專題11 投影（知識點串講）（原卷版）

專題11投影

知識網(wǎng)絡(luò)

________平行投影

《投影中心投影

正投影

重難突破

知識點一平行投影

投影的概念：一般地，用光線照射物體，在某個平面（地面、墻壁等）上得到的影子叫做物體的投影。照射光線

叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面。

平行投影概念：由平行光線形成的投影叫做平行投影。

平行投影特征：

1.等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在太陽光下，它們的影子一樣長.

2.等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示，它們在太陽光下的影子一樣長，且影長等于物體本身的長

度.

圖1圖2

考查題型（物高與影長的關(guān)系）

1.在不同時刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同.不同時刻，物體在太陽光下的影子的大小在變，方

向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西一西北一北~東北一東，影長也是由

長變短再變長.

2.在同一時刻，不同物體的物高與影長成正比例.即：

甲物體的高一甲物體的影長

乙物體的高一乙物體的影長.

利用上面的關(guān)系式可以計算高大物體的高度，比如旗桿的高度等.

注意：利用影長計算物高時，要注意的是測量兩物體在同一時刻的影長.

1.（2018?渭南市期末）矩形木框在陽光照射下，在地面上的影子不可能是（)

A.B.

c.D.

2.（2019?寶雞市期中）如圖是王老師展示的他昨天畫的一幅寫生畫，他讓四個學生猜測他畫這幅畫的時間.根

據(jù)王老師標出的方向，下列給出的時間比較接近的是（）

味一?東

A.小麗說：“早上8點”

B.小強說:“中午12點”

C.小剛說：“下午3點”

D.小明說：“哪個時間段都行”

3.（2019?四川省安岳實驗中學初三期末）給出下列結(jié)論正確的有（）

①物體在陽光照射下，影子的方向是相同的

②物體在任何光線照射下影子的方向都是相同的

③物體在路燈照射下，影子的方向與路燈的位置有關(guān)

④物體在光線照射下，影子的長短僅與物體的長短有關(guān).

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.（2019?山東省濟南市匯才學校初三期中）下列四幅圖形中,表示兩棵樹在同一時刻陽光下的影子的圖形可能

是（）

5.（2019?天水市期中）如圖，一電線桿AB的影子分別落在地上和墻上，某一時刻，小明豎起1m?高的直桿,

量得其影長為0.5m,此時，他又量得電線桿AB落在地上的影子BD長3m,落在墻上的影子CD的高為2m,

小明用這些數(shù)據(jù)很快算出了電線桿AB的高，請你計算，電線桿AB?的高為（）

C.7mD.8m

6.（2019?昌平區(qū)期中）如果在同一時刻的陽光下，小莉的影子比小玉的影子長，那么在同一路燈下（）

A.小莉的影子比小玉的影子長B.小莉的影子比小玉的影子短

C.小莉的影子與小玉的影子一樣長D.無法判斷誰的影子長

7.（2018?湘鄉(xiāng)市期末）如圖，數(shù)學興趣小組的小穎想測量教學樓前的一棵樹的樹高，下午課外活動時她測得

一根長為1m的竹竿的影長是0.8m,但當她馬上測量樹高時，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分影

子落在教學樓的墻壁上（如圖），他先測得留在墻壁上的影高為1.2m,又測得地面的影長為2.6m,請你幫

她算一下，樹高是（）

A.3.25mB.4.25mC.4.45mD.4.75m

8.（2019?平頂山市第四十二中學初三期中）下列說法正確的是（）

A.物體在陽光下的投影只與物體的高度有關(guān)

B.小明的個子比小亮高，我們可以肯定，不論什么情況，小明的影子一定比小亮的影子長.

C.物體在陽光照射下，不同時刻，影長可能發(fā)生變化，方向也可能發(fā)生變化.

D.物體在陽光照射下，影子的長度和方向都是固定不變的.

9.（2018?市北區(qū)期末）太陽光照射一扇矩形的窗戶，投在平行于窗戶的墻上的影子的形狀是（）

A.與窗戶全等的矩形B.平行四邊形

C.比窗戶略小的矩形D.比窗戶略大的矩形

10.（2019?營口市期中）路邊有一根電線桿AB和一塊長方形廣告牌，有一天，小明突然發(fā)現(xiàn)在太陽光照射下,

電線桿頂端A的影子剛好落在長方形廣告牌的上邊中點G處，而長方形廣告牌的影子剛好落在地面上E點

（如圖），已知8c=5米，長方形廣告牌的長族=4米，高HC=3米，OE=4米，則電線桿A3的高度

是（）

C.8.25米D.10.75米

知識點二中心投影

中心投影概念：由同一點（點光源）發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影。

中心投影特征：

1.等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在燈光下，離點光源近的物體它的影子短，離點光源遠的物

體它的影子長.

念

3”/

?1

2等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示.一般情況下，離點光源越近，影子越長；離點光源越遠，影

子越短，但不會比物體本身的長度還短.

