2025年湖北省武漢市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（附答案解析）

2025年湖北省武漢市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.（5分）已知集合/={1,a],B={2,3,4},且NU3={1,2,3,4},則實數(shù)°取值的集合是（）

A.{1,2,3,4}B.{2,3,4}C.{2}D.{3}

2.（5分）已知△/BC的三個角N,B,C的對邊分別是a,b,c,若3a=26,B=2A,則cos3=（）

771

AR——C_±D.-

161688

3.（5分）二項式（2?-2）8的展開式中的常數(shù)項為（）

A.1792B.-1792C.1120D.-1120

3

4.（5分）如圖，A,5是兩個形狀相同的杯子，且5杯高度是Z杯高度的：，則5杯容積與4杯容積之比

4

最接近的是（）

A.1：3B.2：5C.3：5D.3：4

5.（5分）已知數(shù)列{斯卜則“斯_2+斯+2=2即（幾之3,幾WN*）”是“數(shù)列{即}是等差數(shù)列”的（）

A.充分不必烈條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

6.（5分）若0Vq<6Vl,c>l,則（）

A.cb<caB.logcQ>logcb

cc

C.sin—>sin-rD.ac<bc

ab

7.（5分）如圖展示了一個由區(qū)間（0,1）到實數(shù)集R的映射過程：區(qū)間（0,1）中的實數(shù)/對應(yīng)數(shù)軸上

的點如圖1；將線段圍成一個圓，使兩端點，、8恰好重合（從N到3是逆時針），如圖2；再

將這個圓放在平面直角坐標系中，使其圓心在》軸上，點/的坐標為（0,1）,如圖3.圖3中直線

第1頁（共20頁）

與X軸交于點N（m0）,則加的象就是力記作/（加）=機則下列說法中正確命題的是（）

1

A.心=1

B.f（x）是奇函數(shù)

C./（%）在定義域上單調(diào)遞增

D.f（x）的圖象關(guān)于歹軸對稱

8.（5分）已知點尸（-c,0）（c>0）是雙曲線區(qū)一3=1的左焦點，過尸且平行于雙曲線漸近線的直

線與圓x2+f=c2交于點P,且點尸在拋物線/=4CX上，則該雙曲線的離心率是（）

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

（多選）9.（6分）已知復(fù)數(shù)Z1,Z2滿足：Z1為純虛數(shù)，|Z2-1|=2|Z2-4|,則下列結(jié)論正確的是（）

A.z：=一|z/2

B.3W|Z2|W7

C.\zi-Z2|的最小值為3

D.|zi-z2+3z］的最小值為3

（多選）10.（6分）已知函數(shù)/（x）=|1-2sin2x|,下列結(jié)論正確的是（）

A.f（X）的最小正周期為TT

B.函數(shù)y=/（X）的圖象關(guān)于直線比=一左對稱

C.函數(shù)/（X）在（今，著）上單調(diào)遞增

D.方程/（X）=1在［-11,TT］上有7個不同的實根

（多選）11.（6分）勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉(zhuǎn)動，并且始

終保持與兩平面都接觸.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個

球的相交部分圍成的幾何體，若用棱長為4的正四面體作勒洛四面體，如圖4,則下列說法正確

第2頁（共20頁）

的是（)

A.平面48c截勒洛四面體所得截面的面積為8兀-8/

47r

B.記勒洛四面體上以C,。為球心的兩球球面交線為弧N5,則其長度為百

C.該勒洛四面體表面上任意兩點間距離的最大值為4

D.該勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為4

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）己知"g=2,則Ina2-Inb2—.

13.（5分）已知直線/：辦+力-3=0經(jīng)過點（a,6-2）,則原點到點尸（a,b）的距離可以

是.（答案不唯一，寫出你認為正確的一個常數(shù)就可以）

14.（5分）已知a,6eR,若函數(shù)f（x）=|asinx+6cosx-l|+|6sinx-acosx|的最大值為5,則/+廬=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）如圖，在四棱錐尸-48CD中，底面/BCD為菱形，以_L平面48cD,/C與3D相交于點E,

點尸在尸C上，EF1PC,AC=4V2,BD=4,EF=2.

