高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：三角函數(shù)的概念與三角公式應(yīng)用

專題06三角函數(shù)的概念與三角恒等變換

（思維構(gòu)建+知識(shí)盤點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧+易混易錯(cuò)）

維構(gòu)建?耀精向紿

「［角的概念）--［象/角］

L（終邊相同的角］

轆oi痂

。知識(shí)點(diǎn)一任意角與弧度制超02根據(jù)已知角霞舞的范圉

>型03n?角與份角的象限i調(diào)

翅04扇

4■＜卻長(zhǎng)公式）

K扇形面積公式）

三角函數(shù)的定義

三角函數(shù)在各象限符號(hào)

o知識(shí)點(diǎn)二任意角的三角函數(shù)三正切、四余弦避01三角函統(tǒng)定義及應(yīng)用

避02判后角函數(shù)的符號(hào)

翅03三角函艇t的應(yīng)用

三角函數(shù)的概念

與三角公式應(yīng)用

^^01sina,cosa,tan卸~~求二

-同角三角函數(shù)基本關(guān)系式:，--商融系：sina/cosGtana；

,知識(shí)點(diǎn)三同角三角函數(shù)基本關(guān)系式型02sig8sa5軟式MQj切

L基4：關(guān)"的n和疑'sina=cosa.sinacosa^J^^

0與誘導(dǎo)公式型04利用法導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值

~I-三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式〕＞~'談禺不變、黜者象眼

型01兩翩1盤虻角公式正序o逆用

__________________________________兩角和與差的正弦、勉、正切球■02二倍角公式的簡(jiǎn)隼應(yīng)用

知識(shí)點(diǎn)四三角恒等變血而）＜二倍角=）整03靖助角公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用

型04三角恒庭螃值求值

L靖助角公式

健05三角恒基蜻值求角

健06三角恒簡(jiǎn)

口雙盤點(diǎn)?置；層撲與

知識(shí)點(diǎn)1任意角與弧度制

1、角的概念

（1）任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形；②

分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角.

（2）象限角：以角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊為彳軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系.這樣，角的終邊（除

端點(diǎn)外）在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)

象限.

（3）終邊相同的角：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，

構(gòu)成的角的集合是S={用W=k36（r+a,左GZ}.

2、弧度制

定義把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad

角a的弧度數(shù)公式1切=:（弧長(zhǎng)用1表示）

①。—出山②

角度與弧度的換算11801rad—Q)

弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)l=\a\r

r2

扇形面積公式5二夕廠=3。1

知識(shí)點(diǎn)2任意角的三角函數(shù)

三角函數(shù)正弦余弦正切

設(shè)a是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)尸（無(wú)，y）,那么

定義

》叫做a的正弦，記作sinax叫做a的余弦，記作cosa利做a的正切，記作tana

I+++

II+一一

各象限符號(hào)

III一一+

IV一+一

工人

冰L0）,命為/斗（1，0）一

三角函數(shù)線

有向線段加尸為正弦線有向線段。加為余弦線有向線段AT為正切線

知識(shí)點(diǎn)3同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式

1、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式

(1)平方關(guān)系：si/a+cos2a=1.

(3)商數(shù)關(guān)系：s111q=tan/+E,AGZ).

COS(X.\Xy

(3)基本關(guān)系式的幾種變形

①sin2a=1—cos2a=(1+cosa)(l—cosa)；cos2a=1—sin2a=(1+sina)(1—sina).

②(sina±cosa)2=l±2sinacosa.

③sina=tanacoso^o^kn+卷，k￡Z).

2、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

公式—*二三四五六

712E?

角兀尹。

2E+a/￡Z)+Q~a711a2-ot

正弦sina—sina-sinasinacosacosa

余弦cosa-cosacosa-cosasina-sina

正切tanatana—tana—tana

口訣函數(shù)名改變，符號(hào)看象限函數(shù)名不變，符號(hào)看象限

“奇變偶不變，符號(hào)看象限”中的奇、偶是指兀/2的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化。

知識(shí)點(diǎn)4三角恒等變換公式

1、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

C(a-￡)cos(a-j8)=cosacos￡+sinasin§

C(a+￡)cos((z+4)=cosacosyff-sinasin夕

S(a-份sin(a—/J)=sinoccosyff—cosasin夕

S(+j0)

asin(a+夕)=sinacos夕+cosasin夕

tana—tanp

tan(a—0—i+tanatan/

T(a一0

變形：tana—tanp=tan(a—0)(1+tanatan")

tan(z+tan/3

tan(a+4)一1+.〃；

T(a+為'I—tanatanp

變形：tanoc+tanA=tan(a+￡)(1—tanatan0)

【注意】在公式T（g?）中a,都不等于析+/（%￡Z）,即保證tana,tan夕，tan（a土夫）者B有意義.

