24.4 相似三角形判定（第4課時）同步練習(xí)

24.4相似三角形判定（第4課時）【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．如圖，、是的兩條高，、相交于，則下列結(jié)論不正確的是（

）．A．∽ B．∽C．∽ D．∽2．如圖，中，于一定能確定為直角三角形的條件的個數(shù)是（）①②③④⑤A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題3．如圖直角梯形中，，，，，，，則______．（用、的代數(shù)式表示）三、解答題4．在中，，于點，（1）寫出圖中所有的相似三角形；（2）寫出（1）中相似三角形對應(yīng)邊的比例式．5．如圖，已知，，且，求證：．6．如圖，在矩形中，，，是的中點，聯(lián)結(jié)、．求證：．7．已知：和中，、分別為與的高線，且．求證：∽．8．如圖，△ABC中，CD是邊AB上的高，且．（1）求證：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．【能力提升】1．如圖，P是RtABC的斜邊BC上異于B、C的一點，過點P作直線截ABC，使截得的三角形與ABC相似，滿足這樣條件的直線共有_____條．2.已知直角三角形斜邊上的高為12，并且斜邊上的高把斜邊分成3:4兩段，則 斜邊上的中線長是 ．3.如圖，在中，于D，于F，于G．求證：．4.如圖，直角梯形ABCD中，，AD//BC，，E為梯形內(nèi)一點，且．將繞點C旋轉(zhuǎn)90°使BC與DC重合，得到，連接 EF交CD于點M．已知，，求的值．5.如圖，在中，于D，于E，于F，求證：∽．6.在中，，于點D，E是AC邊上的一個動點（不 與A、C重合），于點F，連接DF．（1）求證：；（2）求證：．

24.4相似三角形判定（第4課時）（解析版）【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．如圖，、是的兩條高，、相交于，則下列結(jié)論不正確的是（