（1）證明：。尸_L平面尸2C；

（2）若以與平面所成的角為a,平面為。與平面P5C的夾角為為求a+0.

16.（15分）某學(xué)校為提升學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，要求所有學(xué)生在學(xué)年中完成規(guī)定的學(xué)習(xí)任務(wù)，并獲得相應(yīng)過

程性積分.現(xiàn)從該校隨機抽取100名學(xué)生，獲得其科普測試成績（百分制，且均為整數(shù)）及相應(yīng)過程性

積分數(shù)據(jù)，整理如下表：

科普測試成績X科普過程性積分人數(shù)

第3頁（共20頁）

904W100410

80Wx<903a

700<802b

600<70123

0?6002

(I)當a=35時，

(/)從該校隨機抽取一名學(xué)生，估計這名學(xué)生的科普過程性積分不少于3分的概率；

(ii)從該校科普測試成績不低于80分的學(xué)生中隨機抽取2名，記X為這2名學(xué)生的科普過程性積分

之和，估計X的數(shù)學(xué)期望￡(X)；

(II)從該?？破者^程性積分不高于1分的學(xué)生中隨機抽取一名，其科普測試成績記為上述100

名學(xué)生科普測試成績的平均值記為七.若根據(jù)表中信息能推斷HW72恒成立，直接寫出。的最小值.

1

17.(15分)已知函數(shù)/(無)=燦—尸.

(I)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若函數(shù)g(x)=\f(x)+e~2a\,xE(0,+°°)存在最大值，求a的取值范圍.

18.(17分)已知圓月J(久+I/+y2=16,直線4過點加(1,0)且與圓出交于點2,C,中點為

D,過山。中點￡且平行于的直線交4c于點尸，記尸的軌跡為「

(1)求「的方程；

(2)坐標原點。關(guān)于小，血的對稱點分別為小，比，點/1，關(guān)于直線y=x的對稱點分別為C1，

C2,過小的直線/2與「交于點M,N,直線3W相交于點。.請從下列結(jié)論中，選擇一個正確

的結(jié)論并給予證明.

①△Q21C1的面積是定值；②△。囪歷的面積是定值：③△0CC2的面積是定值.

19.(17分)如果無窮數(shù)列｛斯｝滿足“對任意正整數(shù)3/(右勺)，都存在正整數(shù)左，使得以=斯?/”，則稱

數(shù)列｛斯｝具有“性質(zhì)尸”.

(1)若等比數(shù)列｛即｝的前〃項和為S”且公比《＞1，q=12,a=120,求證：數(shù)列｛斯｝具有“性質(zhì)尸”；

(2)若等差數(shù)列｛4｝的首項加=1,公差deZ,求證：數(shù)列｛4｝具有“性質(zhì)尸”，當且僅當deN；

(3)如果各項均為正整數(shù)的無窮等比數(shù)列｛5｝具有“性質(zhì)尸”，且2%512,4%IO.四個數(shù)中恰有兩

個出現(xiàn)在數(shù)列｛』｝中，求ci的所有可能取值之和.

第4頁(共20頁)

2025年湖北省武漢市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.（5分）已知集合/={1,a},8={2,3,4},且NU3={1,2,3,4},則實數(shù)a取值的集合是（）

A.{1,2,3,4}B.{2,3,4}C.{2}D.{3}

【解答】解：：集合/={1,a},B={2,3,4},且NU3={1,2,3,4）,

，實數(shù)。取值的集合為{2,3,4）.

故選：B.

2.（5分）已知△/8C的三個角/,B,C的對邊分別是a,b,c,若3a=2b,B=2A,則cos3=（）

7711

A.一B.C.一,QD.一

161688

【解答】解：因為3a=2b,B=2A,

由正弦定理可得：3siiL4=2siriS=2sin24=4sirUcos/,

因為ZE（0,n）,所以sig>0,

所以3=4cosZ,§9cosA=彳，

所以cosB=cos2A=2COS2A-1=2X（4/—1=g.

故選：D.

3.（5分）二項式（2?-白"的展開式中的常數(shù)項為（）

A.1792B.-1792C.1120D.-1120

【解答】解：因為7計1=C￡2后8-r.（__i）r*T?-rC^-r,

令4-r=0,得r=4,

所以二項式展開式中的常數(shù)項為苒=（—1）4x2%3=1120.

