自考公共課學(xué)習(xí)資料 1線性代數(shù)（經(jīng)管類）

《線性代數(shù)（經(jīng)管類）》

綜合測驗題庫

一、單項選擇題

1.下列條件不能保證n階實對稱陣A為正定的是（）

A.A-1正定

B.A沒有負(fù)的特征值

C.A的正慣性指數(shù)等于n

D.A合同于單位陣

2.二次型f（X|,X2,X3）=X『+X22+X3?+2X1X2+2X1X3+2X2X3.下列說法正確的是（）

A.是正定的

B.其矩陣可逆

C.其秩為1

D.其秩為2

3.設(shè)f=XTAX,g=XTBX是兩個n元正定二次型，則（）未必是正定二次型。

A.XT（A+B）X

B.XTA'X

C.XTB'X

D.XTABX

4.設(shè)A,B為正定陣，貝U（）

A.AB,A+B都正定

B.AB正定，A+B非正定

C.AB非正定，A+B正定

D.AB不一定正定，A+B正定

5.二次型￡=*1人*經(jīng)過滿秩線性變換x=Py可化為二次型yTBy,則矩陣A與B（）

A.一定合同

B.一定相似

C.即相似又合同

D.即不相似也不合同

6.實對稱矩陣A的秩等于r,又它有t個正特征值，則它的符號差為（）

A.r

B.t-r

C.2t-r

D.r-t

7.設(shè)

-ir

月=i，則以矩陣A為對應(yīng)的二次型是（）

11

A.1（二,和號）=/2+=：+「?

B.々，向）=再+2項+藥

C./（.孫為）=婷+K+婷+2百號

D./（應(yīng)，馬，號）=xj+2xi3

8.f（X1,X2,X3）=X]2-2X|X2+4X32對應(yīng)的矩陣是（）

?1-1O'

A-140

OOO

-0-1O-

B.-110

004_

■1-1O-

C.-100

004_

'4-1O-

P.-110

000

9.設(shè)A是n階矩陣，C是n階正交陣，且B=CTAC,則下述結(jié)論（）不成立。

A.A與B相似

B.A與B等價

C.A與B有相同的特征值

D.A與B有相同的特征向量

10.下列命題錯誤的是（）

A.屬于不同特征值的特征向量必線性無關(guān)

B.屬于同一特征值的特征向量必線性相關(guān)

C.相似矩陣必有相同的特征值

D.特征值相同的矩陣未必相似

11.下列矩陣必相似于對角矩陣的是（）

口10、

A.011

<00L

1-2后

C.-20-1

有-14

一4-24"

D.5-33

-10-2_

(5

A=

12.已知矩陣I”21,有一個特征值為0,則()

A.x=2.5

B.x=l

C.x=-2.5

D.x=0

13.已知3階矩陣A的特征值為1,2,3,則|A-4E|=()

A.2

B.-6

C.6

D.24

14.已知f(x)=x2+x+l方陣A的特征值1,0,-1,510f(A)的特征值為()

A.3,1,1

B.2,-1,-2

C.3,1,-1

D.3,0,1

15.設(shè)A的特征值為1,-1,向量a是屬于1的特征向量，。是屬于-1的特征向量，則下列論斷正確的是（）

A.a和p線性無關(guān)

B.a+p是A的特征向量

C.a與p線性相關(guān)