考查題型（求點光源的位置）

點光源、物體邊緣上的點以及它在影子上的對應(yīng)點在同一條直線上，根據(jù)其中兩個點，就可以求出第三個

點的位置.

中心投影與平行投影的區(qū)別與聯(lián)系:

區(qū)別聯(lián)系

投影線互相平行，

平行投影都是物體在光線的

形成平行投影照射下，在某個平

面內(nèi)形成的影子.

投影線集中于一點，

中心投影（即都是投影）

形成中心投影

11.（2019?泉州市期中）如圖，晚上小亮在路燈下散步，在小亮由A處徑直走到B處這一過程中，他在地上

的影子（）

A.逐漸變短B.先變短后變長

C.先變長后變短D.逐漸變長

12.（2018?蘇州市期中）圓桌面（桌面中間有一個直徑為\m的圓洞）正上方的燈泡（看作一個點）發(fā)出的光線照

射平行于地面的桌面后，在地面上形成如圖所示的圓環(huán)形陰影.己知桌面直徑為2〃?，桌面離地面1%,若

燈泡離地面2根，則地面圓環(huán)形陰影的面積是（）

?????

*?????????

?:::\

A.2TT/T?2B.3nn?2C.6n/M2D.12nm2

13.（2019?濟南市期中）如圖，小明夜晚從路燈下A處走到B處這一過程中，他在路上的影子（）

C.長度不變D.先變短后變長

14.（2019?鄭州市期中）兩個人的影子在兩個相反的方向，這說明（）

A.他們站在陽光下B.他們站在路燈下

C.他們站在路燈的兩側(cè)D.他們站在月光下

15.（2019?西安市期中）如圖，白熾燈正下方有一個乒乓球，當乒乓球沿豎直方向越來越遠離白熾燈時，它在

地面上的影子（）

A.越來越大B.越來越小C.先變大后變小D.先變小后變大

16.（2018?羅湖區(qū)期末）如圖，位似圖形由三角尺與其在燈光照射下的中心投影組成，相似比為1：2,且三

角尺一邊長為5cm,則投影三角形的對應(yīng)邊長為（）

A.8cmB.20cmC.3.2cmD.10cm

17.(2019?平頂山市第四十二中學初三期中)小亮在上午8時、9時30分、10時、12時四次到室外的陽光下

觀察向日葵的頭莖隨太陽轉(zhuǎn)動的情況，無意之中，他發(fā)現(xiàn)這四個時刻向日葵影子的長度各不相同，那么影

子最長的時刻為()

A.上午8時B.上午9時30分C.上午10時D.上午12時

18.(2019?廣東紅嶺中學初三期中)一幢4層樓房只有一個窗戶亮著一盞燈，--棵小樹和一根電線桿在窗口燈

光下的影子如圖所示，則亮著燈的窗口是()

QD

CEQ

i

ffl

A.1號窗口B.2號窗口C.3號窗口D.4號窗口

19.(2019?溫江中學實驗學校初三期中)小陽和小明兩人從遠處沿直線走到路燈下，他們規(guī)定：小陽在前，小

明在后，兩人之間的距離始終與小陽的影長相等.在這種情況下，他們兩人之間的距離()

A.始終不變B.越來越遠C.時近時遠D.越來越近

20.(2019?沙雅縣英買力鎮(zhèn)中學初三期中)小剛走路時發(fā)現(xiàn)自己的影子越走越長，這是因為()

A.從路燈下走開，離路燈越來越遠B.走到路燈下，離路燈越來越近

C.人與路燈的距離與影子長短無關(guān)D.路燈的燈光越來越亮

知識點三正投影

正投影的定義：如圖所示，圖(1)中的投影線集中于一點，形成中心投影；圖(2)(3)中，投影線互相平行，形成平

行投影；圖(2)中，投影線斜著照射投影面；圖(3)中投影線垂直照射投影面(即投影線正對著投影面)，我們也稱這

種情形為投影線垂直于投影面.像圖(3)這樣，投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影.

(1)(2)(3)

1.線段的正投影分為三種情況.如圖所示.

①線段AB平行于投影面P時，它的正投影是線段AiBi，與線段AB的長相等；、

②線段AB傾斜于投影面P時，它的正投影是線段A2B2,長小于線段AB的長；

③線段AB垂直于投影面P時，它的正投影是一個點.

2.平面圖形正投影也分三種情況，如圖所示.

①當平面圖形平行于投影面Q時，它的正投影與這個平面圖形的形狀、大小完全相同，即正投影與這個平面圖

形全等；

②當平面圖形傾斜于投影面Q時，平面圖形的正投影與這個平面圖形的形狀、大小發(fā)生變化，即會縮小，是類

似圖形但不一定相似.

③當平面圖形垂直于投影面Q時，它的正投影是直線或直線的一部分.

