處理導(dǎo)數(shù)解答題的八種常用方法-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義

處理導(dǎo)數(shù)解答題的八種常用方法

一、方法：

1.列表

根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)，推導(dǎo)原函數(shù)的單調(diào)性，列表求極值和最值。

2.分類(lèi)討論

導(dǎo)函數(shù)最常用的方法，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分段討論。

3.分離參數(shù)

對(duì)于恒成立問(wèn)題和能成立問(wèn)題，避免復(fù)雜的分類(lèi)討論，將參數(shù)分離出來(lái)，構(gòu)造新函數(shù)求最值。

4.洛必達(dá)法則

對(duì)于端點(diǎn)值取不到的情況，使用洛必達(dá)法則，大題可以直接使用。

5.兩邊取對(duì)數(shù)

指數(shù)型的不等式或者連乘的不等式，可以?xún)蛇吶?duì)數(shù)，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算降低運(yùn)算級(jí)別。

6.變換主元

若導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中含有雙變量，根據(jù)簡(jiǎn)單原則確定主元。

7.設(shè)而不求

導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)無(wú)法確定的隱零點(diǎn)問(wèn)題，采用設(shè)而不求的方式設(shè)出零點(diǎn)，根據(jù)方程整體代換，再利用零點(diǎn)存

在定理逐步逼近零點(diǎn)。

8.二階求導(dǎo)

對(duì)于導(dǎo)函數(shù)無(wú)法判斷正負(fù)的情況，可以嘗試二次求導(dǎo)或者多次求導(dǎo)，再根據(jù)圖像依次倒推出原函數(shù)的

單調(diào)性。

二、例題:

分離參數(shù)+列表

1.已知函數(shù)/。)=(/-。)短.

⑴若a=3,求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

⑵已知石,々是/(%)的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且|凡+馬因玉4I,若3/(4)<°3+不/一34+6恒成立，求實(shí)

數(shù)6的取值范圍。

解：(l)va=3,.-./(x)=(x2-3)e\r(x)=(/+2x—3)/=0nx=—3或1

令TO。,解得尤e(—應(yīng)―3)U(l,+8)令尸⑴<0,解得xe(-3,1),

???/(x)的增區(qū)間為(-應(yīng)-3),(1,+8)；減區(qū)間為(-3,1),

⑵f'(x)=(x2+2x-d)ex=0,即+2x一a=0

由題意兩根為,，占+%=-2,4,%2=-。,X,.1!^+x21>|x,x2\：.-2<a<2

且△=4+4。>0,—1<。<2.

—3—3

g(a)=3/(a)—ci—tz"+3a=3(礦a)e"—/——Q-+3(i,

g\a)=3(/+a-l)(e0-1)=0=>a=1、"或a=0

（0與）--1（與，2）

a(-1,0)02

2

g'(a)+0—0+

g(a)/極大值極小值/gQ)

又g(0)=0,g(2)=6e2-8,8(嘰叱=6/-8,.?.。>6/-8.

二、分離參數(shù)+洛必達(dá)法則

2.已知函數(shù)=辦-1,(其中aeR,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

⑴當(dāng)。=0時(shí)，求曲線(xiàn)"Ax)在(0,〃0))處的切線(xiàn)方程;

(2)當(dāng)1三1時(shí),若關(guān)于%的不等式/⑺三0恒成立,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

⑶當(dāng)x三1時(shí),若關(guān)于1的不等式/⑺三0恒成立,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

2

解：(1)當(dāng)。=0時(shí)，/(刈=/_三-1，"'(x)=e*-x,二/(0)=0"'(0)=1,...切線(xiàn)方程為丁=%.

x

(2)［方法一］2e---l

x>1,f(x)—e*-----cix-120a<---------

2x

X2r2

ex---l(x-lX---1

設(shè)g(x)=----2—,貝1Jg'(x)=-------一一

XX

設(shè)0(x)=(x-l)ex--+1,貝1J(p\x)=x(ex-1)>0,

。(%)在口,+8)上為增函數(shù)，，(p(x)2(p(y)=1>0,

，V=..=匚'在"⑹上為增函數(shù)，

33

，g(x)2g(l)=e—3，,?e~~o,

丫2

［方法二］；/(尤)="一］一以一1,；.f\x)=ex-x-a,

設(shè)/z(x)=ex-x-a,h'(x)=ex-1,

???x20,.?.”(0=靖一120,，/7(x)=e，-x-。在口,+8)上為增函數(shù)，

W)三以1)=e-1-a.(如何判斷其符號(hào)？由已知f(x)>°恒成立有/(1)>0)

丫233

又=—120恒成立，「./⑴二^—a—彳20,/.Cl

22，

，力(九)2力(1)=6—1一。>0,「.f\x)=ex-x-a>0,

23

y(x)=e，-二-0-1在口,+8)上為增函數(shù),此時(shí)/(x)Nf(X)=e-a—-NO恒成立，

22

..a一e--3-.

