?16.67%,

B的概率為34-6X100%=50%,

C的概率為44-6X100%?66.67%,

D的概率為2+6X100%^33.33%,

即朝上的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的概率與之最接近，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)事件發(fā)生的概率，折線統(tǒng)計(jì)圖的制作方法，求出每個(gè)選項(xiàng)的事件

發(fā)生概率，再依據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖中反映的頻率進(jìn)行判斷.

12.“十一”長(zhǎng)假期間，某玩具超市設(shè)立了一個(gè)如圖所示的可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，開展有獎(jiǎng)

購買活動(dòng)，顧客購買玩具就能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針落在哪一

區(qū)域就可以獲得相應(yīng)獎(jiǎng)品.下表是該活動(dòng)的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的次數(shù)〃1001502005008001000

落在“鉛筆”區(qū)域的次數(shù)機(jī)68108140355560690

落在“鉛筆”區(qū)域的頻率處0.680.720.700.710.700.69

n

轉(zhuǎn)盤

A.轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤20次，一定有6次獲得“文具盒”

B.轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，獲得“鉛筆”的概率大約是0.70

C.再轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤100次，指針落在“鉛筆”區(qū)域的次數(shù)不一定是68次

D.如果轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤3000次，指針落在“文具盒”區(qū)域的次數(shù)大約有900次

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圖表可求得指針落在鉛筆區(qū)域的概率，另外概率是多次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，

因此不能說轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤20次，一定有6次獲得文具盒.

【解析】解：4、轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤20次，不一定有6次獲得“文具盒”，它是隨機(jī)事件，結(jié)果

不確定，故A選項(xiàng)不正確，符合題意；

8、大量重復(fù)試驗(yàn)中頻率穩(wěn)定在0.7左右，故用頻率估計(jì)指針落在“鉛筆”區(qū)域的頻率大

約是0.70,故8選項(xiàng)正確，不符合題意；

C、由8可知再轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤100次，指針落在“鉛筆”區(qū)域的次數(shù)不一定是68次，故C選

項(xiàng)正確，不符合題意；

D、指針落在“文具盒”區(qū)域的概率為0.30,轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤3000次，指針落在“文具盒”區(qū)

域的次數(shù)大約有3000X0.3=900次，故。選項(xiàng)正確，不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題要理解用面積法求概率的方法.注意概率是多次實(shí)驗(yàn)得到的一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定

的值.

13.一名職業(yè)籃球球員某次投籃訓(xùn)練結(jié)果記錄如圖所示，由此可估計(jì)這名球員投籃800次,

投中的次數(shù)約為600次.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖給出的數(shù)據(jù)得出這名籃球球員投中的概率，再乘以總次數(shù)即可

得出答案.

【解析】解：由統(tǒng)計(jì)圖可知，隨著投籃次數(shù)越來越大時(shí)，頻率逐漸穩(wěn)定到常數(shù)0.75附近,

則這名籃球球員投中的概率為0.75,

投中的次數(shù)約為：800X0.75=600(次).

故答案為：600.

【點(diǎn)睛】此題考查了利用頻率估計(jì)概率的知識(shí)，注意這種概率的得出是在大量實(shí)驗(yàn)的基

礎(chǔ)上得出的，不能單純的依靠幾次決定.

14.盒中有若干枚黑棋和白棋，這些棋除顏色外無其他差別，現(xiàn)讓學(xué)生進(jìn)行摸棋試驗(yàn)：每次

摸出一枚棋，記錄顏色后放回?fù)u勻.重復(fù)進(jìn)行這樣的試驗(yàn)得到以下數(shù)據(jù):

摸棋的次數(shù)n1002003005008001000

摸到黑棋的次數(shù)加245176124201250

摸到黑棋的頻率如(精確0.2400.2550.2530.2480.2510.250

n

到0.001)

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)從盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是0.25；(精確到0.01)

(2)若盒中黑棋與白棋共有4枚，某同學(xué)一次摸出兩枚棋，請(qǐng)計(jì)算這兩枚棋顏色不同的

概率，并說明理由

【思路點(diǎn)撥】(1)大量重復(fù)試驗(yàn)下摸球的頻率可以估計(jì)摸球的概率，據(jù)此求解；

(2)畫樹狀圖列出所有等可能結(jié)果，再找到符合條件的結(jié)果數(shù)，根據(jù)概率公式求解可得.