3.立體圖形的正投影.

物體的正投影的形狀、大小與物體相對于投影面的位置有關(guān)，立體圖形的正投影與平行于投影面且過立體圖

形的最大截面全等.

如圖，把一個正方體紙盒P（記為正方體ABCDEFGH）放在兩個個不同位置.

（1）紙盒的一個平面ABCD平行于投影面：

A.大于1.5mB.小于1.5/M

C.等于1.5mD.小于或等于1.5小

22.（2018?蕪湖市期末）下列說法正確的是（）

A.三角形的正投影一定是三角形B.長方體的正投影一定是長方形

C.球的正投影一定是圓D.圓錐的正投影一定是三角形

230.（2018?通州區(qū)期末）把一個正六棱柱如圖擺放，光線由上向下照射此正六棱柱時的正投影是（）

0

24.一個長方形的正投影的形狀、大小與原長方形完全一樣，則這個長方形投影面；一個長方形

的正投影的形狀、大小都發(fā)生了變化，則這個長方形投影面.

25.（2018?梅州市期末）如圖所示，這些圖形的正投影圖形分別是.

26.下圖右邊是一個三棱柱，它的正投影是下圖中的（填序號）.

ADD0

①②③④

27.有兩根大小、形狀完全相同的鐵絲，甲鐵絲與投影面的夾角是45。，乙鐵絲與投影面的夾角是30。，那

么兩根鐵絲在投影面的正投影的長度的大小關(guān)系是：甲―乙（填“>”“〈”或

28.已知I,如圖所示，木棒AB在投影面P上的正投影為AIBI,且AB=20cm,ZBAAi=120°,則投影長

A[B[=cm.

29.如圖所示，正三棱柱的面EFDC〃平面R且AE=EF=AF=2,AB=6,正三棱柱在平面R的正投影是

,正投影的面積為

30.下列投影中，正投影是（只填序號）.

鞏固訓練

一、解答題（共10小題）

1.（2018?安康市期末）如圖是位于陜西省西安市薦福寺內(nèi)的小雁塔，是中國早期方形密檐式磚塔的典型作品,

并作為絲綢之路的一處重要遺址點，被列入《世界遺產(chǎn)名錄》.小銘、小希等幾位同學想利用一些測量工具

和所學的兒何知識測量小雁塔的高度，由于觀測點與小雁塔底部間的距離不易測量，因此經(jīng)過研究需要進

行兩次測量，于是在陽光下，他們首先利用影長進行測量，方法如下：小銘在小雁塔的影子頂端D處豎直

立一根木棒CD,并測得此時木棒的影長DE=2.4米；然后，小希在BD的延長線上找出一點F,使得A、C、

F三點在同一直線上，并測得DF=2.5米.已知圖中所有點均在同一平面內(nèi)，木棒高CD=1.72米，AB1BF,

CD±BF,試根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，求小雁塔的高度AB.

2.（2019?深圳市南山區(qū)第二外國語學校（集團）學府中學初三期中）如圖，在路燈下，小明的身高如圖中線段

A3所示，他在地面上的影子如圖中線段4c所示，小亮的身高如圖中線段FG所示，路燈燈泡在線段OE

上.

（1）請你確定燈泡所在的位置，并畫出小亮在燈光下形成的影子.

（2）如果小明的身高AB=1.6〃?，他的影子長AC=1.4〃?，且他到路燈的距離AO=2.1m,求燈泡的高.

E

BG

CAD

3.（2018?深圳市龍崗區(qū)百合外國語學校初三期中）一天晚上，小穎由路燈A下的B處向正東走到C處時,

測得影子CD的長為1米,當她繼續(xù)向正東走到D處時,測得此時影子DE的一端E到路燈A的仰角為45°,

已知小穎的身高為1.5米，那么路燈AB的高度是多少米？

4.(2018?南通市啟秀中學初三期中)如圖，在路燈下，小明的身高如圖中線段AB所示，他在地面上的影子

如圖中線段AC所示，小亮的身高如圖中線段FG所示，路燈燈泡在線段OE上.

E

G

CAD尸

(1)請你確定燈泡所在的位置并畫出小亮在燈光下形成的影子；

(2)如果小明的身高4B=1.8〃i,他的影子長4C=L6m,且他到路燈的距離40=24力求燈泡的高.

5.(2018?青島市期末)如圖，王華晚上由路燈A下的B處走到C處時，測得影子CD的長為1米，繼續(xù)往前

走3米到達E處時，測得影子EF的長為2米，已知王華的身高是1.5米，那么路燈A的高度AB是多少？

H

BCDEF

6.（2019?合肥市期中）（1）如圖①，BE,DF,MN是三根直立于地面的木桿在同一燈光下的影子，請畫出第三

根木桿，（畫出示意圖，不用寫畫法）

（2）如圖②，小明在陽光下利用標桿AB測量校園內(nèi)一棵小樹CD的高度