2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項突破：橢圓（含答案及解析）

專題15橢圓

考情概覽

命題解讀考向考查統(tǒng)計

1.高考對橢圓的考查，重點(diǎn)是橢圓的定義和弦長2022?新高考I卷，16

(1)橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方橢圓的離心率2023?新高考I卷,5

程。2022?新高考II卷，16

直線與橢圓的應(yīng)用

(2)橢圓的簡單幾何性質(zhì)(范圍、對2023?新高考n卷，5

稱性、頂點(diǎn)、離心率)。

(3)直線和橢圓的位置關(guān)系及綜合應(yīng)橢圓的軌跡方程2024?新高考n卷，5

用。

2024年真題研析

命題分析

2024年高考新高考I卷橢圓的考查體現(xiàn)在大題中，后續(xù)專題會解讀。II卷考查了橢圓的軌跡方程求法,

難度較易。橢圓是圓雉曲線的重要內(nèi)容，高考主要考查橢圓定義的運(yùn)用、橢圓方程的求法以及橢圓的簡單

幾何性質(zhì)，尤其是對離心率的求解，更是高考的熱點(diǎn)問題，因方法多，試題靈活，在各種題型中均有體現(xiàn)。

預(yù)計2025年高考還是主要考查橢圓的定義和離心率。

試題精講

一、單選題

1.(2024新高考n卷6)已知曲線C：X2+/=16(y>0),從C上任意一點(diǎn)尸向x軸作垂線段PP,P'

為垂足，則線段PP的中點(diǎn)〃的軌跡方程為()

2222

A.—+—=1(>>。)B.土+匕=1(…)

164168

2222

C.^+―=1(y>0)D.匕+土=1(y>0)

164168

近年真題精選

一、單選題

,2丫2

1.Q023新高考I卷-5)設(shè)橢圓G：1+/=1(?！?),。2：亍+/1的離心率分別為9勺.若4=展,則a=

a

()

A.空B.V2C.出D.V6

3

2.(2023新高考n卷—5)已知橢圓C:?+/=l的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,直線N=x+m與。交于/,

8兩點(diǎn)，若WAB面積是△鳥43面積的2倍，則m=().

A.fB.正C一也D.二

二、填空題

22

3.(2022新高考I卷-16)已知橢圓C:=+二=l(a>6>0),C的上頂點(diǎn)為/,兩個焦點(diǎn)為耳，鳥，離心率

ab

為。.過內(nèi)且垂直于/巴的直線與C交于。，E兩點(diǎn),1。￡|=6,則的周長是.

4.(2022新高考n卷-16)已知直線/與橢圓《+《=1在第一象限交于4,3兩點(diǎn)，/與x軸，y軸分別交于

M,N兩點(diǎn)，且|M4|=|N3|,|AW|=2jL貝心的方程為.

必備知識速記

一、橢圓的定義

平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)斗，月的距離之和等于常數(shù)2a(2a>|^|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個定點(diǎn)叫做橢圓

的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距，記作2c,定義用集合語言表示為：

{P\\PF1|+|PF2|=2a(2a>|F{F2\=2c>0)}

注意：當(dāng)2a=2c時，點(diǎn)的軌跡是線段；

當(dāng)2a<2c時，點(diǎn)的軌跡不存在.

22

下a=1（。＞6＞。）

標(biāo)準(zhǔn)方程-+-=l(a>Z?O)

統(tǒng)一方程mx2+ny2=l(m>0,n>0,mH)

[x=acos0乙w,/、[x=tZCOS^/、

參數(shù)方程\7.八招為參數(shù)(6E[0,2加)7.八超為參數(shù)(?！闧0,2加)

[y=bsm，[y=bsmd

第一定義到兩定點(diǎn)F1、F?的距離之和等于常數(shù)2a,^\MFt\+\MF2\=2a(2.>|丹丹|)

范圍-a<x<a^-b<y<b-b<x<bS.-a<y<a

A1(—a,0)、A2(a,o)A】(0,—Q)、A?(0,Q)

頂點(diǎn)

BI(O,-6)、B2(0㈤Bi(-瓦0)、B2(/7,0)