D.a與P必正交

16.設(shè)a是矩陣A對應(yīng)于特征值X的特征向量，P為可逆矩陣，則下列向量中（）是P'AP對應(yīng)于X的特征向量。

A.a

B.Pa

C.P-'aP

D.P'a

17.Q入2都是n階矩陣A的特征值，兀界2,且XI與X2分別是對應(yīng)于解與入2的特征向量，當(dāng)（）時，X=k|X|+k2X2

必是A的特征向量。

A.ki=0且k2=0

B.k#0且k2ro

C.ki-k2=0

D.ki/0而k2=0

門0、

18.矩陣的特征值為（）

（21J

A.1,1

B.2,2

C.1,2

D.0,0

19.n元線性方程組Ax二b有兩個解a、c,則a-c是（）的解。

A.2Ax=b

B.Ax=0

C.Ax=a

D.Ax=c

20.非齊次線性方程組Ax=b中，系數(shù)矩陣A和增廣矩陣的秩都等于4,A是4x6矩陣，貝|（）。

A.無法確定方程組是否有解

B.方程組有無窮多解

C.方程組有惟一解

D.方程組無解

21.對于齊次線性方程組的系數(shù)矩陣化為階梯形時（）

A.只能進(jìn)行行變換

B.只能進(jìn)行列變換

C.不能進(jìn)行行變換

D.可以進(jìn)行行和列變換

22兇、X2是AX=O的兩不對應(yīng)成比例的解，其中A為n階方陣，則基礎(chǔ)解系中向量個數(shù)為（）。

A.至少2個

B.無基礎(chǔ)解系

C.至少1個

D.n-1

西+2X2+弓=0

.齊次線性方程組，有非解，則

23Xj+x2+2X3=00k=()

2xi+3+3勺=0

A.1

B.3

C.-3

D.-1

24.設(shè)A是m行n列矩陣，r（A）=r,則下列正確的是（）

A.Ax=O的基礎(chǔ)解系中的解向量個數(shù)可能為n-r

B.Ax=O的基礎(chǔ)解系中的解向量個數(shù)不可能為n-r

C.Ax-0的基礎(chǔ)解系中的解向量個數(shù)一定為n-r

D.Ax=O的基礎(chǔ)解系中的解向量個數(shù)為不確定

2%J-x2+x3=l

25.設(shè)肉，02為I々+X3=°的解向量，6,（X2為對應(yīng)齊次方程組的解，則（）。

A.p1+02+2al為該非齊次方程組的解

B.p1+ai+a2為該非齊次方程組的解

C.pi+p2為該非齊次方程組的解

D.pI-p.+a.為該非齊次方程組的解

占+2為+33=0

<2Xj+5萬+3弓=0

.對于齊次線性方程組〔再

26+8弓=°而言，它的解的情況是（）。

A.有惟一組解

B.無解

C.只有零解

D.無窮多解

27.若dig線性無關(guān)，0是另外一個向量，貝！Jai+B與(I2+B()

A.線性無關(guān)

B.線性相關(guān)

C.即線性相關(guān)又線性無關(guān)

D.不確定

B.ai，U2

C.aj.a?,as

D.ai，as.。5

29.ai=(1,0,0),a2=(2,1,0),a3=(0,3,0),a4=(2,2,2)的極大無關(guān)組是(

A.ai,a2

B.ai,as

C.ai,a2,O4

D.ai,a2,as

30.向量組(1,-1,0),(2,4,1),(1,5,1)的秩為()

A.l

B.2

C.3

D.4

31.設(shè)A是m行n列矩陣，B是m行k列矩陣，則()

A.r(A,B)小于等于r(A)與r(B)之和

B.r(A,B)大于r(A)與r(B)之和

C.r(A,B)小于r(A)與r(B)之和

D.不確定

32.向量組A的任何一個部分組()由該向量組線性表示。

兒都能

B.一定不能

C.不一定能

D.不確定

33.含有零向量的向量組()

A.可能線性相關(guān)

B.必線性相關(guān)

C.可能線性無關(guān)

D.必線性無關(guān)

34.若向量組a”a2,…，痣線性無關(guān)，PHp2..%是它的加長向量組，則仇，血，…，0s的線性相關(guān)性是

()

A.線性無關(guān)

B.線性相關(guān)

C.既線性相關(guān)又線性無關(guān)

D.不確定

35.設(shè)ai=(1,1,0),a2=(0,1,1),<X3=(1,0,1),試判斷ai.ct2.a3的相關(guān)性()

A.線性無關(guān)

B.線性相關(guān)

C.既線性相關(guān)又線性無關(guān)

D.不確定

36.a,丫是三維列向量，且|a,p,y|#0,則向量組a,0,丫的線性相關(guān)性是()

A.線性無關(guān)

B.線性相關(guān)

C.既線性相關(guān)又線性無關(guān)