【解析】解：(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)從盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是0.25,

故答案為:0.25；

(2)由(1)可知，黑棋的個(gè)數(shù)為4X0.25=1,則白棋子的個(gè)數(shù)為3,

畫樹狀圖如下：

由表可知，所有等可能結(jié)果共有12種情況,

其中這兩枚棋顏色不同的有6種結(jié)果，

所以這兩枚棋顏色不同的概率為工.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解大量重復(fù)試驗(yàn)中某個(gè)

事件發(fā)生的頻率能估計(jì)概率.

題組C培優(yōu)拔尖練

15.北京2022年冬奧會(huì)的吉祥物為“冰墩墩”，冬殘奧會(huì)的吉祥物為“雪容融”，體現(xiàn)了

人與自然和諧共生，深受青少年的喜愛.現(xiàn)有兩張正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片

除正面圖案不同外，其余均相同，其中一張正面印有“冰墩墩”圖案，另一張正面印有

“雪容融”圖案，將兩張卡片正面向下洗勻，從中隨機(jī)抽取一張卡片，小穎和同學(xué)抽取

卡片獲得的數(shù)據(jù)如下表：

抽取卡片的次100200300400500

數(shù)/次

抽到冰墩墩的5398156201248

次數(shù)/次

若抽取卡片的次數(shù)為1000,則“抽到冰墩墩”的頻數(shù)最接近（）

A.250B.500C.700D.850

【思路點(diǎn)撥】由表格知，隨著抽取次數(shù)的增加，抽到冰墩墩的頻率約為2型~0.5,據(jù)此

500

用抽取的總次數(shù)乘以概率的估計(jì)值.

【解析】解：由表格知，隨著抽取次數(shù)的增加，抽到冰墩墩的概率約為些=0.496-0.5,

500

所以當(dāng)抽取卡片的次數(shù)為1000時(shí)，“抽到冰墩墩”的頻數(shù)最接近1000X0.5=500,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固

定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的

集中趨勢(shì)來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率.

16.某班學(xué)生做“用頻率估計(jì)概率”的實(shí)驗(yàn)時(shí)，給出的某一結(jié)果出現(xiàn)如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，則

符合這一結(jié)果的實(shí)驗(yàn)可能是（)

A.從標(biāo)有1,2,3,4,5,6的六張卡片中任抽一張，抽到的卡片上標(biāo)有奇數(shù)

B.扔一枚面額一元的硬幣，正面朝上

C.在“石頭、剪刀、布”的游戲中，某人隨機(jī)出的是“剪刀”

D.擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點(diǎn)數(shù)是4

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)頻率估計(jì)概率分別對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分析，即可得出答案.

【解析】解：4從標(biāo)有1,2,3,4,5,6的六張卡片中任抽一張，出現(xiàn)奇數(shù)的概率是反

6

=1,不符合這一結(jié)果，故此選項(xiàng)不符合題意；

2

2、扔一枚面額一元的硬幣，正面朝上的概率是工，不符合這一結(jié)果，故此選項(xiàng)不符合題

2

忌；

C、在“石頭、剪刀、布”的游戲中，某人隨機(jī)出的是“剪刀”的概率是工，符合這一結(jié)

3

果，故此選項(xiàng)符合題意；

。、擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點(diǎn)數(shù)是4的概率是工，不符合這一結(jié)果,

6

故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了利用頻率估計(jì)概率，大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率.用到的知

識(shí)點(diǎn)為：頻率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.同時(shí)此題在解答中要用到概率公式.

17.小明在一次用頻率估計(jì)概率的實(shí)驗(yàn)中，從一副去掉大小王的撲克牌中，任意抽取一張,

把抽到紅桃出現(xiàn)的頻率繪制的統(tǒng)計(jì)圖，則滿足題意的統(tǒng)計(jì)圖是（）

八發(fā)率

0.4..........................