《高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類(lèi)）下冊(cè) 第2版》課件 11-4 冪級(jí)數(shù)

第十一章無(wú)窮級(jí)數(shù)第四節(jié)冪級(jí)數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性四、小結(jié)三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念其中為一般項(xiàng).為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)．定義1

設(shè)是定義在區(qū)間I

上的函數(shù)序列，稱比如函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：1、定義任取，如果常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則稱點(diǎn)是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn).級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)的全體組成的集合稱為它的收斂域.任取，如果常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱點(diǎn)是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn).級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn)的全體組成的集合稱為它的發(fā)散域.2、收斂域域發(fā)散域稱為定義在收斂域D上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)．若記，則稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的余項(xiàng)，并且有把函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)的部分和記作，則其在收斂域D上有3、和函數(shù)二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性定義2

稱形如或的級(jí)數(shù)為關(guān)于或的冪級(jí)數(shù)，其中稱為冪級(jí)數(shù)的中心點(diǎn)，常數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)的系數(shù)．冪級(jí)數(shù)的中心點(diǎn)1、定義例如冪級(jí)數(shù)顯然冪級(jí)數(shù)在其中心點(diǎn)收斂.問(wèn)題：冪級(jí)數(shù)的收斂域是由哪些點(diǎn)構(gòu)成？考察冪級(jí)數(shù)的收斂性故顯然時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，從而冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閷?duì)，部分和2、收斂性定理1（阿貝爾定理）如果冪級(jí)數(shù)（1）在點(diǎn)處收斂，則在所有滿足的點(diǎn)x處都絕對(duì)收斂；（2）在點(diǎn)處發(fā)散，則在所有滿足的點(diǎn)處都發(fā)散．證明：（1）設(shè)是冪級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)，即收斂，由級(jí)數(shù)收斂的必要條件可知于是必定存在常數(shù)，使得定理1（阿貝爾定理）如果冪級(jí)數(shù)（2）在點(diǎn)處發(fā)散，則在所有滿足的點(diǎn)處（1）在點(diǎn)處收斂，則在所有滿足的點(diǎn)x處都絕對(duì)收斂；都發(fā)散．證明：（1）因此當(dāng)時(shí)，等比級(jí)數(shù)的公比，收斂由比較審斂法可知收斂，即冪級(jí)數(shù)在時(shí)是絕對(duì)收斂的．定理1（阿貝爾定理）如果冪級(jí)數(shù)（2）在點(diǎn)處發(fā)散，則在所有滿足的點(diǎn)處（1）在點(diǎn)處收斂，則在所有滿足的點(diǎn)x處都絕對(duì)收斂；都發(fā)散．證明：（2）反證法設(shè)在點(diǎn)處發(fā)散，而在點(diǎn)處收斂且滿足點(diǎn)，由（1）的結(jié)論知該級(jí)數(shù)在點(diǎn)處必收斂，這與已知矛盾，故假設(shè)不成立．定理得證．幾何說(shuō)明定理1（阿貝爾定理）如果冪級(jí)數(shù)（2）在點(diǎn)處發(fā)散，則在所有滿足的點(diǎn)處（1）在點(diǎn)處收斂，則在所有滿足的點(diǎn)x處都絕對(duì)收斂；都發(fā)散．收斂域發(fā)散域發(fā)散域（3）當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散．由Abel定理可以看出，的收斂域是以原點(diǎn)為中心的區(qū)間，用表示冪級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的分界點(diǎn)，則推論1

如果冪級(jí)數(shù)不是僅在點(diǎn)收斂，也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂，那么必有一個(gè)確定的正數(shù)存在，使得（2）當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散；（1）當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；規(guī)定正數(shù)叫做冪級(jí)數(shù)的收斂半徑．開(kāi)區(qū)間叫做冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.收斂域是、、

、這四個(gè)區(qū)間之一.問(wèn)題（1）冪級(jí)數(shù)只在處收斂，收斂域只有收斂半徑（2）冪級(jí)數(shù)對(duì)一切都收斂，收斂域?yàn)槿绾吻髢缂?jí)數(shù)的收斂半徑?收斂半徑定理2