D.不確定

37.(-1,1)能否表示成(1,0)和(2,0)的線性組合？若能則表出系數(shù)為()

A.能,1,1

B.不能

C.能,-1,1

D.能,1,-1

38.(4,0)能否表示成(-1,2),(3,2)和(6,4)的線性組合？若能則表出系數(shù)為()

A.能，系數(shù)不唯一

B.不能

C.能，-1,-1,1

D.能，-1,1,0

39.設(shè)。=(1,0,1),y=(1,1,-1),則滿足條件3x+p=y的x為()

A.-l/3(0,l,-2)

B.1/3(0,1,-2)

C.(0,l,-2)

D.(0,-l,2)

40.設(shè)a,0,y都是n維向量，k,1是數(shù)，下列運算不成立的是()

A.a+p=p+a

B.(a+p)+y=a+(p+y)

C.a,0對應(yīng)分量成比例，可以說明a=p

D.a+(—a)—0

41.若mxn矩陣C中n個列向量線性無關(guān)，則C的秩()

A.大于m

B.大于n

C.等于n

D.等于m

42.向量組,=0，2,3,%=(3,2,1,-1咒多=(2,31,1咒。=(2,2,2,-1)「的一個極大線性無關(guān)組可以取為

()

A.aj

B.ai，

C.ai，3oi3

D.ai,(X2，013，a4

%的「?，%

A>Ba，…，Bt

43.設(shè)有向量組()

%Nl，#2,…，舟

的秩分別為勺,，2,%則I，2，，3,之間的正確關(guān)系是

A.r3=rx+r2

B.r3T1§r2

C.r3<r1+r2

D.r3>r1+r2

,則該向量組()

A.當(dāng)arl時線性無關(guān)

B.線性無關(guān)

C.當(dāng)時1且在2時線性無關(guān)

D.線性相關(guān)

45.向量組從=[1,0,5,2『，巧=[3,-2,3,-4『，H=[-1,1,a3『線性相關(guān)，則a的值為()

A.1

B.2

C.4

D.5

46.對于向量組力(i=l,2,...n)因為有0yi+0y2+…+0K=0，則丫”丫2，…，。是()向量組

A.全為零向量

B.線性相關(guān)

C.線性無關(guān)

D任意

47.設(shè)A,B是兩個同階的上三角矩陣，那么AT.BT^()矩陣。

A.上三角

B.下三角

C.對角形

D.既非上三角也非下三角

48.如果A2-6A=E,則A''=()。

A.A-3E

B.A+3E

C.A+6E

D.A-6E

49.下列關(guān)于可逆矩陣的性質(zhì)，不正確的是()。

A.(AT)(A-1)T

B.可逆矩陣可以從矩陣等式的同側(cè)消去

C.AkA'=Ak+1

D.A0=1

-13

50.設(shè)A=-52_,則A*=()o

23

A.

-51

2-3

B.

—51

2-3

C.

51

2

D.

—5

51.

設(shè)A是n階方陣，且國=1,則|(5H)T卜()

A.5*+1

B.5*T

C.5*i

D.5T

52.設(shè)A,B,C是n階方陣，下列各式中未必成立的是()。

A.ABC=ACB

B.(A+B)+C=A+(B+C)

C.A(B+C)=AC+AB

D.(A+B)C=AC+BC

53.

設(shè)是3維列向量則行列式|a,2，引=()

A.\-P，~Y，-a\

B.\P.a，Y\

C.\a.P+Y，P-Y\

D.\a-y,a+/3,a\

54.

設(shè)矩陣工=則和4等價的矩陣是（）

122J

（10

A.U2

（A3,

c.p1n

（222）

<11、

D.22

\22）

55.

、

設(shè)儀43）人X1

2打

當(dāng)X與y滿足______時，有AB=BAo

A.2x=7

B.y=x

C.y=x+1

D.y=x-1

56.設(shè)A、B是同階對稱矩陣，則人8是（）

A.對稱矩陣

B.非對稱矩陣

C.反對稱矩陣

D.不一定是對稱矩陣

57.設(shè)A為3階矩陣，且已知13"+2?=°,則A必有一個特征值為（）

A.3

2

2

B.

