第22章 一元二次方程 綜合檢測(cè)

第22章一元二次方程綜合檢測(cè)(滿分100分，限時(shí)60分鐘)一、選擇題(每小題3分，共24分)1.(2023河南安陽(yáng)林州太行國(guó)際學(xué)校月考)下列方程是一元二次方程的是()A.x+y=1 B.y=1+x2 C.x2-1=0 D.x-1x2.(2023山西臨汾期中)我們?cè)诮庖辉畏匠?x+1)2-9=0時(shí)，先將等號(hào)左邊利用平方差公式進(jìn)行因式分解，得到(x+1+3)(x+1-3)=0，再把它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，即x+1+3=0或x+1-3=0，進(jìn)而解得x1=-4，x2=2，這種解方程的過程體現(xiàn)出來(lái)的數(shù)學(xué)思想是()A.抽象思想 B.數(shù)形結(jié)合思想 C.公理化思想 D.轉(zhuǎn)化思想3.(2023四川樂山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校月考)小明解方程12x2-2xA.第①步 B.第②步 C.第③步 D.第④步4.(2023河南開封祥符期中)全國(guó)各地積極開展“弘揚(yáng)紅色文化，重走長(zhǎng)征路”的主題教育學(xué)習(xí)活動(dòng)，某市革命紀(jì)念館成為重要的活動(dòng)基地，據(jù)了解，今年6月份該基地接待參觀人數(shù)10萬(wàn)人，8月份接待參觀人數(shù)增加到12.1萬(wàn)人，設(shè)這兩個(gè)月參觀人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為x，則下面所列方程正確的是()A.10(1+x)2=12.1 B.12.1(1-x)2=10C.12.1(1-2x)=10 D.10(1+2x)=12.15.(2023山西晉城陵川期中)已知x=m是關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+n-3=0的一個(gè)根，則m-n的最小值為()A.4 B.134 C.-154 6.如果關(guān)于x的方程kx2-2k+1x+1=0有實(shí)數(shù)根，那么A.k<12 B.k≤12且k≠0 C.-12≤k≤12 D.-12≤k7.(2023四川攀枝花米易期中)定義運(yùn)算：a□b=a(1-b).若a，b是關(guān)x的方程x2-x+14m=0(m<0)的兩根，則b□b-a□aA.0 B.1 C.2 D.與m有關(guān)8.(2023福建泉州培元中學(xué)期中)歐幾里得在《幾何原本》中記載了用“圖解法”解方程x2+ax=b2的方法，類似地，我們可以用折紙的方法求方程x2+2x-4=0的一個(gè)正根，如圖，一張邊長(zhǎng)為2的正方形紙片ABCD，先折出AD、BC的中點(diǎn)E、F，再沿過點(diǎn)C的直線折疊，使線段BC落在線段EC上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N，折痕為CM，點(diǎn)M在邊AB上，連結(jié)MN、EM，此時(shí)，在下列四個(gè)選項(xiàng)中，有一條線段的長(zhǎng)度恰好是方程x2+2x-4=0的一個(gè)正根，則這條線段是()A.線段EM B.線段CM C.線段BM D.線段AM二、填空題(每小題4分，共20分)9.(2022四川資陽(yáng)中考)若a是一元二次方程x2+2x-3=0的一個(gè)根，則2a2+4a的值是.

10.(2023四川遂寧射洪中學(xué)教育聯(lián)盟期中)三角形兩邊長(zhǎng)分別為3和6，第三邊的長(zhǎng)是方程x2-6x+8=0的解，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是.

11.(2023海南師范大學(xué)附中月考)以-2為一根且二次項(xiàng)系數(shù)是1的一元二次方程可寫為

(寫一個(gè)即可).

12.(2023山西太原杏花嶺期中)我們知道一元二次方程x2=-1沒有實(shí)數(shù)根，即不存在一個(gè)實(shí)數(shù)的平方等于-1.若規(guī)定一個(gè)新數(shù)“i”，使其滿足i2=-1，且進(jìn)一步規(guī)定：一切實(shí)數(shù)可以與新數(shù)“i”進(jìn)行四則運(yùn)算，同時(shí)原有的運(yùn)算法則和運(yùn)算律仍然成立，則i+i2+i3+…+i2021的值是.

13.(2023山西運(yùn)城萬(wàn)榮月考)點(diǎn)A，B在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是x1，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是x2，AB=1，且x1，x2是方程x2-4x+k=0的兩根，則k的值為.