故選：C.

3

4.（5分）如圖，A,8是兩個形狀相同的杯子，且2杯高度是/杯高度的：，則3杯容積與/杯容積之比

4

最接近的是（）

第5頁（共20頁）

A.1：3B.2：5C.3：5D.3：4

3

【解答】解：因為a5是兩個形狀相同的杯子，且5杯高度是4杯高度的了，

4

所以底面半徑比也是3

4

所以兩個杯子的底面積之比為SB：S4=(|)2,

所以B杯容積與A杯容積之比:B?=(7)2x7-77~0.4=25,

SAhj\4464

故選：B.

5.(5分)已知數(shù)列｛即｝,則“an_2+冊+2=2an(n>3,neN*)”是“數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列”的()

A.充分不必烈條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【解答】解：判斷充分性：因為。"-2+即+2=2。"，所以。"+2-。"=即-。"-2,

令n=2k(柘N*),則。2k+2-。2左=。2左-。2旌2=”-=。4-。2,所以數(shù)列｛斯｝的偶數(shù)項成等差數(shù)列，

令n=2k-\(左6N*),則。2斤+1-◎-1=。2屋1-02旌3="?=。3-所以數(shù)列｛叫的奇數(shù)項成等差數(shù)列，

但數(shù)列｛斯｝不一定是等差數(shù)列，如：1,1,2,2,3,3；

所以“an_2+On+2=2an(n>3,nGN*)”不是“數(shù)列｛曲｝為等差數(shù)列”的充分條件；

再判斷必要性：若數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列，則2冊=a—+an+1=味產(chǎn)+廝+產(chǎn)2=%+竽+竽,

所以2an=an.2+an+2,所以“％-2+冊+2=20noi>3,nGN*)”是“數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列”的必要條

件；

綜上，“即-2+冊+2=2an(n>3,neN*)”是“數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列”的必要不充分條件.

故選：B.

6.(5分)若0<a<6<l,c>l,貝?。?)

ba

A.c<cB.logciz>logcZ>

第6頁(共20頁)

rc

C.sin—>sin-rD.a<bc

ab

【解答】解：對于4,???c>l,?,?指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞增，

又,：a〈b,：9<亂故4錯誤；

對于5,??7>1,?,?對數(shù)函數(shù)y=logd在（0,+8）上單調(diào)遞增，

又.?.logcQVlogcb,故5錯誤；

9

對于C,：0<a<b<lfc>l,

cc

>—>1,

ab

cc

\,正弦函數(shù)y=sinx在（1,+°°）上不具有單調(diào)性，.?.無法判斷sin-與sin：的大小，故C錯誤；

對于。，：c>l,...幕函數(shù)y=x。在（0,+8）上單調(diào)遞增，

又：.ac<bc,故。正確.

故選：D.

7.（5分）如圖展示了一個由區(qū)間（0,1）到實數(shù)集R的映射過程：區(qū)間（0,1）中的實數(shù)加對應(yīng)數(shù)軸上

的點如圖1；將線段圍成一個圓，使兩端點/、2恰好重合（從/到2是逆時針），如圖2；再

將這個圓放在平面直角坐標系中，使其圓心在y軸上，點N的坐標為（0,1）,如圖3.圖3中直線

與x軸交于點N（小0）,則加的象就是"，記作/（加）=〃.則下列說法中正確命題的是（）

1

A.心=1

B./（x）是奇函數(shù)

C./（%）在定義域上單調(diào)遞增

D.f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱

【解答】解：由題意知，/（：）=-1,故/錯;

又：函數(shù)/（x）的定義域為（0,1）,不關(guān)于原點對稱,

函數(shù)/（x）是非奇非偶函數(shù)，故8、D錯.

當x從0-1變化時，點N從左邊向右邊移動，其對應(yīng)的坐標值漸漸增大,

第7頁（共20頁）

故/（x）在定義域上單調(diào)遞增，所以C正確.

故選：C.