如果冪級(jí)數(shù)的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)滿足那么，該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑必須是相鄰兩項(xiàng)，若級(jí)數(shù)缺項(xiàng)，則定理失效.由于當(dāng)即時(shí)，冪級(jí)數(shù)收斂，

（1）如果存在，證：由比值審斂法可知從而冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)即時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散.由收斂半徑定義可知（2）如果,則對(duì)任意有所以級(jí)數(shù)收斂，從而級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂．于是．（3）若，則對(duì)一切有，因此，除外，冪級(jí)數(shù)是發(fā)散的．于是有．解：由于故收斂半徑從而冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間為

例1求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域．收斂域?yàn)榻猓河衫?求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域．知收斂半徑，收斂區(qū)間

.對(duì)于端點(diǎn)，級(jí)數(shù)成為是收斂的．對(duì)于端點(diǎn)，級(jí)數(shù)成為是發(fā)散的．因此該級(jí)數(shù)收斂域?yàn)槔?求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑（規(guī)定）．由于解：所以此級(jí)數(shù)的收斂半徑即級(jí)數(shù)僅在處收斂.由于該級(jí)數(shù)缺少偶次項(xiàng)，所以定理2不能直接使用．可以根據(jù)比值審斂法來(lái)計(jì)算收斂半徑.解：例4求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑及收斂域．缺奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)都不能直接應(yīng)用定理2.當(dāng)即時(shí)，級(jí)數(shù)收斂當(dāng)即時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)成為是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且是收斂的；所以該級(jí)數(shù)的收斂半徑.當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)成為是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，也是收斂的，所以該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?例4求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑及收斂域．解：解：例5求冪級(jí)數(shù)的收斂域?qū)τ谠摷?jí)數(shù)，由于所以該級(jí)數(shù)的收斂半徑.令，則上述級(jí)數(shù)變?yōu)槭諗繀^(qū)間為故有即當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)成為，此級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)成為，此級(jí)數(shù)發(fā)散．因此原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)槿?、冪?jí)數(shù)的運(yùn)算1、代數(shù)運(yùn)算設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為（1）加減法（2）乘法并且逐項(xiàng)積分后所得冪級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑．2、和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)

冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上可積并有逐項(xiàng)積分公式性質(zhì)1(連續(xù)性)性質(zhì)2(可微性)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上連續(xù)．并且逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得冪級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑．冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo)，且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式性質(zhì)2(可微性)說(shuō)明:冪級(jí)數(shù)經(jīng)逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分后，所得之冪級(jí)數(shù)的收斂半徑不變；在收斂區(qū)間的端點(diǎn)處的收斂性可能改變；若經(jīng)逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分后得冪級(jí)數(shù)在某一端點(diǎn)處收斂，則在該點(diǎn)處性質(zhì)2和性質(zhì)3仍成立.

解：首先計(jì)算收斂域，由于在端點(diǎn)處，冪級(jí)數(shù)成為，是發(fā)散的得收斂半徑.例6求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).在端點(diǎn)處，冪級(jí)數(shù)成為，是發(fā)散的因此收斂域?yàn)橄旅嬗?jì)算和函數(shù)得到對(duì)所給冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)逐項(xiàng)求導(dǎo)，并由解：例6求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).對(duì)上式兩端關(guān)于x求導(dǎo)，即得解：例7某足球明星與一足球俱樂(lè)部簽訂一項(xiàng)合同，合同規(guī)定俱樂(lè)部在第n年末支付給該球星或其后代n萬(wàn)元假定銀行存款以5%的年復(fù)利的方式計(jì)息，問(wèn)老板應(yīng)在簽約當(dāng)天存入銀行多少錢(qián)？.為了計(jì)算該級(jí)數(shù)的和，考慮如下的冪級(jí)數(shù)設(shè)為年復(fù)利率，若規(guī)定第n年末支付n萬(wàn)元，則應(yīng)在銀行存入的本金總數(shù)為當(dāng)時(shí)，顯然該冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)橐虼?，如果?jì)算冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，則就是所求的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和．令設(shè)