三、解答題(共56分)14.(9分)(2023福建漳州實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)選擇合適的方法解下列方程：(1)x2-49=0； (2)2x2+6x-8=0； (3)x2+2x-1=0.15.(7分)(2023河南南陽(yáng)社旗期中)解方程：100(1-x)2=81.(1)你選用的解法是.

(2)直接寫出該方程的解是.

(3)請(qǐng)你結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)一個(gè)問題，使它能利用建立方程模型“100(1-x)2=81”來(lái)解決.16.(8分)(2023湖南衡陽(yáng)九中期中)關(guān)于x的一元二次方程x2-2x-m+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2.(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若方程兩實(shí)數(shù)根x1，x2滿足x12+x2217.(10分)(2023四川眉山洪雅實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)試說明無(wú)論m，n為何值，代數(shù)式m2+n2-8m+4n+20的值總是非負(fù)數(shù)，并求出當(dāng)m，n取何值時(shí)，這個(gè)代數(shù)式的值最小.18.(10分)(2023河南南陽(yáng)宛城月考)我區(qū)某店銷售某品牌置物架，平時(shí)每天平均可售出20個(gè)，每個(gè)盈利40元.為了擴(kuò)大銷售、增加盈利，該店在“雙十一”期間采取了降價(jià)促銷措施，在每個(gè)盈利不少于27元的前提下，經(jīng)過一段時(shí)間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低1元，平均每天可多售出2件.(1)若每個(gè)降價(jià)3元，則平均每天的銷售量為件.

(2)當(dāng)每個(gè)置物架降價(jià)多少元時(shí)，該商店每天的銷售利潤(rùn)為1200元?19.(12分)(2021福建廈門九中期中)(12分)定義：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2(x1<x2)，分別以x1，x2為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)得到點(diǎn)M(x1，x2)，則稱點(diǎn)M為該一元二次方程的衍生點(diǎn).(1)若關(guān)于x的一元二次方程為x2-2(m-1)x+m2-2m=0.①求證：無(wú)論m為何值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，并求出該方程的衍生點(diǎn)M的坐標(biāo)；②直線l1：y=x+5與x軸交于點(diǎn)A，直線l2過點(diǎn)B(1，0)，且l1與l2相交于點(diǎn)C(-1，4)，若由①得到的點(diǎn)M在△ABC的內(nèi)部，求m的取值范圍；(2)是否存在b，c，使得無(wú)論k(k≠0)為何值，關(guān)于x的方程x2+bx+c=0的衍生點(diǎn)M始終在直線y=kx+3(2-k)上?若存在，請(qǐng)求出b，c的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