2、二倍角公式

sin2a=2sinacosa；

S2a

變形：1+sin2a=(sina+cosa)2,1~sin2a=(sina—cosa)2

cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1-2sin2oc；

C2a_1+cos2a.1—cos2a

5.71^?cos9ex,2，sni9ex2

2tana

T2atan2。一2

1I—tana

3、輔助角公式

一般地，函數(shù)/（a）=4sina+bcosa{a,b為常數(shù)）可以化為y（a）=d^PPsin（a+3）（其中tan

點(diǎn)突破?春分?必拓

重難點(diǎn)01sina,cosa齊次式中“切弦互化”的技巧

1、弦化切：把正弦、余弦化成切的結(jié)構(gòu)形式，統(tǒng)一為“切”的表達(dá)式，進(jìn)行求值.常見的結(jié)構(gòu)有：

(1)sina,cosa的二次齊次式(如?sin2oc+/?sinoccosa+ccos?。)的問(wèn)題常采用“切”代換法求解；

(zjein(1\

(2)sina,cosa的齊次分式如*人、。；的問(wèn)題常采用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形.

2、切化弦：利用公式tana=^，把式子中的切化成弦.一般單獨(dú)出現(xiàn)正切的時(shí)候，采用此技巧.

【典例1】(2324高三下.河南洛陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))己知tana=2,則：sinc+cosj()

2sin<7-cos6Z

11

AB.一cD.2

-13-1

【答案】B

5sina+cosa5tana+15x2+1=g.故選：B.

【解析】因?yàn)閠ana=2,所以

2sina—coscr2tana—12x2-1

【典例2】(2324IWJ三下?四川?模擬預(yù)測(cè))已知tana=2,則siYa+cosZa=()

1111

A.—B.-C.D.-

2345

【答案】D

，冷刀w中弟?2。sir?。+cos2acos2a故選:

【角牛析】因?yàn)閟ina+cos2a=—；-----；—二一-J—=-.D

sin2cr+cos2crsin26Z+cos2crtan2a<+15

【典例3】(2324高三下?廣東?月考)若tane=2,貝心皿2夕+理2=()

tancr

6136

A.-B.-C.--D.--

5355

【答案】A

22

.sinla.22sintzcos.2c2sincr+2cosa

sm2a+--------=sina-\--------：---------=sina+2cosa=-----------------——

【解析】tanasinasin+cosa

cosa

sinasin2a+2cos2atana+26、生

因tana=則=-z-------=—?故47r選：AA

cosasm.7a+cos2atana+15

重難點(diǎn)02sinaicosa與sinacosa關(guān)系的應(yīng)用

對(duì)于sina+cosa,sina-cosa,sinacosa這三個(gè)式子，矢口一可求二,

若令sina+cosa=t(t^[—也，也]),則sinoccosa=-2-，sina—cosa=(注意根據(jù)a的范圍選取正、

負(fù)號(hào))，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用.

【典例1】(2324高三下?吉林長(zhǎng)春?三模)已知?！?0,兀)，且sina+cosy=2，貝Ijsin2a=.

24

【答案】

【解析】因?yàn)閟ina+cosa=(,

r-r-KI/?\21.22/->?24..24

所以sina+cosa=—=>sincr+cosa+2smacosa-—=>2sinacosa=-----=>sin2a=------.