3

D.3

2

58.設(shè)3階矩陣A與B相似，且已知A的特征值為2,2,3.則Il=()

C.7

D.12

59.下列矩陣中不是二次型的矩陣的是（）

'000-

A.000

_001_

■100'

B.020

_00-3_

'123'

C.202

_526_

-2-13-

D.-16-2

3-25

60.已知A是一個三階實對稱正定的矩陣，那么A的特征值可能是()

B.2.-1.3

C2,i,4

D.1,3,4

61.A為三階矩陣，°，T，1為它的三個特征值淇對應(yīng)的特征向量為必，必，論.設(shè)產(chǎn)=[/外為],則下列

等式錯誤的是（）

000

AF、AP=0-10

001_

-0001

B.A=P0-10p-1

_001_

00o-

C.P-XAP=010

00-1_

D.jlpj=0

62.n元實二次型正定的充分必要條件是（）

A.該二次型的秩=n

B.該二次型的負(fù)慣性指數(shù)=>!

C.該二次型的正慣性指數(shù)=它的秩

D.該二次型的正慣性指數(shù)=n

63.已知/=且幺與8相似，則有（）

A.a=3rb=l

1,5

B?以=一力=一

22

C.a=-3,6=1

22

64.設(shè)4,4是A的兩個不同的特征值，又a,戶分別是A屬于4,4的特征向量，則a與產(chǎn)（）

A.線性無關(guān)

B.線性相關(guān)

C.對應(yīng)分量成比例

D.可能有零向量

65.二次型/（卬必丹）=#+W+X：+2々孫+4空3的矩陣為（

)

,124、

A.210

、401,

,124、

B.010

、。0b

。12、

C.110

、201,

，10、

D.112

、02b

」，X2,馬）=X；+君+2*2

66.二次型的矩陣為（)

11

A.

11

2

1_

110'

C.110

_200

-11。:

D.110

000

67.設(shè)矩陣工與8相似.則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.4與B有相同的特征值

B.j與8有相同的特征向量

C.國=|5|

D.才與#也相似

68,兄為方陣A的一個特征值.則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.N。0

B.若上可逆，則;1W0且工是A”的特征值

A

C.才是片的特征值

D.N可能為0

X]+叼=-%

々+的=的有解,則常數(shù)為,42，%，4應(yīng)滿足（）

69.若線性方程組《

均+工4=一43

A+再=%

A?白］+。2+白3+以4=3

B?/+叼+&+4=2

C.+??+43+以4=1

D,以i+?2+白3+以4=0

々+覆=2

70.若方程組,々+2叼=1有解,則常數(shù)k為（）

X]+K=k

,3

A.k=—

2

B.^=—

2

C.k=-

3

,4

D.無=一

3

2013

71.設(shè)力=01025，則齊次方程組工x=0的基礎(chǔ)解系中含有解向量的個數(shù)為（）

00049

A.1

B.2

C.3

D.4

3占+3電+-+3/=5有解的充分必要條件是（）

72.非齊次方程組4

2再+2x?+?—=b

10

A.L=—

3

,3

B.=―

10

10

c.力L=—

2

D.b=—

10

上+弓+弓+玉=0

冬+2馬+2x.=1,,小?一

73.1;4a,b為何值時，上述非齊次線性方程組無解（）

一叼+（0一3）0-2X4=b

3々+2叼+弓+公4=1

A.a/1時，r(A)=2,r(A,b)>3

B.a=l時，r(A)=2,r(A,b)>3

C.#l，r(A)=r(A,b)=4

D.a=l,r(A)=r(A,b)=4

玉+々+弓+々=0

叼+20+2X=1

74J4a,b為何值時，上述非齊次線性方程組有唯一解()

石_

-x2+(?-3)2X4=b

3再+2的+句+叫=1

A.a/1,r(A)=r(A,b)=4

B.a/1,r(A)=r(A,b)=3

C.a=l時，r(A)=2,r(A,b)>3

D.a=l時，r(A)=2,r(A,b)=3

75.下列關(guān)于線性方程組的說法不正確的是()

A.齊次方程組Ax=O有非零解的充分必要條件是r(A)大于未知數(shù)的個數(shù)n

B.非齊次線性方程組Ax=b有解=系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相等的秩

C.如果r(Ab)=r(A)=n(n為未知數(shù)的個數(shù))，則方程組Ax二b有惟一的解

D.如果r(Ab)=r(A)=n(n小于未知數(shù)的個數(shù))，則方程組Ax=b有無窮多解

76.下列說法不正確的是()

A.齊次方程組Ax=O的任意n-r(A)個線性無關(guān)的解都構(gòu)成它的一個基礎(chǔ)解系.