22

8.（5分）已知點尸（-C,0）（c>0）是雙曲線x區(qū)一v言=1的左焦點，過尸且平行于雙曲線漸近線的直

線與圓x2+f=c2交于點P,且點尸在拋物線，=4cx上，則該雙曲線的離心率是（）

【解答】解：如圖，設(shè)拋物線爐=4cx的準線為/,作尸。，/于0,

設(shè)雙曲線的右焦點為P,P（x,y）.

由題意可知歹P為圓/+產(chǎn)=02的直徑，

:.PF±PF,且tan/尸F(xiàn)P=J,\FFf|=2c,

y2=4c%①

x2+y2=&②,

{x+caJ

將①代入②得f+4cx-c2=0,

則x—-2c±V5c,

即》=(V5-2)c,(負值舍去)

代入③，即y=(信”叱再將y代入①得，當=:葭=e2-1

aCL(Y5-1)

即e2=繆1

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

第8頁（共20頁）

（多選）9.（6分）已知復(fù)數(shù)zi,Z2滿足：幻為純虛數(shù)，匕2-1|=20-4］,則下列結(jié)論正確的是（）

A.Z1=_憶1|2

B.3W|Z2|W7

C.|ZLZ2|的最小值為3

D.0-Z2+34的最小值為3

【解答】解：；zi為純虛數(shù)，，可設(shè)zi=6i（bW0）,二2：=-62=一憶1|2,.?.選項力正確；

對2：設(shè)Z2=m+〃in￡R）,V\z2-1|=2|Z2-4|,

則（加-1）2+n2=4（m-4）2+4n2,即（m-5）2+n2=4,

則Z2所對應(yīng)點的軌跡是以（5,0）為圓心，以2為半徑的圓，

；.3W|z2|W7,...選項8正確；

對C：；zi為純虛數(shù)，；.zi對應(yīng)點在y軸上（除去原點），

Z2所對應(yīng)點的軌跡是以（5,0）為圓心，以2為半徑的圓，

.?m1-Z2|的取值范圍為（3,+8）,.?.團-Z2|無最小值，選項C錯誤；

對D：|zi-Z2+3Z|=|（b+3）i-Z2\,

表示點（0,6+3）到以（5,0）為圓心，以2為半徑的圓上的點的距離，

：（6+3）i（6W0）為純虛數(shù)或0,（0,6+3）在y軸上（除去點（0,3））,

當6=-3時0-Z2+3”取得最小值3,；.選項D正確.

故選：ABD.

（多選）10.（6分）已知函數(shù)/G）=11-2sin2x|,下列結(jié)論正確的是（）

A./（X）的最小正周期為TT

B.函數(shù)y=/（x）的圖象關(guān)于直線％=-$寸稱

C.函數(shù)/（x）在（左，著）上單調(diào)遞增

D.方程/（x）=1在［-豆，IT］上有7個不同的實根

1

-

1—2sin2x,2

【解答】解：由題意，函數(shù)/（%）=|1-2sin2x\=-1

-

2sin2x—1/2

作出了（X）在［-TT,Tl］上的圖象，

將y=2sin2x的圖象向下平移1個單位可得到y(tǒng)=2sin2x-1的圖象,

將所得圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，

如圖所示：

第9頁（共20頁）

由圖可知/（x）的最小正周期為m故4正確;

曲線＞=/（%）關(guān)于直線第=-亨對稱，故5正確；

函數(shù)/（X）在G，碧）上單調(diào)遞減，則C錯誤；

方程/（X）=1在［-TT,TT］上有7個不同的實根，所以。正確.

故選：ABD.

（多選）11.（6分）勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉(zhuǎn)動，并且始

終保持與兩平面都接觸.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個

球的相交部分圍成的幾何體，若用棱長為4的正四面體/BCD作勒洛四面體，如圖4,則下列說法正確

的是（）

A.平面48c截勒洛四面體所得截面的面積為8兀-8/

4TT

B.記勒洛四面體上以C,。為球心的兩球球面交線為弧N3,則其長度為百

C.該勒洛四面體表面上任意兩點間距離的最大值為4

D.該勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為4

【解答】解：對于/,平面/8C截勒洛四面體所得截面如圖甲，

第10頁（共20頁）

它的面積為三個半徑為4,圓心角為60°的扇形的面積減去兩個邊長為4的正三角形的面積,

即3x；x3x42—2x空x42=8兀一8百，故/正確;

