數(shù)學(xué)課后訓(xùn)練：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課后訓(xùn)練1．用數(shù)學(xué)歸納法證明(n≥n0且n∈N＋），則n的最小值為()．A．1B．2C．3D．42．已知a1＝1,an＋1＞an，且（an＋1－an)2－2(an＋1＋an）＋1＝0，先計(jì)算a2，a3,再猜想an等于（）．A．nB．n2C．n3D．3．用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n∈N＋)”時(shí)，由n＝k到n＝k＋1時(shí)，不等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是()．A．B．C．D．4．用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)于足夠大的自然數(shù)n，總有2n＞n3時(shí)”，驗(yàn)證第一步不等式成立所取的第一個(gè)最小值n0應(yīng)當(dāng)是__________．5．求證:(n≥2,n∈N＋）．6．設(shè)n∈N＋,a＞b＞0,求證：an＞bn。7．用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切大于1的自然數(shù)n,不等式成立．8．設(shè)x1，x2，…,xn為實(shí)數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：|x1＋x2＋…＋xn｜≤｜x1|＋|x2｜＋…＋|xn|。已知數(shù)列｛an｝中，a1＝1,。(1)設(shè)，，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(2）求使不等式an＜an＋1＜3成立的c的取值范圍．參考答案1.答案：B解析：當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝，右邊＝10＝1,1＞1不成立；當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝＝2＋1＝3,右邊＝，，成立．當(dāng)n＝3時(shí)，左邊＝＝3＋3＋1＝7，右邊＝31＝3，7＞3，成立．2.答案：B解析：∵（an＋1－an)2－2(an＋1＋an)＋1＝0，∴(a2－1）2－2(a2＋1)＋1＝0.∴a2＝4或a2＝0（舍去）．同理a3＝9或a3＝1(舍去），∴猜想an＝n2。3。答案：C解析：當(dāng)n＝k時(shí)，不等式為。當(dāng)n＝k＋1時(shí),左邊＝。比較n＝k與n＝k＋1的左邊，知應(yīng)添加的項(xiàng)為。4。答案：10解析：當(dāng)n＝1時(shí)，21＞13，成立；當(dāng)n＝2時(shí)，22＞23,不成立;當(dāng)n＝3時(shí)，23＞33，不成立；當(dāng)n＝4時(shí)，24＞43，不成立;當(dāng)n＝5時(shí)，25＞53，不成立;當(dāng)n＝6時(shí)，26＞63,不成立;…當(dāng)n＝9時(shí),29＝512＞93，不成立;當(dāng)n＝10時(shí)，210＝1024＞103，成立．5.證明：(1）當(dāng)n＝2時(shí)，右邊＝，不等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)（k≥2,k∈N＋）,有成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，＝。所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式也成立．由（1)(2）知,原不等式對(duì)一切n≥2,n∈N＋時(shí)均成立．6.證明:（1）當(dāng)n＝1時(shí)，a＞b顯然成立．（2）假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，不等式成立，即ak＞bk.因?yàn)閍＞b＞0，把a(bǔ)k＞bk的兩邊同時(shí)乘以a，得ak＋1＞abk，所以有ak＋1＞abk＞b·bk＝bk＋1，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式成立．由（1)（2)可知，對(duì)任意n∈N＋，原不等式成立．7。證明：（1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝,右邊＝，左邊＞右邊．∴不等式成立．(2)假設(shè)n＝k(k∈N＋,k≥2）時(shí),不等式成立,即。那么當(dāng)n＝k＋1時(shí),。∴n＝k＋1時(shí),不等式也成立．由（1)(2），知對(duì)一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立．8。證明：（1)我們已經(jīng)知道|x1＋x2|≤|x1｜＋｜x2|,所以命題對(duì)n＝2成立．（2）設(shè)命題對(duì)n＝k成立，即｜x1＋x2＋…＋xk|≤|x1｜＋｜x2|＋…＋|xk｜，于是,當(dāng)n＝k＋1時(shí),｜x1＋x2＋…＋xk＋1|＝|（x1＋x2＋…＋xk）＋xk＋1｜≤｜x1＋x2＋…＋xk|＋｜xk＋1|≤｜x1|＋|x2|＋…＋|xk|＋|xk＋1|。這就是說當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立．由(1)及（2），根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法,可以斷定命題對(duì)任何正整數(shù)都成立．9.解：（1)，，即bn＋1＝4bn＋2。,又a1＝1，故。所以是首項(xiàng)為,公比為4的等比數(shù)列，，.（2）a1＝1,a2＝c－1,由a2＞a1得c＞2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)c＞2時(shí),an＜an＋1。1°當(dāng)n＝1時(shí)，，命題成立；2°設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，ak＜ak＋1,則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，.故由1°，2°知當(dāng)c＞2時(shí)，an＜an＋1.當(dāng)c＞2時(shí)，令