2

(改xNO時(shí)，『。)》0恒成立.。三1)

X2

解：先證明g(x)在(0,+8)上是增函數(shù)，再由洛比達(dá)法則5T_“me'-XT，...gaAi,...aWL

iiin-iim-i

x—>0xx->0］

(正常的討論進(jìn)行不了，除非系數(shù)調(diào)到二次項(xiàng)上/0)=，-分兩種情況討論可得aW1)

三、兩邊取對(duì)數(shù)

3.設(shè)函數(shù)/(x)=,斗"＜。＞一1且XHO)

(x+1)ln(x+l)

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求/(x)的取值范圍；

(3)已知2擊＞(x+i)"，對(duì)任意xe(-1,0)恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍。

左力/?1、「，/、ln(x+l)+l

觸⑴“8=一(X+l)[2(X+l)

當(dāng)f'(x)>。時(shí)，即ln(x+1)+1<0,-1<x<e-1-1.

當(dāng)/(x)<0時(shí)，即111。+1)+1>0,0>%>0-1-1或%>0

故函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(T/-1)

函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(e-T0),(0,+oo).

(2)由廣。)=。時(shí)，即ln(x+l)+l=O,x=eT-l,

由(1)可知/(X)在上遞增，在遞減,所以在區(qū)間(-1,0)上,

當(dāng)了=/-1時(shí)，Ax)取得極大值，即最大值為了(",-1)=-墳

在區(qū)間(。,+8)上，/(%)＞0,

函數(shù)/(X)的取值范圍為(-s,-eRQ+s).分

m

(3),.2^>(x+l)>0,xe(-l,0)?兩邊取自然對(duì)數(shù)得±ln2>wln(x+l)

In2

>(x+l)ln(x+l)對(duì)xe(-l,O)恒成立12分

In2

則m大于的最大值,13分

(x+)ln(x+l)

由(2)可知，當(dāng)了=/-1時(shí)，—————取得最大值-gln2

(x+l)ln(x+l)

所以附＞-gin2....................14分

四、兩邊取對(duì)數(shù)的技巧、換元構(gòu)造函數(shù)

丫2

4.已知函數(shù)/(元)="(1+助———.

1+X

⑴求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若不等式(1+1廠we對(duì)任意的〃eN*都成立(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，求a的最大值.解：⑴函數(shù)

n

/(x)的定義域是(-1,+8),

21n(1+尤)x2+2x2(1+x)ln(l+x)-x2-2x

1+x(1+x)2—(1+x)2

設(shè)g(x)=2(1+x)ln(l+x)-x2-2x,則g'(x)=2ln(l+x)-2x.

令h(x)=21n(l+x)-2X貝(Jhr(x)=—-—2=—.

'91+x1+x

當(dāng)-l<x<0時(shí)，〃(x)>0,〃(x)在(一1,0)上為增函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),、(x)<0,〃(尤)在(0,+co)上為減

函數(shù).所以爾x)在產(chǎn)0處取得極大值，而力(0)=0,所以g'(x)<0("0),函數(shù)g(x)在(-1,+?))上為減函數(shù).

于是當(dāng)—l<x<0時(shí)，8(%)〉8(0)=0,當(dāng)天>0時(shí)，g(x)<g(0)=0.所以，當(dāng)—l<x<0時(shí)，/^)>0,/(x)

在(一1,0)上為增函數(shù).當(dāng)x>0時(shí),/'(x)<0,/(無(wú))在(0,+8)上為減函數(shù).

故函數(shù)/(無(wú))的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0),單調(diào)遞減區(qū)間為。+8).