軸長長軸長=2a,短軸長=26長軸長=2a,短軸長=2b

對稱性關(guān)于x軸、》軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對，稱

焦點(diǎn)耳（-c,0）、巴（c,0）片(0,-c)、7^(0,c)

222

焦距\FtF2\=2c(c=a-b)

離心率e=r\亨=2-

準(zhǔn)線方程

c

SI外S1一外

點(diǎn)和橢圓宣+日

=1O點(diǎn)(%o/o)在橢圓<上=lo點(diǎn)(%,比)在橢圓4上

2212

的關(guān)系abab

<1內(nèi)<1內(nèi)

+（（鵬Jo）為切點(diǎn)）1（（%0Jo）為切點(diǎn)）

abab

切線方程對于過橢圓上一點(diǎn)（后,%）的切線方程，只需將橢圓方程中f換為x°x,「換為

yoy可得

切點(diǎn)弦所

在的直線理+警=1（點(diǎn)（％,%）在橢圓外）理+罟=1（點(diǎn)（x0,%）在橢圓外）

abab

方程

2h2

①COS"-----1且xa=4陷，（8為短軸的端點(diǎn)）

焦點(diǎn)三角

形面積卜|%],焦點(diǎn)在工軸上

S10

②^F2=/sin。/tan5=1.I屋上**L（夕=4尸月）

0日,焦點(diǎn)在璉由上

S\A落°F/

C當(dāng)尸點(diǎn)在長軸端點(diǎn)時，（42）min=62

、當(dāng)尸點(diǎn)在短軸端點(diǎn)時，（r;^）max=a2

焦點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是

2a⑵>2C）

\\MFX\+\MF2^

222

[|片乙|=|PFl\+\PF2I-21PFt\\PF21cos/FFB

._,z_,?上焦半徑：|孫=Q-"o

左焦半徑：W/|=Q+e/11

__.zz_..下焦半徑：|孫|=Q+"o

焦半徑又焦半徑：=tz-ex0

焦半徑最大值”+c,最小值a-c

過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦叫通徑：通徑長=2七（最短的過焦點(diǎn)的弦）

通徑

a

設(shè)直線與橢圓的兩個交點(diǎn)為B（x2,y2）,kAB=k,

2

貝！J弦長忖一司=J1+左之+x2）一4國入2

弦長公式

=Jl+'j（必+_4yly2=J1+左2￡

Vk\a\

（其中〃是消歹后關(guān)于x的一元二次方程的x2的系數(shù)，A是判別式）

【橢圓常用結(jié)論】

1、過橢圓的焦點(diǎn)與橢圓的長軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長為2生b2.

a

①橢圓上到中心距離最小的點(diǎn)是短軸的兩個端點(diǎn)，到中心距離最大的點(diǎn)是長軸的兩個端點(diǎn).

②橢圓上到焦點(diǎn)距離最大和最小的點(diǎn)是長軸的兩個端點(diǎn).

距離的最大值為“+C,距離的最小值為a-c.

2、橢圓的切線

22

①橢圓?+與=1（。>6>0）上一點(diǎn)尸（%,%）處的切線方程是答+綽=1；

abab

22

②過橢圓，+斗=1（a>6>0）外一點(diǎn)尸（后,%）,所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是寫+誓=1；

abab

22

③橢圓=+==1（。>6>0）與直線/x+2y+C=0相切的條件是/2/+2&=02

ab

名校模擬探源

一、單選題

1.（2024?湖北荊州三模）已知橢圓C：：+，=1的一個焦點(diǎn)為（0,2）,則人的值為（）

A.4B.8C.10D.12

222

2.（2024?山東煙臺三模）若橢圓土+二=1與橢圓f+4=i（6>1）的離心率相同，則實數(shù)6的值為

43b2

（）

A.-B.-C.—D.-

3324

22_

3.（2024?江西九江?三模）已知橢圓C:1+A=l（a>6>0）的左右焦點(diǎn)分別為耳月，過耳且傾斜角為工的

ab6

直線交C于第一象限內(nèi)一點(diǎn)A.若線段用的中點(diǎn)在了軸上，△皿旦的面積為2g,則C的方程為（）

A.片+/=1X2V2

B.—+—=1

332

cf+T=1D.