第22章一元二次方程綜合檢測(cè)答案全解全析1.Cx+y=1是二元一次方程，不是一元二次方程；y=1+x2，含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程；x-1x=1是分式方程，不是一元二次方程.故選C2.D這種解法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想.3.C∵12x2-2x-1=0，∴x2-4x-2=0，∴x2-4x=2，則x2-4x+4=2+4，即(x-2)2=6，∴x-2=±6，∴x1=2+6，x2=2-6，∴他在解答過程中開始出錯(cuò)的步驟是第③步4.A根據(jù)今年8月份該基地接待參觀人數(shù)=今年6月份該基地接待參觀人數(shù)×(1+這兩個(gè)月參觀人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率)2，即可列出方程為10(1+x)2=12.1.5.D依題意把x=m代入方程得m2+2m+n-3=0，整理得n=-m2-2m+3，則m-n=m+m2+2m-3=m+322-214.因?yàn)閙+322≥0，所以m+326.C本題易想當(dāng)然地認(rèn)為方程kx2-2k+1x分情況求解如下：(1)當(dāng)k≠0時(shí)，方程為一元二次方程，所以2k+1≥0,(?2k+1)2?4k≥0,(2)當(dāng)k=0時(shí)，方程為-x+1=0，有實(shí)數(shù)根.綜上所述，k的取值范圍是-12≤k≤17.A(解法一)：[一般代入法]∵a，b是方程x2-x+14m=0(m∴a+b=1，∴b□b-a□a=b(1-b)-a(1-a)=b(a+b-b)-a(a+b-a)=ab-ab=0.(解法二)：[整體代入法]∵a，b是方程x2-x+14m=0(m<0)的兩根，∴a+b=1.∴b□b-a□a=b(1-b)-a(1-a)=b-b2-a+a2=(a2-b2)+(b-a)=(a+b)(a-b)-(a-b(a-b)(a+b-1)=0.(解法三)：[方程變形法]∵a，b是方程x2-x+14m=0(m∴a2-a=-14m，b2-b=-14∴b□b-a□a=b(1-b)-a(1-a)=-(b2-b)+(a2-a)=14m-14m8.C設(shè)BM=m，則AM=2-m，由題意可知△BCM≌△NCM，E是AD的中點(diǎn)，∴MN=BM=m，DE=AE=1，MN⊥CE，∴CE=DE2+CD2=5，∵S正方形ABCD=S△BCM+S△AEM+S△∴2×2=12×2×m+12×1×(2-m)+12×1×2+12×5×m，∴m=5-1.∵x2+2x-4=0的正根為x=59.6解析∵a是一元二次方程x2+2x-3=0的一個(gè)根，∴a2+2a-3=0，∴a2+2a=3，∴2a2+4a=2(a2+2a)=2×3=6.10.13解析x2-6x+8=0，(x-2)(x-4)=0，∴x-2=0或x-4=0，∴x1=2，x2=4.因?yàn)槿切蝺蛇叺拈L(zhǎng)分別為3和6，所以第三邊的長(zhǎng)為4，故這個(gè)三角形的周長(zhǎng)=3+6+4=13.11.答案不唯一，如x2+4x+4=0解析答案不唯一，如∵一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1，且一個(gè)根為-2，∴方程為(x+2)(x+m)=0，令m=2，則方程為(x+2)(x+2)=0，即x2+4x+4=0.12.i解析由題意得i1=i，i2=-1，i3=i2·i=(-1)·i=-i，i4=(i2)2=(-1)2=1，i5=i4·i=i，i6=i5·i=-1，故可發(fā)現(xiàn)4次一循環(huán)，一個(gè)循環(huán)內(nèi)的和為0，∵2021÷4=505……1，∴i+i2+i3+i4+…+i2021=i.13.15解析本題將一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系融入數(shù)軸中考查.∵AB=1，∴|x1-x2|=1，∴(x1-x2)2=1，∵x1，x2是方程x2-4x+k=0的兩根，∴x1+x2=-ba=4，x1x2=ca=∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=42-4k，∴42-4k=1，∴16-4k=1，∴k=15414.解析(1)x2-49=0，x2=49，∴x=±7，∴x1=7，x2=-7.(2)2x2+6x-8=0，x2+3x-4=0，∴(x+4)(x-1)=0，∴x+4=0或x-1=0，∴x1=1，x2=-4.(3)∵a=1，b=2，c=-1，∴Δ=b2-4ac=2-4×1×(-1)=6>0，∴x=?2±62×1=?2±62，即x115.解析(1)直接開平方法.(2)x1=0.1，x2=1.9.(3)答案不唯一，如：某種藥品的原價(jià)是100元/盒，經(jīng)過兩次降價(jià)后的單價(jià)是81元，那么平均每次降價(jià)的百分率是多少?16.解析(1)∵關(guān)于x的一元二次方程x2-2x-m+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，∴Δ=(-2)2-4(-m+2)=4m-4>0，∴m>1.(2)∵x12+x22=10，∴(x1+x2)2-2x1x2=10，∵x1+x2=2，x1x∴22-2(-m+2)=10，解得m=5.17.證明m2+n2-8m+4n+20=m2-8m+16+n2+4n+4=(m-4)2+(n+2)2.∵(m-4)2≥0，(n+2)2≥0，∴(m-4)2+(n+2)2≥0，∴無(wú)論m，n為何值，代數(shù)式m2+n2-8m+4n+20的值總是非負(fù)數(shù).當(dāng)m-4=0，n+2=0，即m=4，n=-2時(shí)，這個(gè)代數(shù)式的值最小.18.解析(1)依題意可知，若每降價(jià)3元，則平均每天的銷售量為20+2×3=26(件).(2)設(shè)每個(gè)置物架降價(jià)x元時(shí)，該商店每天的銷售利潤(rùn)為1200元.根據(jù)題意，得(40-x)(20+2x)=1200，整理得x2-30x+200=0，解得x1=10，x2=20.∵要求每個(gè)盈利不少于27元，∴x=10.答：當(dāng)每個(gè)置物架降價(jià)10元時(shí)，該商店每天的銷售利潤(rùn)為1200元.19.解析(1)①證明：∵x2-2(m-1)x+m2-2m=0，∴Δ=[-2(m-1)]2-4(m2-2m)=4>0，∴無(wú)論m為何值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.由x2-2(m-1)x+m2-2m=0解得x1=m-2，x2=m，∴方程x2-2(m