《高等數學（經濟類）下冊 第2版》課件 13-2 一階常系數線性差分方程

第十三章差分方程第二節(jié)一階常系數線性差分方程一、一階常系數齊次線性差分方程二、一階常系數非齊次線性差分方程三、小結一階常系數線性差分方程的一般形式為其中是常數，當不恒等于零時，稱差分方程是非齊次的；當恒等于零時，稱差分方程是齊次的，即為稱(2)是(1)所對應的齊次線性差分方程.一、一階常系數齊次線性差分方程1、迭代法齊次線性差分方程可化為于是，利用數學歸納法可證明若令y0=C(任意常數)，則差分方程(2)的通解為解：例1將方程變形為由于y0=1，則有所以，原方程滿足初始條件y0=1的特解為2、特征根法齊次線性差分方程可化為即這說明齊次差分方程的解與它的一階差分只相差一個常數因子倍數，故可認定yx是某個指數函數，不妨設將其代入齊次差分方程，得即所以從而由解的結構可得齊次線性差分方程的通解為因此是齊次差分方程的一個解.特征方程特征根解：例2特征方程為得特征根所以原差分方程的通解為例3

解：將差分方程改寫為得特征根特征方程為所以原差分方程的通解為由初始條件y0=3，得C=3，因此所求的特解為二、一階常系數非齊次線性差分方程由解的結構知，差分方程(1)的通解由兩項的和組成：一項是該方程的一個特解，另一項是對應的齊次差分方程的通解.在前一部分已經討論完齊次線性差分方程的通解，所以接下來只討論特解的求法.1、迭代法差分方程(1)可化為以此類推，由數學歸納法得差分方程(1)的一個特解為又因為差分方程(1)對應的齊次線性差分方程的通解為所以差分方程(1)的通解為解：例4

其通解為再利用迭代法，可得原方程的一個特解所以原差分方程的通解為原方程對應的齊次線性方程為解：例5

其通解為再利用迭代法，可得原方程的一個特解所以原差分方程的通解為原方程對應的齊次線性方程為2、待定系數法[1]f(x)為多項式型：差分方程(1)可改寫為因此可假設差分方程的解為以下的待定式這里Qn(x)是n次待定多項式，k的取值按下列方式確定解：例6

所以齊次線性方程的通解為原方程對應的齊次線性方程為特征方程為則特征根為又因為1不是特征根，且右端函數為零次多項式，則可設特解為將代入原方程，有得b=1.于是原方程的通解為解：例7所以齊次線性方程的通解為又因為1是特征根，且右端函數為二次多項式，則可設特解為原方程對應的齊次線性方程為特征方程為則特征根為將代入原方程，有于是有所以原方程的通解為此時差分方程(1)可寫為[2]f(x)為指數函數與多項式之積型：這是右端函數為多項式型的非齊次線性差分方程.由待定系數法得它的特解，則原方程的特解為解：例8所以齊次線性方程的通解為原方程對應的齊次線性方程為特征方程為則特征根為由于1不是特征根，且上面方程的右端函數為一次多項式，所以可假設再求原方程的一個特解.代入原方程，化簡得解：例8比較同次冪的系數，得于是得到原方程的一個特解因此，原方程的通解為此時差分方程(1)可寫為[3]f(x)為三角函數型：它對應的齊次線性差分方程的通解為(i)(ii)解：例9

三、小結1、一階常系數齊次線性差分方程求