22

4.（2024?河南?三模）已知橢圓C:二+q=1僅>6>0）的右焦點(diǎn)為p，短軸長為2月，點(diǎn)"在橢圓上，若

ab

I叱I的最大值是最小值的3倍，則橢圓的焦距為（）

A.3B.4C.1D.2

22

5.（2024?浙江紹興?三模）已知直線>=區(qū)（左。0）與橢圓C/+親_=1（4>6〉0）交于A,8兩點(diǎn)，以線

段45為直徑的圓過橢圓的左焦點(diǎn)片，若閨/|=2|月8],則橢圓C的離心率是（）

5V55

B.C.D.

49

22

6.（2024?江西鷹潭?三模）已知橢圓C:a+3=1（°>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳耳，傾斜角為45°且過

原點(diǎn)的直線/交橢圓于M,N兩點(diǎn).若阿訓(xùn)=忸段，設(shè)橢圓的離心率為e,則e2=（）

A.V2-1B.2-V2

C.V3-1D.3-V3

7.（2024?天津河西?三模）已知片，月是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，尸是它們的一個公共點(diǎn)，且

jr

若橢圓的離心率為雙曲線的離心率為則；；的最小值為（）

AFXPF2=~,q,e2,e+e

A.3+gB.C.D.4

22

22

8.2024?四川?三模）已知橢圓C:—+4=1（/7>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳點(diǎn)尸是橢圓上一點(diǎn)，若△尸片與

4b

的內(nèi)心為“，連接尸M并延長交X軸于點(diǎn)。，且歸初=若|0叫，則橢圓的短軸長為（）

A.2B.2&C.2y5D.—

3

22

9.（2024?廣東汕頭?三模）已知橢圓C：,+巳=1的兩個焦點(diǎn)分別為g，F(xiàn)2,尸是C上任意一點(diǎn)，則下

列不正確的是（）

A.C的離心率為:B.|尸盟的最小值為2

C|巴訃|尸用的最大值為16D.可能存在點(diǎn)P,使得/與尸耳=65。

22

10.（2024?河北衡水?模擬預(yù)測）己知橢圓C:=+4=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳且，過耳向圓

ab

/+/=卜2引切線交橢圓于點(diǎn)P,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|QP|=|O閭，則橢圓的離心率為（）

A.yB.@C.—D.f

2233

22

11.（2024?浙江?三模）已知橢圓「:三+4=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，B，過月的直線/與橢

ab

圓r相交于43兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C.連接KC,F}A.若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)XCVFXA,

S4COF?~2s△陽弓，則橢圓「的離心率為（）

A,包V5Vio

5

二、多選題

22

12.（2024?河南開封?三模）橢圓C:言^+。=1（加>0）的焦點(diǎn)為耳，F(xiàn)2,上頂點(diǎn)為，，直線/片與C的

7T

另一個交點(diǎn)為3,若/月/月=],則（）

A.C的焦距為2B.C的短軸長為2G

C.c的離心率為@D.Zi/Bg的周長為8

2

13.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知長軸長、短軸長和焦距分別為2.、26和2c的橢圓。，點(diǎn)N是橢圓C與其

長軸的一個交點(diǎn)，點(diǎn)2是橢圓。與其短軸的一個交點(diǎn)，點(diǎn)耳和丹為其焦點(diǎn)，/8,8片.點(diǎn)尸在橢圓。上,

TT

若/招尸￡=§,貝U（）

A.a,b,。成等差數(shù)列

B.a,b,c成等比數(shù)列

C.橢圓。的離心率e=^+l

D.“幽的面積不小于AP"；的面積

226

14.（2024?河南?三模）已知橢圓。：,+4=1（4〉6>0）經(jīng)過點(diǎn)P（后,1）,且離心率為力.記C在尸處的

ab2

切線為/,平行于。尸的直線/'與C交于4,2兩點(diǎn)，貝I（）

22

A.C的方程二+匕=1

42

B.直線OP與/的斜率之積為-1

C.直線OP,/與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰三角形

D.直線P4,P8與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰三角形

22

15.（2024?全國?二模）已知圓。：x?+y2=3經(jīng)過橢圓C：^-+^-=1（a>/?>0）的兩個焦點(diǎn)片，鳥,

ab

且尸為圓O與橢圓。在第一象限內(nèi)的公共點(diǎn)，且的面積為1，則下列結(jié)論正確的是（）

A.橢圓。的長軸長為2B.橢圓。的短軸長為2

（h?府

C.橢圓。的離心率為JD.點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

16.（2024?江西南昌三模）將橢圓G：J+，=l（a>6>0）上所有的點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角，得到橢