1725252525

【典例2】(2324高三上?山東.開學(xué)考試)若8e(0,g),sin^-cos^=—,則tan*()

25

A.—B.2C.—D.3

23

【答案】B

【解析】由(sing+cos6)2+(sing—cos6)2=2,sin^-cos^=—,得(sinO+cos。)？==,

55

而?！?0,g),BPsin0>0,cos0>Q,解得sin6+cos6=,

25

因止匕sin。二冬5,cos6=,所以tan。=型且=2.故選：B

55cos。

(vrjr\(yrjv\1

【典例3】(2324高三下?湖南岳陽(yáng)?二模)已知〃eZ,sin[f+aj+cos[f■-a1=j,則()

8

A.cos?+sina=-B.coscif+sin<7=-—C.sin2a=——D.sin2a=-

3399

【答案】C

【解析】沒keZ

.(rm)(rm)

①〃二左時(shí),sin-----\-a+cos------a=sin(2E+a)+cos(2E-a)=sina+cosa=—

4U)I2)

.11,1X1rm…兀?兀I1

②〃=4左+1時(shí)，sinI+a+cos------a=sin2kn+—+a+cos2kn+——a=cosa+sina=—,

[2I2(23

③〃=4左+2時(shí)，sin—+orI+cosI—~aI=sin(2E+7t+a)+cos(2E+兀-a)=-sina-cosa=—,

此時(shí)coscr+sinof=——

3

Atn-4-.(rm3)(31

④小〃=4左+3時(shí),smI—+crl+cosl--aI=sinl2kji+—7i+al+cosl2kji+-7i-a\1=-s.ma-cosa=—,

止匕時(shí)coscr+sina=——

3

綜合①②③④，可以排除A、B,

(sina+cosaj=sin2a+cos2cir+2sincrcosa-sin2a+cos2a+sinla=l+sin2a=：,

0

所以sin2a=-§,故選：C.

重難點(diǎn)03三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則

一看通過(guò)看三角函數(shù)式中各角之間的差別與聯(lián)系，

—?

式中各角把角進(jìn)行合理的拆分，從而正確使用公式

0

二看f看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，

函數(shù)名稱常見的有“切化弦”

0

分析結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向，常見的有

三看

—>>“遇到分式要通分.“整式因式分解”“二次

結(jié)特征

M式配方”等

【注意】化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的常見方法有弦切互化，異名化同名，異角化同角，降塞與升暴等.

【典例1】(2324高三下?廣東?二模)tan7.5?！猼an82.5。+2tan15。=()

A.-2B.-4C.-2A/3D.-4拒

【答案】D

；75°sin825°

［解析］tan7.5°-tan82.50+2tan15°=——sn--------+2tan15°

cos7.5°cos82.5°

sin7.5°cos7.5°....sin27.5°-cos27.5°....

=---------------+2tan15°=----------------+2tan15°

cos7.5°sin7.5°sin7.5°cos7.5°

__cosl5。2sinl5。_2畫15。-腐15。)_一4cos30°_

—sin150cosl5°sinl50cosl50sin30°?故選：D

2Sm

2cos65°cos15°

【典例2】⑵24高三下.重慶.模擬預(yù)測(cè)）-c-nl。。的值為（）

1+73Q2+布D1+6

244

【答案】A

［解析］2cos65。3$15。_2cos65°cos215°_sin25°x(1+cos30°)+故選人

tanl50coslO°+sinlO°sin15°cos10-+sin10°cos15°sin25022

【典例3】(2324高三下.河南焦作?月考)sin80°+c°s5°°一如=()

sin252tan25

A.9B.且C.BD.正

2222

【答案】A

［鏟析］sin800+cos50°A/6_sin(60°+20°)+cos(30°+20°)#cos25。

sin2502tan25。-sin2502sin25。

_sin600cos200+cos60°sin200+cos30°cos20°-sin30°sin20°46cos25°

sin2502sin25°

_6cos20。+sin20。+6cos20。-sin20。_限os25。_限os20。_辰os25。

—2sin2502sin25°-sin2502sin25。

_百cos(45。-25。)瓜cos25。_73(cos45°cos250+sin45°sin25°)指cos25。

一sin25°2sin25°-sin2502sin25。

_A/6COS25°+\/6sin25°A/6COS250_A/6故詵、

2sin25。2sin25°:'