B.齊次方程組Ax=O的任意rr(A)個線性相關(guān)的解都構(gòu)成它的一個基礎(chǔ)解系.

C.設(shè)九如…*一是齊次方程組的基礎(chǔ)解系，則X=Cg+弓備+…+C一盤一為其通解.

D.設(shè)。是Ax=b的一個解，九男是齊次方程組的基礎(chǔ)解系.則

工二不+。鳴+G芻+???+6_/或?為蟻二b的通解.

77.設(shè)%%線性無關(guān)，身=左通+附生,自=+舄2%，,下列說法正確的是

AJ1^21

()

A.若？?=0,則凡自線性無關(guān).

B?若??#0,則月,用線性無關(guān).

^21與2

C.若?，=0,則月,向線性相關(guān).

^21%

D.若勺*。0,則母,月線性相關(guān).

用1占2

78.下列說法不正確的是（）

A.設(shè)a,0都是Ax=O的解，則ga+C?#也是Ax=O的解（&,G為任意常數(shù)）

B.設(shè)n是Ax=b的一個解，?是它的導(dǎo)出組Ax=O的解，則g+n是Ax=b的解.

C.設(shè)n是Ax=b的一個解，號是它的導(dǎo)出組Ax=C的解，則m+n是Ax=O的解.

D.設(shè)毛I(xiàn)，%都是Ax=b的解，則當(dāng)占+上2=1時，也是Ax=b的解.

79.設(shè)3元線性方程組Ax=b,A的秩為2,a,生,小為方程組的解，為+%=（2,0,4尸，為+%=（1,-2,球，

則對任意常數(shù)k,方程組Ax=b的通解為（）

rr

A.（l,0J2）+^l,-2,l）

B.。一2,1）「+左（2,0,4）1

C.（2,0,4/+^（1,-2,1/

D.（1,0,2/+^（1,2,3/

80.設(shè)A為mxn矩陣，方程Ax=0僅有零解的充分必要條件是（）

A.A的行向量組線性無關(guān)

B.A的行向量組線性相關(guān)

C.A的列向量組線性無關(guān)

D.A的列向量組線性相關(guān)

34+死一勺=0

81.如果方程組＜4勺一后=0有非零解，則k=（）

4X2+也=0

A.-2

B.-1

C.1

D.2

82.已知肉，而是非齊次線性方程組4c=5的兩個不同的解，%，生是其導(dǎo)出組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系，G,Ci

為任意常數(shù)，則方程組人乂二1）的通解可以表為（）

A.5（后+自）+G%+G（%+%）

B.5（后—自）+G（%+%）

cg（月+用）+G%+。2（后一區(qū)）

D.g（屈一自）+C1%+。式向+自）

83.若出，工2是線性方程組回=力的解，%，%是方程組〃r=o的解，則（）是力^=力的解.

A.；區(qū)+|"工2

n12

8芍%+1內(nèi)

cx「x）

DM+Xj

84.設(shè)%，電，…1是閥元齊次方程組出=°的基礎(chǔ)解系，則下列正確的是（）

A.%線性相關(guān)

B.比=0的任意s+1個解向量線性相關(guān)

C.s-KQ4）=n

D.擊=0的任意s-1個解向量線性相關(guān)

、_?-1）玉+2%=

85.若齊次方程組412有非零解，則下列正確的是（）

2々+（上一1定=0

A.上工一1

B.小H3

C.k豐一1且A；H3

D.k=-1或后=3.