圓G的方程：x2+y2-xy=6,則下列說法中正確的是（）

A.a=2V3B.橢圓C2的離心率為立

3

C.（2,2）是橢圓。2的一個焦點(diǎn)D.

4

22

17.（2024?江西宜春?三模）設(shè)橢圓C：［=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,坐標(biāo)原點(diǎn)為。若橢圓

84

C上存在一點(diǎn)尸，使得|。尸|=6，則下列說法正確的有（）

3—?—?

A.COS/F"=MB.PFCPF2=5

C.△與尸耳的面積為2D.△片時的內(nèi)切圓半徑為亞_1

三、填空題

18.（2024?上海?三模）已知橢圓C的焦點(diǎn)耳、耳都在x軸上，尸為橢圓C上一點(diǎn)，△尸耳鳥的周長為6,

且歸凰，閨閭，|學(xué)|成等差數(shù)列，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

22

19.（2024?四川攀枝花?三模）已知橢圓。:斗+右=1（?！?〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為斗F?,點(diǎn)、M,N在C

ab

上，且根=3而，麗，可，則橢圓C的離心率為.

22

20.（2024?山西?三模）已知橢圓C:宗+方=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為E，B，若C上存在一點(diǎn)尸,

使線段尸片的中垂線過點(diǎn)工，則C的離心率的最小值是.

21.（2024?陜西咸陽?三模）已知橢圓C:且+二=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳、B，”為橢圓C上任意一點(diǎn),

54

夕為曲線E:x2+y2-6x—4y+12=0上任意一點(diǎn)，則阿。|+阿眉的最小值為.

2

22.（2024?湖南長沙?三模）已知橢圓/~+/=1,尸為橢圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作與直線4：y=3x和

4：y=-3x平行的直線，分別交％4交于〃，N兩點(diǎn),則的最大值為.

22

23.（2024?重慶?三模）已知橢圓1+2=1（°>6>0）的左右焦點(diǎn)為耳弓，若橢圓上存在不在x軸上的兩

ab

點(diǎn)/,8滿足品+而=而，且$出/片/3=2$出/巴/8,則橢圓離心率e的取值范圍為.

專題15橢圓

考情概覽

命題解讀考向考查統(tǒng)計

1.高考對橢圓的考查，重點(diǎn)是橢圓的定義和弦長2022?新高考I卷，16

(1)橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方橢圓的離心率2023?新高考I卷,5

程。2022?新高考II卷，16

直線與橢圓的應(yīng)用

(2)橢圓的簡單幾何性質(zhì)(范圍、對2023?新高考n卷，5

稱性、頂點(diǎn)、離心率)。

(3)直線和橢圓的位置關(guān)系及綜合應(yīng)橢圓的軌跡方程2024?新高考n卷，5

用。

2024年真題研析

命題分析

2024年高考新高考I卷橢圓的考查體現(xiàn)在大題中，后續(xù)專題會解讀。II卷考查了橢圓的軌跡方程求法,

難度較易。橢圓是圓雉曲線的重要內(nèi)容，高考主要考查橢圓定義的運(yùn)用、橢圓方程的求法以及橢圓的簡單

幾何性質(zhì)，尤其是對離心率的求解，更是高考的熱點(diǎn)問題，因方法多，試題靈活，在各種題型中均有體現(xiàn)。

預(yù)計2025年高考還是主要考查橢圓的定義和離心率。

試題精講

一、單選題

1.(2024新高考n卷6)已知曲線C：x2+y2=16(y>0),從C上任意一點(diǎn)尸向x軸作垂線段PP,P'

為垂足，則線段PP的中點(diǎn)〃的軌跡方程為()

2222

A.—+—=1(>>。)B.土+匕=1(…)

164168

2222

C.^+―=1(y>0)D.^+―=1(y>0)

164168

【答案】A

【分析】設(shè)點(diǎn)由題意，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)表示可得尸(x，2y),代入圓的方程即可求解.