對于2,如圖乙，取CD中點G,

在△N3G中，AG=BG=2V3,AB=4,記該勒洛四面體上以C,D為球心的兩球交線為弧N3,

則該弧是以CD的中點G為圓心，以2遮為半徑的圓弧，

設(shè)圓心角為//08=a,則cosa=（2f）'可知a-2b7”兀，

ZXZV3XZV3。>

4TT

所以弧長不等于石，故8錯誤；

對于C,如圖丙，設(shè)弧的中點是M,線段的中點是N,設(shè)弧CO的中點是X,線段。的中點

是G,

丙

則根據(jù)圖形的對稱性，四點M,N,G,"共線且過正四面體/BCD的中心O,則MG=GA=NH=2?

NG=siAG2-AN2=J（2b）2-22=2&,MN=GH=2用-2VLMH=4百-2&,

即勒洛四面體表面上任意兩點間距離可能大于4,最大值為4H-2近，故C錯誤；

第11頁（共20頁）

對于。，勒洛四面體能容納的最大球，與勒洛四面體的弧面相切，如圖乙，其中點￡為該球與勒洛四面

體的一個切點，

由對稱性可知。為該球的球心，內(nèi)半徑為連接易知三點共線，

設(shè)正四面體4BCD的外接球半徑為心如圖丁，

則由題意得：正四面體N3C。的高，8。1=竽，40=B0”■—(竽尸=竽,

則一r)2+(^^)?=72,解得：T=*),所以BE=4,OB=r=V6,內(nèi)半徑0E=4-e，故。

正確.

故選：AD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)已知"杯=2,則Ina2-Inb2^4.

【解答】解：Ina2-lnb2=2lna-2lnb=2(Ina-Inb)=2嗚=4.

故答案為：4.

13.(5分)已知直線/：ax+力-3=0經(jīng)過點(a,6-2),則原點到點P(a,b)的距離可以是2(答案

不唯一).(答案不唯一，寫出你認為正確的一個常數(shù)就可以)

【解答】解：由于直線/：ax+6y-3=0經(jīng)過點(a,6-2),

即cr+b(.b-2)-3=0,

即a2+Cb-1)2=4,

故P(a,b)在以(0,1)為圓心，2為半徑的圓上，

由于02+(0-1)2<4,

即原點在該圓內(nèi)，

故|。尸性[1,3],

則原點到點P(a,6)的距離可以是2.

故答案為：2(答案不唯一).

第12頁(共20頁)

14.(5分)已知Q,Z?GR,若函數(shù)/(x)=|Qsinx+bcosx-l|+|6sinx-acosx|的最大值為5,則。2+廬=§.

【解答】解：設(shè)as譏％+bcosx=+匕2s譏(％+、),其中cosg=//,下sin(p=,

貝！Jbs譏％—acosx=Va2+b2(sinxsin(p—cosxcos(p')=—Va2+62cos(x+g),

.*./(%)=|Va2+b2sin(x+g)—1|+|Va2+b2cos(x+(p)|,

當sin(x+cp)取負值時，/(x)取得最大值，

.*./(x)達到最大值時,/(%)=—Va2+b2sin(x+g)+1+Va2+h2|cos(x+夕)|

=—Va2+b2[sin(x+9)±cos(%+(p~)]+1=—Va24-Z)2?V2(^-sin(x+@)±?cos(%+@))+1

=—Va2+h2?y/2sin(x+0±給+1,

當+0±*)=-1時，/(x)max=J2(Q2+按)+1=5,解得Q2+62=8.(解題過程中同時取“+”

或“_

sin(x+(p)是負值，x+(p的終邊在x軸下方，即最大值能取到.

故答案為：8.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)如圖，在四棱錐尸-45CZ)中，底面45CQ為菱形，B4_L平面/BCD,4c與她相交于點E,

點尸在尸。上，EF工PC,AC=40,BD=4,EF=2.

(1)證明：J_平面尸5C；

(2)若與平面9所成的角為a,平面與平面P5C的夾角為由求a+仇

【解答】解：（1）證明：?.?底面45C。是菱形，

??,"_]_平面/5C。，且BQu平面Z5C。，

C.PALBD.