86.下列說法不正確的是（）

A.一個向量a線性相關(guān)的充分必要條件是a=O

B.兩個向量線性相關(guān)的充分必要條件是分量成比例

C.n個n維向量線性相關(guān)的充分必要條件是相應(yīng)的行列式為0

D.當(dāng)向量個數(shù)小于維數(shù)時，向量組必線性相關(guān)

87.向量組%，生，…，色的秩=黃$22）的充分必要條件是（）

A.%,生,…，％全是非零向量

B.%，電，…，％中任意兩個向量都不成比例

C.%，生，…，％中任何一個向量都不能由其它向量線性表出

D.%，生，…，3中任意s-1個向量都線性無關(guān)

88.加〉的是％維向量組的，。2線性相關(guān)的（）

A.充分條件

B.必要條件

C.充要條件

D.即不必要也不充分條件

89.%=（LL…D，&2=（2,2,…，2）,…，a林=（冽m，…，聞的秩為（）

A.0

B.w

C.2

D.1

90.設(shè)向量組%，電，…，［線性相關(guān)，則必可推出（）

A.%，生，…，％中至少有一個向量為零向量

B％中至少有兩個向量成比例

C%,%,…，％中至少有一個向量可以表示為其余向量的線性組合

D.%，生，…，％中每一個向量都可以表示為其余向量的線性組合

91.已知向量組％=（1，LD，生=。,2,0）0=（3,0,0）是、3的一組基,則向量力=（8,7,3）

在這組基下的坐標(biāo)是（）

A.(2,3,1)

B.(3,2,1)

C.(1,2,3)

D.(1,3,2)

92.設(shè)?？捎上蛄?=a°，°），%=（°，°」）線性表示，則下列向量中B只能是（）

A.（2,1,1）

B.（-3,0,2）

C.（1,1,0）

D.（0,-1,0）

93.向量組%...％2）線性無關(guān)的充分必要條件是（）

A.%%...，%均不為零向量

B.%，%……，［中任意兩個向量不成比例

C.%，生，,……中任意s-1個向量線性無關(guān)

D.%，生，……，火中任意一個向量均不能由其余s-1個向量線性表示

94.設(shè)A是三階方陣且IA|=2,則|（25尸一用的值為（）

16

Z7

95.設(shè)』=4,則⑶

A.-4

B.-2

C.2

D.4

96.設(shè)A為n階方陣，*2,則|-5AI=()

A.(-5)nIA|

B.-5IA|

C.5|A|

D.5nIA|

97.設(shè)A是4x5矩陣，秩(A)=3,則()

A.A中的4階子式都不為0

B.A中存在不為0的4階子式

C.A中的3階子式都不為0

D.A中存在不為0的3階子式

98.設(shè)3階方陣A的秩為2,則與A等價的矩陣為()

<111、

A.000

0

<111、

B.011

<00

1p

C.222

;00

<111、

D.222

、333)

99.下列命題正確的是()

A.兩個零矩陣必相等

B.兩個單位矩陣必相等

C.(A+E)(A-E)=A2-E2

D.若A和,AB=AC則必有B=C.

a+b

100.設(shè)矩陣)

0

A.a=3,b=-l,c=l,d=3

B.a=-1,b=3,c=l,d=3

C.a=3,b=-l,c=0,d=3

D.a=-1,b=3,c=0,d=3

2、

101.設(shè)A為2階可逆矩陣，且已知（24）T,則人=（

4,

2、

4,

ifl2

2

4

2

102.設(shè)矩陣AB,C為同階方陣，則（火（

A.^BTCT

B.CTBT^

C.CT^BT

D.^CTBT

103.設(shè)A為反對稱矩陣，下列說法正確的是（）

A.力=工了

B.A=

C.A=A

D.A=-A

104.下列結(jié)論正確的是（）

A.（力3C）'=48&

。/8=。且國。0則8=0

D.^=O^A=O

105.AS都是n階非零矩陣，其中工?為A的伴隨矩陣.則下列等式錯誤的是（）

A.⑷”=與

14

0口尸=4%-1

中卡山

OA

106.設(shè)AB是n階可逆陣，O為n階零矩陣，C為2n階分塊時角陣C=，則C的逆矩陣為（）

BO

'O夕「

A-1O

C..;