【詳解】設(shè)點(diǎn)則尸(x,%),P'(x,0),

因為初為PP的中點(diǎn),所以％=2y,BPP(x,2y),

又夕在圓/+/=i6(y>0)上,

丫22

所以％2+4必=16(y>0),即0+-=l(y>0),

164

22

即點(diǎn)”的軌跡方程為2+-=i(y>o).

164

故選:A

近年真題精選

一、單選題

22

1.(2023新高考I卷?5)設(shè)橢圓q:3+/=1(。＞1),c?:二+/=1的離心率分別為華,e?.若e2=百令，則a=

a4

()

A.氈B.V2c.V3D.4e

3

【答案】A

【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計算作答.

【詳解】由02=瓜"得e；=3e：,因此上l=3x",而。＞1,所以”=翌1.

4a3

故選：A

2

2.(2023新高考H卷-5)己知橢圓C:?+/=l的左、右焦點(diǎn)分別為耳，耳，直線V=x+加與C交于/,

8兩點(diǎn)，若△片/8面積是面積的2倍，則加=().

A2R正「亞D二

3333

【答案】C

【分析】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用A＞0,求出“范圍，再根據(jù)三角形面積比得到關(guān)于加的方程，

解出即可.

y=x+m

【詳解】將直線v=x+加與橢圓聯(lián)立■x2,消去J可得4,+6加x+3加之一3=o,

—+y7=1

13/

因為直線與橢圓相交于48點(diǎn)，則A=36加2-4X4(3,2

>m-3)>0,解得-2<m<29

設(shè)片到N5的距離4,F2到AB距離4,易知片(-Ao),/^(V2,0),

-y/2+m/V2+m

則4

2=^T~

-yl2+m

V

DAF[AB

=l+OT|，=2＞解得機(jī)=-包或-3夜（舍去），

Viifi1-^

NAF2AB|V2+m||v2+m|3

故選：c.

二、填空題

22

3.(2022新高考I卷?16)已知橢圓C:=+與=l(a>6>0),C的上頂點(diǎn)為N,兩個焦點(diǎn)為耳，用,離心率

ab~

為。.過耳且垂直于“巴的直線與C交于。，￡兩點(diǎn)，|。引=6,則ZUDE的周長是.

【答案】13

22

【分析】利用離心率得到橢圓的方程為3+5=1,即3x2+4/」2c2=0,根據(jù)離心率得到直線/耳的斜

率，進(jìn)而利用直線的垂直關(guān)系得到直線的斜率，寫出直線DE的方程：x=43y-c,代入橢圓方程

3父+4/一⑵2=0,整理化簡得到：13/-664-%2=0,利用弦長公式求得c=q,得a=2c=根據(jù)對

稱性將的周長轉(zhuǎn)化為△月。E的周長，利用橢圓的定義得到周長為44=13.

【詳解】??橢圓的離心率為e=.?.橢圓的方程為

a2

22

+=1，即3x?+-12c?=0,不妨設(shè)左焦點(diǎn)為耳，右焦點(diǎn)為耳，如圖所示,?“工=a,OF2=c,a=2c,

/華。=’△州名為正三角形，???過耳且垂直于4月的直線與C交于D,E兩點(diǎn)，OE為線段N耳的垂

直平分線，.??直線。￡的斜率為浮，斜率倒數(shù)為6，直線。E的方程：x=^y-c,代入橢圓方程

3X2*8+4/-12C2=0,整理化簡得到：13/一6瘋y-9c2=0,

判別式A=僅人『+4*13義%2=6?X16XC2,

“郎=J1+(G)1乂一刃=2xa=2x6x4x/=6,

13㈤-13

???c=——,得。=2c=—,

84

???OE為線段/鳥的垂直平分線，根據(jù)對稱性，AD=DF2,/￡=%,.?.△/口?的周長等于DE的周長，

利用橢圓的定義得到△月?！曛荛L為

\DF2\+\EF2\+\DE\=|DF21+|EF2卜I0不用￡耳\=\DFt|+|。周+|E瑪+|E用=2a+2a=4a=13.