法技巧?蔡學(xué)霸

CL

一、確定角一5eN+）終邊所在象限的方法

n

or

法1分類討論法：利用已知條件寫出a的范圍（用后表示），由此確定竺的范圍，在對(duì)左進(jìn)行分類討論，從

n

而確定里所在象限。

n

法2幾何法：先把各象限分為〃等份，再?gòu)墓ぽS的正方向的上方起，逆時(shí)針依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、

a

四……則a原來(lái)是第幾象限的角，標(biāo)號(hào)為幾的區(qū)域即角-終邊所在的區(qū)域。

n

a

【典例1】（2324高三下?四川綿陽(yáng)?三模）已知sinatan6<0,且cos3sin6<0,則不為（）

A.第一或二象限角B.第二或三象限角C.第一或三象限角D.第二或四象限角

【答案】C

.2Z3

【解析】由sine,tane<0,得變一<0,貝!jcos<9V。且sinMwO,又cosasinev。，

cos。

TT

因止匕cos，v0且sin6>0,0是第二象限角，即一+2kli<3<TI+2kit,keZ,

2

則：+E<g<W+E,keZ,當(dāng)人為偶數(shù)時(shí)，鄉(xiāng)是第一象限角，當(dāng)上為奇數(shù)時(shí)，鳥是第三象限角,

42222

0

所以|■是第一或三象限角.故選：C

a

【典例2】（2324高三上?廣東廣州?二調(diào)）已知sina>0,cosa<0,則§的終邊在（）

A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限

C.第一、三、四象限D(zhuǎn).第一、二、四象限

【答案】D

【解析】因?yàn)閟incz>0,cosavO,

JT

所以。為第二象限角，即一+2E<a<7i+2E,左EZ,

2

兀2Ea7i2kn,?

所以:十丁<二<彳+丁火￡2，

63333

則了的終邊所在象限為■，兀所在象限,

即。的終邊在第一、二、四象限.故選：D.

CLCL（1

【典例3】（2324高三上?甘肅天水?月考）設(shè)1角屬于第二象限，且COS^M-COS^,則|■角屬于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】（2。為第二象限角，，90。+公360。<。<180。+公360。（左€2）,

Of

...450+左480°<—<90°+^-180°()IGZ)

2

當(dāng)々=2仆eZ）時(shí)，5為第一象限角；當(dāng)左=2〃+l（〃eZ）時(shí)，，為第三象限角;

*為第一或第三象限角；

cos?=-cos|■，,cos^<0,■為第三象限角.故選：C.

二、扇形的弧長(zhǎng)與面積應(yīng)用

1、利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度.

2、求扇形面積最大值的問(wèn)題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題.

3、在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形.

_TT

【典例1】（2324高三上?黑龍江哈爾濱?月考）已知扇形弧長(zhǎng)為圓心角為2,則該扇形面積為（）

22

A.—B.—C.-D.1

18363

【答案】B

【解析】設(shè)扇形所在圓的半徑為,，

因?yàn)樯刃位￠L(zhǎng)為三,圓心角為2,可得2/'=三，可得r=

336

由扇形的面積公式，可得S=』/r=」x'x?=H.故選：B.

223636

【典例2】（2324高三上?江蘇徐州?月考）已知某扇形的面積為3,則該扇形的周長(zhǎng)最小值為（）

A.2B.4C.2A/3D.4指

【答案】D

【解析】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為/,半徑為廠，

所以扇形的面積為1小廠=3,所以＞=6,

又扇形的周長(zhǎng)為，+2r,所以/+2r225/T^7=4石，

當(dāng)且僅當(dāng)1=2：,即/=2r=2班時(shí)，取等號(hào).故選：D.

lr=6

【典例3】（2324高三下?湖南.一模）出土于魯國(guó)故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）的璜身滿刻勾

云紋，體扁平，呈扇面狀，黃身外樓空雕飾“S”型雙龍，造型精美.現(xiàn)要計(jì)算璜身面積（厚度忽略不計(jì)），

3

測(cè)得各項(xiàng)數(shù)據(jù)（圖2）：A3q8cm,AD~2cm,4?！?cm，若sin37,不兀合3.14,則璜身（即曲邊四邊形ABCD）

面積近似為（）

圖1圖2

A.6.8cm2B.9.8cm2C.14.8cm2D.22.4cm2

【答案】C

【解析】顯然AAOB為等腰三角形,OA=OB=5,AB=8,

叫…臺(tái)超3

4,sinZOAB=—,

OA5

又sin37°^|,所以/OAB“37。，于是NAO8=180。-2x37。=106。=手,

所以璜身的面積近似為:ZAO3(QV-。加卜夫邸x(5?-3?卜14.8(cm)故選：C

三、三角函數(shù)的定義中常見的三種題型及解決辦法

1、已知角a的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，求角a的三角函數(shù)值

方法：先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解。

2、已知角a的一個(gè)三角函數(shù)值和終邊上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，求與角a有關(guān)的三角函數(shù)值