）．A．∽ B．∽C．∽ D．∽【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理，找出圖中的全等三角形，即可得到答案.【詳解】∵BD、CE是△ABC的高，∴∠ADB=∠AEC=90°，又∵∠A=∠A∴△ADB∽△AEC∴又∵∠A=∠A∴△ADE∽△ABC，故A正確；∵BD、CE是△ABC的高，∴∠OEB=∠ODC=90°，又∵∠EOB=∠DOC∴△BOE∽△COD，故C正確；∵△BOE∽△COD∴又∵∠DOE=∠COB∴△DOE∽△COB，故B正確；無法判定△BOE∽△BDE，故D錯誤；故選D.【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理是解決本題的關(guān)鍵.2．如圖，中，于一定能確定為直角三角形的條件的個數(shù)是（）①②③④⑤A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】解：①因為∠A+∠2=90°，∠1=∠A，所以∠1+∠2=90°，即△ABC為直角三角形，故正確；②根據(jù)CD2=AD?DB得到，再根據(jù)∠ADC=∠CDB=90°，則△ACD∽△CBD，∴∠1=∠A，∠2=∠B，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得：∠ACB=90°，故正確；③因為∠B+∠2=90°，∠B+∠1=90°，所以推出∠1=∠2，無法得到兩角和為90°，故錯誤；④設(shè)BC的長為3x，那么AC為4x，AB為5x，由9x2+16x2=25x2，符合勾股定理的逆定理，故正確；⑤由三角形的相似無法推出AC?BD=AD?CD成立，所以△ABC不是直角三角形，故錯誤．所以正確的有三個．故選C．二、填空題3．如圖直角梯形中，，，，，，，則______．（用、的代數(shù)式表示）【答案】【分析】由題目條件易得∠D=∠ACB=90°，∠ACD=∠BAC，可判定△ACD∽△BAC，然后由對應(yīng)邊成比例可求出AB.【詳解】∵DC∥AB∴∠ACD=∠BAC∵DA⊥DC，AC⊥BC∴∠D=∠ACB=90°∴△ACD∽△BAC∴∴在Rt△ACD中，∴故答案為.【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握判定定理，找出對應(yīng)角相等是解決本題的關(guān)鍵.三、解答題4．在中，，于點，（1）寫出圖中所有的相似三角形；（2）寫出（1）中相似三角形對應(yīng)邊的比例式．【答案】（1）△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD；（2），，.【分析】（1）根據(jù)兩角相等可判定△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，再由相似的傳遞性可得△ACD∽△CBD；（2）再由相似三角形對應(yīng)邊成比例寫出比例式.【詳解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACB=∠ADC=90°，又∵∠A=∠A∴△ABC∽△ACD同理可得△ABC∽△CBD，∴△ACD∽△CBD故相似三角形為：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD；（2）∵△ABC∽△ACD∴∵△ABC∽△CBD∴∵△ACD∽△CBD∴故比例式為：，，.【點睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握由兩組對角相等判定三角形相似，以及相似三角形對應(yīng)邊成比例是解決本題的關(guān)鍵.5．如圖，已知，，且，求證：．【分析】由可得，可判定Rt△ABD∽Rt△DBC，然后由相似三角形對應(yīng)角相等可得∠ABD=∠DBC.【詳解】證明：∵∴∴Rt△ABD∽Rt△DBC∴∠ABD=∠DBC【點睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握直角三角形的斜邊直角邊對應(yīng)成比例即可判定相似是解決本題的關(guān)鍵.6．如圖，在矩形中，，，是的中點，聯(lián)結(jié)、．求證：．【分析】由條件易得，根據(jù)兩組對邊成比例且夾角相等可判定△ABM∽△BCD，再由對應(yīng)邊相等可得∠BAM=∠CBD，然后可推出∠CBD+∠AMB=90°，即可得AM⊥BD.【詳解】證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴CD=AB=，BC=AD=，∠ABM=∠BCD=90°又∵M是BC的中點，∴BM=BC=∴，∴又∵∠ABM=∠BCD∴△ABM∽△BCD∴∠BAM=∠CBD又∵∠BAM+∠AMB=90°，∴∠CBD+∠AMB=90°，∴AM⊥BD.【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，由線段長度得出成比例線段是解決本題的關(guān)鍵.7．已知：和中，、分別為與的高線，且．求證：∽．【分析】在Rt△ABD與Rt△A'B'D'中，由直角邊和斜邊對應(yīng)成比例得到△ABD∽△A'B'D'，所以∠B=∠B'，再根據(jù)兩組對邊成比例且夾角相等，判定△ABC∽△A'B'C'.【詳解】證明：在Rt△ABD與Rt△A'B'D'中，∵，∴△ABD∽△A'B'D'，∴，又，∴∽．【點睛】本題考查相似三角形判定和性質(zhì)，熟練掌握判定定理是解決此類問題的關(guān)鍵.8．如圖，△ABC中，CD是邊AB上的高，且．（1）求證：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．【答案】（1）證明見試題解析；（2）90°．試題分析：（1）由兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似，即可證明△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．試題解析：（1）∵CD是邊AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵．∴△ACD∽△CBD；（2）∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)．【能力提升】1．如圖，P是RtABC的斜邊BC上異于B、C的一點，過點P作直線截ABC，使截得的三角形與ABC相似，滿足這樣條件的直線共有_____條．【答案】3試題分析：過點P作直線與另一邊相交，使所得的三角形與原三角形有一個公共角，只要再作一個直角就可以．解：由于△ABC是直角三角形，過P點作直線截△ABC，則截得的三角形與△ABC有一公共角，所以只要再作一個直角即可使截得的三角形與Rt△ABC相似，過點P可作AB的垂線、AC的垂線、BC的垂線，共3條直線．故答案為3．考點：相似三角形的判定．2.已知直角三角形斜邊上的高為12，并且斜邊上的高把斜邊分成3:4兩段，則 斜邊上的中線長是 ．【答案】．【解析】解：如右圖，在中，， 于點，．設(shè)，，． 易證，得，得，所以 解得，，而，所以．【總結(jié)】本題考查了直角三角形相似的判定方法，同時考查了直角三角形斜邊上的中線等相關(guān)知識．3.如圖，在中，于D，于F，于G．求證：．【解析】證明：，， ． 又，． ，即． 同理可得：，．【總結(jié)】本題考查了直角三角形相似的判定方法，同時考查了相似三角形的性質(zhì)等知識．4.如圖，直角梯形ABCD中，，AD//BC，，E為梯形內(nèi)一點，且．將繞點C旋轉(zhuǎn)90°使BC與DC重合，得到，連接 EF交CD于點M．已知，，求的值．【答案】．【解析】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：， 且． ． ， ． ． 在中，．．【總結(jié)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形一邊的平行線等相關(guān)知識．5.如圖，在中，于D，于E，于F，求證：∽．【解析】證明：，， ． 又，． ，即． 同理，可得：． ，即．