故答案為：13.

22

4.（2022新高考II卷-16）已知直線/與橢圓一+一=1在第一象限交于4,8兩點(diǎn)，/與x軸，y軸分別交于

o3

M,N兩點(diǎn)，且|K4|=|N3|,|ACV|=2VL貝心的方程為.

【答案1x+應(yīng)y—2A/2=0

【分析】令48的中點(diǎn)為E，設(shè)/（國，乂），利用點(diǎn)差法得到左OE也B=-g，設(shè)直線=b+%

k<0,m>0,求出M、N的坐標(biāo)，再根據(jù)|ACV|求出左、m,即可得解；

【詳解】［方法一卜弦中點(diǎn)問題：點(diǎn)差法

令48的中點(diǎn)為￡,設(shè)4（再,必），85,%）,利用點(diǎn)差法得到勺上也B=-g，

設(shè)直線Z8：V=b+",k<0,m>0,求出〃、N的坐標(biāo)，

再根據(jù)|M7V|求出后、m,即可得解；

解：令48的中點(diǎn)為E,因為|加留=的4，所以|ME|=|NE|,

2222

設(shè)/（%,%）,雙%,%）,則工+2L=i,三+江=1,

6363

所以立一立+正一應(yīng)=0,即（%一%）（西+，2）15+匕）（弘一%）=0

663363

所以即左右1，設(shè)直線/B:y=?+w,k<0,m>0,

—％2）（玉+%2）22

m1

令x=0得）=加，令）=0得x=_￡,HPAfi-poj,N（0，M，

所以E,mm

2k9'2

m

=解得一坐或后=變（舍去），

m222

~2k

X|ACV|=2V3,即|M2V|=J〃?2+=2道,解得加=2或加=-2（舍去）,

【方法二］:直線與圓錐曲線相交的常規(guī)方法

解：由題意知，點(diǎn)E既為線段43的中點(diǎn)又是線段MN的中點(diǎn),

設(shè)）（占,必），B（x2,y2）,設(shè)直線b+用，k<0,m>0,

則叩￡,oj,N(O,m),因為|MV|=2君，所以[0同=百

y=kx+m

聯(lián)立直線AB與橢圓方程得:x2y2消掉y得(1+2左2)%2+4成x+2/_6=0

—+—=1'

[63

22

其中A=(4mA:)-4(1+2k2)Q2m-6)>0,^+x2=

??.AB中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)演=-洋2mkm

:.xF=---------

1i2.K，又“hr萬，￡1+2/2k

,?,左<0,m>0,:.k=-^^,又\OE\=](-gy+(")2=G，解得m=2

所以直線AB:y=-*x+2,即x+W-2亞=0

必備知識速記

一、橢圓的定義

平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)耳，區(qū)的距離之和等于常數(shù)2“（2。>|耳8|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個定點(diǎn)叫做橢圓

的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距，記作2c,定義用集合語言表示為：

｛尸||期|+1PF21=2a（2a>|耳后|=2c>0）｝

注意：當(dāng)2a=2c時，點(diǎn)的軌跡是線段；

當(dāng)2a<2c時，點(diǎn)的軌跡不存在.

二、橢圓的方程、圖形與性質(zhì)

焦點(diǎn)的位

焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

置

G

Zj

圖形

RiO

s;w

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程會+臺1(…>0)>"=1(…>0)

統(tǒng)一方程mx2+ny2=l(m>0,n>0,mH)

[x=tZCOS^-w,/、

參數(shù)方程\八招為參數(shù)（6￡[0,2加）八，。為參數(shù)(6￡[0,2加)

[y=bsind[y=bsin0

第一定義到兩定點(diǎn)K、F2的距離之和等于常數(shù)2a,^\MFt\+\MF2\=2a(2a>|丹丹|)

范圍-a<x<a^-b<y<b-b<x<bS.-a<y<a

頂點(diǎn)A1(-a,0)、A](a,0)A】（0,—Q）、A，2（0,Q）

B|(O,-6)、B2(O,6)B1(-6,0)、B2(6,0)