方法：先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離(帶參數(shù))，根據(jù)已知三角函數(shù)值及三角函數(shù)的定義建立方程，求出未

知數(shù)，從而求解問(wèn)題。

3、已知角的終邊所在的直線方程=水/0),求角的三角函數(shù)值

方法：先設(shè)出終邊上一點(diǎn)P(a,k?),a/0,求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解，注意

a的符號(hào)，對(duì)a進(jìn)行討論。若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角。的三角函數(shù)值。

【典例1】(2324高三下?江西?二模)已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(0,1),貝ljcosa=()

&B

C.V2

~'VD-T

【答案】A

【解析】根據(jù)題意r=|OM|=J(應(yīng)『+F=『,

由三角函數(shù)的定義得cosa

【典例2】（2324高三下?北京朝陽(yáng)?二模）在平面直角坐標(biāo)系中，銳角。以。為頂點(diǎn)，3為始邊.將a的

終邊繞O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn);后與單位圓交于點(diǎn)尸（尤,y）,若cosa=也，則，=（）

410

4334

A.——B.--C.-D.—

5555

【答案】D

【解析】如圖，

由cosa=—，0<a<—,得sina=>/l-cos2a=------,

10210

所以y=sin(?+^)=(sintz+cos?)=-^-x^^=-^.故選：D

【典例3】（2324高三下.河南.一模）以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為始邊的角。，其終邊落在直線，=尤

上，則有（）

A.sina=B.cosa=-C.sina+cosa=±5/2D.tana=±1

22

【答案】C

TT

【解析】因角a的終邊落在直線丁=%上，故a=：+2E或a=1+2E,左￡Z.

44

對(duì)于A,當(dāng)a=；+2E,左dZ時(shí)，sina=—,故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

42

對(duì)于B,當(dāng)c=q+2E,%eZ時(shí)，cosc=-交，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

42

7T

對(duì)于C,當(dāng)a=：+2左兀，ZeZ時(shí)，sina+cosa=75，

4

當(dāng)a=~7~+2E,左￡Z時(shí)，sina+cosa=-血，故B項(xiàng)正確;

4

對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)a=2+2E,左eZ時(shí)，sina=—,cosa=—,貝！Jtana=l；

422

當(dāng)a二半+2E,女EZ時(shí)，sin6z=--,coscr=--,則tana=1.故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.

422

四、對(duì)sina,cosa,tana的知一求二問(wèn)題

1、知弦求弦：利用誘導(dǎo)公式及平方關(guān)系sin2（z+cos2a=1求解

cinn

2、知弦求切：常通過(guò)平方關(guān)系，與對(duì)稱式sin。土cosa,sina?cosa建立聯(lián)系，注意tana=的靈活應(yīng)用

COS（X

3、知切求弦：先利用商數(shù)關(guān)系得出sina=tana-cosa或cosa=個(gè)，然后利用平方關(guān)系求解

Idll0C

【典例1】（2324高三上?河北邢臺(tái)?期末）若sina=-3,且a為第三象限角，貝hanc=（）

4

A.一叵s/39C屈

B.-D.7

13IT

【答案】B

二叵

【解析】因?yàn)閟ina=------,且a為第三象限角，所以cosa=-.l—

4[4)

故巨，故選：B

COS6Z13

3

【典例2】（2324高三上?上海松江?期中）已知cos6=m，且sin6<0,則tan。的值為（）

【答案】A

_______4

【解析】由題意得sin6=-一cos?6=J一[I]=一;則tanO=M=9=-g，故選：A.

5

3兀

【典例3】（2324高三上?內(nèi)蒙古赤峰?期中）已知tana=3,7t<a<—,貝！]coscr—sina=

2

【答案】叵

5

3兀

【解析】Qtano=3,7i<a<—f

1叵,sin?=-V^^=-3M

.二cosa=

1+tan2a1010

則c°s”sma?巫+獨(dú)^亞

10105

五、利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟

任意負(fù)角任意正角0?2兀的

利用誘導(dǎo)公式利用誘導(dǎo)公式一利用誘導(dǎo)公式二J銳角三|

的三角函的三角函角的三角

三或一~~>~或四或五~角鹵數(shù)|

數(shù)數(shù)函數(shù)

也就是：“負(fù)化正，大化小，化到銳角就好了”.

.2023兀2023兀在角■的終邊上