OB-l_

D.C矩陣不一定可逆

107.設(shè)工是於X/3矩陣，3是sx￡矩陣，且遇C歸有意義，則（7是（）矩陣

A.wxs

B.wx/

C.Exa

D.sx%

108.設(shè)AB,C都是〃階矩陣.已知MC=E,則下列各式中恒正確的是（）

A.BAC=E

B.CBA=E

C.CAB=E

D.ACB=S

109設(shè)AB為任意小階矩陣，因為"階單位矩陣，°為鄧介零矩陣.則下列各式中正確的是()

A.(乂+為2=4+2/+￡

B.{A-By^^-2AB+B2

C.(AB)3=^B3

D.已知A2=O＞則j=O

110.設(shè)某3階行列式IA|的第二行元素分別為-1,2,3,對應(yīng)的余子式分別為-3,-2,1,則此行列式1AI的值為

().

A.3

B.15

C.-10

D.8

0-1x0

11-1-1

111.設(shè)多項式1/0)=11,則f(x)的常數(shù)項為()

1—11—1

1-1-11

A.4

B.1

C.-1

D.-4

111

112.行列式234中第三行第二列元素的代數(shù)余子式的值為()

4916

A.3

B.-2

C.0

D.1

^11以125以]i+2al%3

113.設(shè)行列式￡)=叼］他25以2i+2a22.，則Di的值為()

出1%5白3]+a*

A.-15

114.設(shè)A為三階方陣且年一2,則13HH=（）

A.-108

B.-12

D.I08

115.設(shè)A是n階方陣，入為實數(shù)，下列各式成立的是（）.

人.|糾=咽

B.pL4|=WM

C.\AA\=AX\A\

DJ訓(xùn)=14fMi

116.設(shè)A為3階方陣，且已知21=2,則|止（）

A.-1

117.下列等式成立的是（），其中凡瓦為常數(shù).

ab\db

+瓦

口1kaxka2+%ka3+用

118.設(shè)耳-?2A=i,那么瓦4)

%%1

A.k-1

B.k

C.1

D.k+I

%a2a3?la2a3

119.設(shè)=6,則

b]&2b?3a1-bx3a2-b23a3-b3=()

C?C?C3匕1匕2,3

A.18

B.-18

C.-6

D.6

120.設(shè)行列式"1=1,生'】=2,則"1?+a=(

)

a2b2。2。ab?+c2

A.-3

B.-l

C.l

D.3

121.設(shè)aB都是三階方陣，且上＞0,則下式（）必成立.

A.p+5|=p|+|5|

B.四|=M同

C.（如）T=^T

D.\kA\=k\A\

122.下面結(jié)論正確的是（）

A.含有零元素的矩陣是零矩陣

B.零矩陣都是方陣

C.所有元素都是0的矩陣是零矩陣

D.若48都是零矩陣，則工=8.

80--01

00--20

123.行列式：；()

09--00

100-00

A.101

B.-101

C.810!

D.-810!

124.己知工四階矩陣，則卜2川=

A.-2Ml

B.161H

C.2PI

D.|H

)

A.3d

B.5d

C.2d

D.d

X

LZX

126.計算四階行列式二（）。

x

X

A.(x+3a)(x-a)3

B.(x+3a)(x-a)2

C.(x+3a)2(x-a)2

D.(x+3a)3(x-a)

127.行列式D如果按照第n列展開是()o

A.agA]n+a2nA2n+…+anr)Ann

B.auAu+a21A2i+...+an】Ani

C.anAn+ai2A2i+…+ainAni

D.anAii+a2iAi2+...+aniAin

128.關(guān)于n個方程的n元齊次線性方程組的克拉默法則，說法正確的是（）。

A.如果行列式不等于0,則方程組必有無窮多解

B.如果行列式不等于0,則方程組只有零解

C.如果行列式等于0,則方程組必有惟一解

D.如果行列式等于0,則方程組必有零解

100

129.計算930=()。

875

A.18

B.15

C.12

D.24

4-+勺=0

130.以()時，方程組＜2再+叼+句=0只有零解。

勺一演+3均=0

A.1

B.2

C.3

D.4

131.設(shè)=m/0?則)o

A.-9m

B.9m

C.m

D.3m

B.-kHD

C.k1?