11

⑵不等式(1+e等價(jià)于不等式(〃+a)ln(l+-)<1.

nn

11<1

由1+—>1知，In(l+與>0,.??上式變形得一九

nn皿1+—)

n

iii

設(shè)％=一，則G(尤)=77rl—，龍€(0』,則

幾ln(l+%)x

11_(l+x)ln2(l+x)—/

G(%)=----------------------1—r=—5----------A----------.

(1+x)ln2(l+%)x2x2(l+x)ln2(l+%)

由⑴結(jié)論知，In2(1+x)--------<0,(/(%)W/(O)=。)BP(l+x)ln2(l+x)-x2<0.

1+x

所以G，(x)<0,xe(O,l],于是G(x)在(0,1]上為減函數(shù).

故函數(shù)G(x)在(0』上的最小值為G(l)=+-L

所以a的最大值為，-1.

五、變換主元

5.設(shè)函數(shù)f(x)=alnx-bx2.

⑴若函數(shù)/(X)在x=l處與直線(xiàn)>=-；相切：

①求實(shí)數(shù)人的值；②求函數(shù)/(X)在?、樯系淖畲笾?；

e

⑵當(dāng)匕=0時(shí)，若不等式/(X)三m+x對(duì)所有的ae［O,-］,xe口,/］都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解：(1)@f'(x)=--2bx

Xa

［f'(l)=a-2b=0(a=l

?.?函數(shù)/(X)在x=l處與直線(xiàn)y=W相切.?.「小;1,解得L1.

2f(1)=-b=——b=—

I22

(5)/(x)=lnx--x2,f\x)=--x=-——

2xx

當(dāng)LxVe時(shí)，令尸(x)>0得L<1；令尸(x)<0,得l<x〈e,"(X)在上單調(diào)遞增，在［1,e］

ee\_e

上單調(diào)遞減，???/'(x)max=Al)=-g.

(2)當(dāng)b=0時(shí)，/(x)=alnx若不等式/(x)之機(jī)+x對(duì)所有的ae0,|,xe(l,e2］都成立，則alnx2/"+x對(duì)

所有的ae0，!”0,/］都成立，

即mWaInx-X,對(duì)所有的。e［0,|］,尤e(1,e1都成立，

令〃(a)=alnx-x,則/z(a)為一次函數(shù)，m</i(a)min.

?.?xe(l,e2］,，lnx>0,.1/zm)在。€［。，萬(wàn)］上單調(diào)遞增，/z(?)min=h(G)=-x,

m<-x對(duì)所有的xe(1,e?］都成立.

-.■l<x<e2,.---e2<-x<-l,m<(-x)^=-e2..

(注：也可令/z(x)=aInx-則加Wh(x)所有的xe(1,e?］都成立，分類(lèi)討論得m<以的血=2a-e?對(duì)所

有的ae［0《］都成立，，機(jī)V(2a-e2)而l-?2,請(qǐng)根據(jù)過(guò)程酌情給分)

六、二階求導(dǎo)

6.設(shè)函數(shù)/(x)=e，-gx2-x.

⑴若左=0,求若x)的最小值;

⑵若當(dāng)龍20時(shí)f(x)21,求實(shí)數(shù)Z的取值范圍.

解：(1)左=0時(shí),f(x)=ex-x,f\x)=ex-1.

當(dāng)xe(-co,0)時(shí)，尸(x)<0；當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，f'(x)>0.

所以/(x)在(-8,0)上單調(diào)減小，在(0,+8)上單調(diào)增加

故/(X)的最小值為/(0)=1

(2)f\x)=ex-kx-l,f\x)=ex-k

當(dāng)左W1時(shí)，r(x)>0(x>0),所以/'⑴在［0,+⑹上遞增，

而/'(0)=0,所以尸(?20(x20),所以/⑴在［0,+8)上遞增，

而"))=1,于是當(dāng)時(shí),/(%)>1.

當(dāng)左〉1時(shí)，由/"(x)=0得x=ln左

當(dāng)xe(0,lnQ時(shí),rW<0,所以:(功在(0/nQ上遞減,

而八0)=0,于是當(dāng)尤e(0,lnQ時(shí),/(九)<0,所以/(%)在(0,ln幻上遞減,

而"))=1,所以當(dāng)xe(0,lnQ時(shí),/(%)<1.

綜上得左的取值范圍為(-8』］.

七、分類(lèi)討論

7.已知函數(shù),3=匕小區(qū)由

X

(I)求函數(shù)f(X)的定義域

(II)確定函數(shù)f(X)在定義域上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.