軸長長軸長=2q,短軸長=2b長軸長=2a,短軸長=2b

對稱性關(guān)于X軸、y軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對,稱

焦點(diǎn)耳（-c,0）、巴（c,0）耳（0,-c）、鳥（O,c）

焦距閨月=2c(c2=a1-b2)

.c.f

離心率e

ea」4=EZr?(o<e<i)

a\a=Va

準(zhǔn)線方程

c

>1,外>1一外

點(diǎn)和橢圓

22<=10點(diǎn)（%/。堆橢圓《上=10點(diǎn)(%,%)在橢圓4上

的關(guān)系aba2b2

<1內(nèi)<1內(nèi)

~^r+~r'=^^(xo^o)為切點(diǎn))2^+等=］（（/,%）為切點(diǎn)）

abab

切線方程

對于過橢圓上一點(diǎn)（X。,%）的切線方程，只需將橢圓方程中/換為x°X,「換為

可得

切點(diǎn)弦所

在的直線號+萼=1（點(diǎn)（%,%）在橢圓外）理+等=1（點(diǎn)（x°,%）在橢圓夕卜）

abab

方程

2b之

①cos8二——1，6max=GF?,（B為短軸的端點(diǎn)）

1.n，2&焦點(diǎn)在X軸上

②s.g=#smfj焦點(diǎn)在例上

J

隹占二角0XA

形面積

、［當(dāng)尸點(diǎn)在長軸端點(diǎn)時，（4G）min=b2

(

、當(dāng)尸點(diǎn)在短軸端點(diǎn)時，（42）max=02

4苣點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是

}MFt\+\MF2\=2a（2a>2c）

%和=?理/8包4尸工）

22

JF遙|=|PF^+\PF2I-21尸耳||PF21cos』F\PF2

上焦半徑：|兒陰|=〃-"0

左焦半徑：[“凰=〃+/

下焦半徑：|孫=Q+e%

焦半徑又焦半徑：1兒陰|=a-%

焦半徑最大值a+c,最小值

過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦叫通徑：通徑長=2上（最短的過焦點(diǎn)的弦）

通徑

a

設(shè)直線與橢圓的兩個交點(diǎn)為力（西,必），S（x2,j2）,kAB=k,

2

貝|J弦長|/同=Jl+左2上一司=Jl+左2J（X]+x2）-

弦長公式=J1+/J（必+”）2—4/立=J1+左2M

Vk\a\

（其中a是消j后關(guān)于x的一元二次方程的%2的系數(shù)，A是判別式）

【橢圓常用結(jié)論】

1、過橢圓的焦點(diǎn)與橢圓的長軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長為二.

a

①橢圓上到中心距離最小的點(diǎn)是短軸的兩個端點(diǎn)，到中心距離最大的點(diǎn)是長軸的兩個端點(diǎn).

②橢圓上到焦點(diǎn)距離最大和最小的點(diǎn)是長軸的兩個端點(diǎn).

距離的最大值為a+c,距離的最小值為a-c.

2、橢圓的切線

22

①橢圓三+馬=1（a>6>0）上一點(diǎn)尸（%,%）處的切線方程是岑+綽=1；

abab

22

②過橢圓\+A=l（a>6>0）外一點(diǎn)尸（x0,%）,所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是寫+理=1；

abab

22

③橢圓餐+馬=1（a>6>0）與直線4v+8y+C=0相切的條件是4/+笈〃=c?.

ab

名校模擬探源

一、單選題

22

1.（2024?湖北荊州?三模）已知橢圓C：±+*=1的一個焦點(diǎn)為（0,2）,則后的值為（）

8k

A.4B.8C.10D.12

【答案】D

【分析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與焦點(diǎn)位置即可得解.

【詳解】由題意得，c2=4,a2=k,〃=8,所以左=4+8=12.

故選：D.

222

2.（2024?山東煙臺?三模）若橢圓二+二=1與橢圓/+［=1（6>1）的離心率相同，則實數(shù)6的值為

43b2

（）

A.B.-C.—D.-

3324

【答案】A

【分析】由離心率相等列出關(guān)于6的方程求解即可.

222

【詳解】若橢圓二+匕=1與橢圓x?+A=l（b>l）的離心率相同，

43b2

貝?。?=絲］，解得6=名8>1滿足題意.

4b2