又,.?4CriB4=/,AC,Hu平面HC,

???瓦）_L平面B4C,

???PCU平面Q4C,

第13頁（共20頁）

J.BDLPC,又?：EF_LPC,且M,8Du平面8。尸，EFDBD=E,

：.PCI.平面BDF,'：。尸u平面BDF,

：.PCLDF,

,:EF=ED=EB=2,

:.NDFB=90°,即_L沖，XVPC,PBu平面尸8C,且PCCF8=尸，

二。凡L平面PBC.

(2)以￡為原點，以EA,￡8所在直線分別為x軸、y軸，過點E且平行為的直線為z軸建立空間直

角坐標系，如圖所示，

則力(2/，0,0),C(-2V2,0,0),D(0,—2,0),

：EF=2,AC=4V2,BD=4,

：.EC=2V2,又,：EFLPC,

...在△FE'C中由勾股定理得FC?=EC2一EF2=(2V2)2-22=4,

即FC=2,乙FEC=%

TT_

.,.F(-V2,0,V2).:.DF=(-2,V2),力。=(—2VL—2,0),

'：EF1PC,EF=2,EC=2^2,

：.ZACP=45°,

：.PA=AC=4V2,；.ZAPC=45°,

:尸C_L平面BDF,

與平面出加所成的角為a=90°-ZAPC=45°,

平面PBC,

9是平面PBC的一個法向量，

:以_L平面ABCD,平面BID,

平面刃D_L平面ABCD,

第14頁(共20頁)

設(shè)71=(%,y,0),只需九149,則Til平面FID,

T->

則九yf0)(一2魚，-2,0)=-2^2x-2y=0,

->Tr—r—

\n-DF\3V2

令72=(-LV2/0),則COS0=

\n\-\DF\后2姓2

.'.p=30°，

.\a+p=45°+30°=75°.

16.（15分）某學(xué)校為提升學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng),要求所有學(xué)生在學(xué)年中完成規(guī)定的學(xué)習(xí)任務(wù)，并獲得相應(yīng)過

程性積分.現(xiàn)從該校隨機抽取100名學(xué)生，獲得其科普測試成績（百分制，且均為整數(shù)）及相應(yīng)過程性

積分數(shù)據(jù)，整理如下表:

科普測試成績X科普過程性積分人數(shù)

90WxW100410

804V903a

70?802b

60?70123

0?6002

（I）當。=35時，

（力從該校隨機抽取一名學(xué)生，估計這名學(xué)生的科普過程性積分不少于3分的概率;

（ii）從該?？破諟y試成績不低于80分的學(xué)生中隨機抽取2名，記X為這2名學(xué)生的科普過程性積分

之和，估計X的數(shù)學(xué)期望E（X）；

（II）從該?？破者^程性積分不高于1分的學(xué)生中隨機抽取一名，其科普測試成績記為H，上述100

名學(xué)生科普測試成績的平均值記為七.若根據(jù)表中信息能推斷七恒成立，直接寫出。的最小值.

【解答】解：（I）當。=35時，

（力由表可知，科普過程性積分不少于3分的學(xué)生人數(shù)為10+35=45,

45

所以從該校隨機抽取一名學(xué)生，這名學(xué)生的科普過程性積分不少于3分的頻率為一；=0.45,

所以從該校隨機抽取一名學(xué)生，這名學(xué)生的科普過程性積分不少于3分的概率估計為0.45；

（?7）根據(jù)題意，從樣本中成績不低于80分的學(xué)生中隨機抽取一名，這名學(xué)生的科普過程性積分為3

357

分的頻率為------=—,

35+109

第15頁（共20頁）

所以從該校學(xué)生活動成績不低于80分的學(xué)生中隨機抽取一名,

7

這名學(xué)生的科普過程性積分為3分的概率估計為

同理，從該校學(xué)生活動成績不低于80分的學(xué)生中隨機抽取一名，這名學(xué)生的科普過程性積分為4分的

概率估計為金

y

由表可知X的所有可能取值為6,7,8,

P(X=6)=Vx/=含,P(X=7)=2x[x|=|f,P(X=8)=|x|=±,

所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=6x含+7xj|+8xA=等：

(II)7.