(III)若x〉0時(shí)/(x)＞占恒成立，求正整數(shù)N的最大值.

解：⑴定義域(-1,0)。(0,+8)

(2)/,(X)=4[^T+W+D]當(dāng)尤>0時(shí)，/'(x)<0單調(diào)遞減。

XX+1

111X

當(dāng)XG(-1,0),令g(x)=--+ln(x+1)g'(x)=----V+--=-~~

x+1(x+1)x+1(X+1)

ga)1+w)11X

g'(x)=-----T-----------二-------------T

U+l)2x+1(x+1)2

故g(x)在(―1,0)上是減函數(shù),即g(x)>g(0)=l>0,

故此時(shí)/⑺=-+ln(x+1)]

Xx+1

在(一1,0)和(0,+8)上都是減函數(shù)

(3)當(dāng)X>0時(shí),/(%)>—^7恒成立，令1=1有％<2[l+ln2]

x+1

又k為正整數(shù)，.?.!<的最大值不大于3

k

下面證明當(dāng)k=3時(shí)，/W>―r0>0)恒成立

X+1

當(dāng)x>0時(shí)(x+1)ln(x+1)+1-2x>Of旦成立

令g(x)=(x+l)ln(x+l)+l—2x貝(Jg'O)=ln(x+l)-l,當(dāng)—l時(shí)，gf(x)>0

當(dāng)0<%<e-l時(shí)，g，(x)<0:.當(dāng)x=e-1時(shí)，g(x)取得最小值g(e-l)=3-e>0

當(dāng)X>0時(shí)，(x+l)ln(x+l)+l-2%>0恒成立，因此正整數(shù)k的最大值為3

八、分離參數(shù)+設(shè)而不求

8.已知函數(shù)/'(無(wú))=([-6x?+3x+f)e工,teR.

若存在實(shí)數(shù)te[0,2],使對(duì)任意的xe[l,向，不等式/(X)WX恒成立.求正整數(shù)加的最大值.

解：不等式/(x)Vx,即(尤3-6x2+3x+f)e"x,即/4旄一，一/+6/一3尤.

轉(zhuǎn)化為存在實(shí)數(shù)/[0,2],使對(duì)任意xe[l,%],不等式任x/-尤3+6/一3%恒成立,

即不等式04旄-，-尤3+6尤2_3》對(duì)任意xe[1,m]上恒成立。

即不等式0<e-，—_?+6x—3在x?[L間上恒成立。

x2x

設(shè)(p(x)=e~-x+6x-3,則(p'(x)=~e~-2x+6o

設(shè)廠(x)=°'(x)=-H*-2x+6,則/(x)=ef-2,因?yàn)?4x4m,有r'(x)<。。

故r(x)在區(qū)間[1,間上是減函數(shù)。

Xr(l)=4-e-1>0,r(2)=2-e-2>0,r(3)=-e-3<0

故存在/e(2,3),使得r(x0)=*%)=0。

當(dāng)lWx<x()時(shí)，有d(x)>0,當(dāng)」>!時(shí),有d(x)<0。

從而y=G(x)在區(qū)間[1,5]上遞增，在區(qū)間[%，+00)上遞減。

又火1)=1+4〉0,以2)="2+5>0,夕(3)=I+6>0,

9(4)=e-+5>0用(5)="5+2〉0,^(6)=e-6-3<0.

所以當(dāng)時(shí)，恒有0(x)>0；當(dāng)x26時(shí)，恒有。。)<0；

故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5.

九、設(shè)而不求+兩邊取對(duì)

9.已知函數(shù)/(x)=mrl(x+l)(x>o).

X

(I)試判斷函數(shù)/(X)在(0,+8)上單調(diào)性并證明你的結(jié)論；

(II)若/*)>々恒成立，求整數(shù)N的最大值；

(III)求證：(1+1X2)(1+2X3)…[1+〃(加l)]>e2"T.

1X11

解：(I)/'(X)=-[-----1-ln(x+1)]=—-[----+ln(x+1)]

XX+1XX+1

x>0,/.x2>0,--—>0,ln(x+1)>0,/.f\x)<0./(%)在(0,oo)上遞減.

x+1'

(II)f(x)>—恒成立,即/z(x)=a+l)[l+ln(x+l)]>々恒成立.

x+1