1

17.(15分)已知函數(shù)/(%)=

(I)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若函數(shù)g(x)=[f(x)+/24xG(0,+8)存在最大值，求〃的取值范圍.

1

【解答】解：(I)因為/(X)=爐/一2"

111

所以r(x)=ea-2x-^ea~2x=ea-2x

令，(x)=0,得x=2,

所以在(-8,2)上，(、)>0,/(%)單調(diào)遞增，

在(2,+8)上，(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,2),單調(diào)遞減區(qū)間為(2,+8).

(II)令h(x)=f(x)+e2Q,則h'(x)=f(x),

由(I)得，函數(shù)〃(x)得單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,2),單調(diào)遞減區(qū)間為(2,+8),

所以〃(x)在x=2處取得最大值%(2)=2eaX+e2a,

1

所以當x>2時，h(x)=x?e"—2'+e2a>e2a=h(0),

當0VxV2時，h(x)>h(0),

即當在(0,+8)時，he(h(0),h(2)],

所以g(x)=\h(x)|在(0,+°°)上存在最大值的充分必要條件是|2?e"-1+/2H邦

令m(x)="2%,貝!J冽，(、)2,

因為療(x)=^~1+e2>0,

第16頁(共20頁)

所以加(X)是增函數(shù)，

因為“7(-1)=e~2-e~2=0,

所以加(a)—eax+e的充要條件是a，-1,

所以a的取值范圍為［-1,+8).

18.(17分)已知圓月J(久+I/+y2=16,直線/i過點在(1,0)且與圓4交于點8,C,8c中點為

D,過加。中點￡且平行于小。的直線交NC于點尸，記尸的軌跡為r

(1)求「的方程；

(2)坐標原點。關(guān)于小，血的對稱點分別為5,B2,點Ai,在關(guān)于直線y=x的對稱點分別為Ci,

C2,過小的直線/2與「交于點”，N,直線3W相交于點。.請從下列結(jié)論中，選擇一個正確

的結(jié)論并給予證明.

①△Q21C1的面積是定值；②△。囪歷的面積是定值：③△。。。2的面積是定值.

【解答】解：(1)由題意得，Ai(-1,0),A?(1,0).

因為。為8C中點，

所以4LD_LBC,BPA1DJ.A2C,

又PE〃AiD,

所以PE_L/2C,

又E為42C的中點，

所以|以2|=|尸C|,

所以陷1|+以2|=|以i|+|PC|=Miq=4>|/iZ2|,

所以點P的軌跡r是以小，/2為焦點的橢圓(左、右頂點除外).

設(shè)r：.+方=l(x#±a)，其中a>6>0,a2-b2—^.

則2a=4,a=2,c=l,b=Va2—c2=V3.

故/：羊+號=l(xK±2).

第17頁(共20頁)

(2)結(jié)論③正確.下證：△0C1C2的面積是定值.

由題意得，Bi(-2,0),82(2,0),Ci(0,-1),C2(0,1),且直線，2的斜率不為0,

可設(shè)直線/2：x—my-1,M（xi，yi）,N（X2，＞2）,且xiW±2,工2?！?.

叫43—，得（3〃/+4）y2-6my-9—0,

（%=my—1

所以乃+為=篇？y/2=第為，

所以2myiy2=-3（yi+y2）-

直線51"的方程為：y=2（%+2）,

直線82N的方程為：y=^2（X-2）,

331

得x+2=及（％1+2）=及（犯為+1）=一月及+、2=-5（,1+丫2）+及=一/1一/2=1

x—2月（%2—2）yi（my2~3）血丫/213yl—永月+及）—3yi-^yi-^yz3

解得X=-4.

故點0在直線x=-4,

所以。到CC2的距離d=4,

11

因此△0C1C2的面積是定值，為5\CrC2\-d=-x2x4=4.

19.(17分)如果無窮數(shù)列｛即｝滿足“對任意正整數(shù)37(右勺)，都存在正整數(shù)左，使得以=。/即”，則稱

數(shù)列｛即｝具有“性質(zhì)尸”.

(1)若等比數(shù)列｛斯｝