D.(-k)HD

133.已知三階行列式D中的第二列元素依次為1,2,3,它們的余子式分別為-1,1,2,D的值為（）

A.-3

B.-7

C.3

D.7

00b

1d0

134行列式中元素g的代數(shù)余子式的值為（）。

0ef0

00

A.bcf-bde

B.bde-bcf

C.acf-ade

D.ade-acf

135.下列行列式的值為()o

00??■0n

00—10

???■■???????■■■

02-00

10-00

B.(-1尸n\

/小斯+1)?

C.(-l)2n\

D.?!

136.n階行列式（）等于-1。

010-0010-0

100-0001-0

A.001-0B.::::

????000-1

000-1100-0

010???000???01

100???000???10

C.001-0D.;::

::::01...00

000-010—00

10a

137.當(dāng)a=()時，行列式-204的值為零。

012

A.0

B.1

C.-2

C.2

1aad

138.行列式2bbd的值等于()。

3ccd

A.abcd

B.d

C.6

D.O

a—11

139.行列式，[=0的充要條件是（）

1a-1

A.a/2

B.a加

C.a^2或a邦

D.a聲2且a9

140.計算:

of3、

q2

0i=()

J7

-U

J1

(\n

綜合測驗題庫答案與解析

一、單項選擇題

1.正確答案：B

答案解析：A-1正定表明存在可逆矩陣C使CTA」C=In，兩邊求逆得到

C'A(CT)^C'A(C")T=k

即A合同于In，A正定，因此不應(yīng)選A。

C是A正定的定義，也不是正確的選擇。

D表明A的正慣性指數(shù)等于n,故A是正定陣，于是只能B。

事實上，一個矩陣沒有負(fù)的特征值，但可能有零特征值，而正定陣的特征值必須全是正數(shù)。

2.正確答案：C

答案解析：二次型的矩陣

所以r(A)=1,故選項C正確，選項A,B,D都不正確。

3.正確答案：D

答案解析：因為f是正定二次型，A是n階正定陣，

所以A的n個特征值Q,入.....兒都大于零，

11

|A|>0,設(shè)APj=%Pj,則A“Pj=入Pj,A」的n個特征值4，j=l,2,...,n,必都大于零,

這說明A"為正定陣，XTA“X為正定二定型，同理，Xi'B」X為正定二次型,

對任意n維非零列向量X都有XT(A+B)X=XTAX+XTBX>0?

這說明XT(A+B)X為正定二次型，

由于兩個同階對稱陣的乘積未必為對稱陣，所以XTABX未必為正定二次型。

4.正確答案：D

答案解析：???A、B正定

對任何元素不全為零的向量X永遠(yuǎn)有XTAX>0；同時XTBX>0?

因此A+B正定，AB不一定正定，甚至AB可能不是對稱陣。

5.正確答案：A

答案解析：f=xTAx=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y=yTBy,即B=pTAP,所以矩陣A與B一定合同。只有

當(dāng)P是正交矩陣時，由于PT=P“，所以A與B即相似又合同。

6.正確答案：C

答案解析：A的正慣性指數(shù)為3負(fù)慣性指數(shù)為r-t,因此符號差等于2t-r。

7.正確答案：C

答案解析：主對角線元素對應(yīng)Xl，X2,X3平方項系數(shù)：1,1,1。ai3和a3l系數(shù)的和對應(yīng)X|X3的系數(shù)2

8.正確答案：C

答案解析：X|,X2,X3平方項系數(shù)對應(yīng)主對角線元素：1,0,4。X|X2系數(shù)-2,對應(yīng)ai2和321系數(shù)的和，ai2=-l,a2i=-lo

9.正確答案：D

答案解析：是正交陣，所以CT=C±B=C“AC,因此A與B相似，A對。

C是正交陣|C|不等于0,C5AC相當(dāng)對A實行若干次初等行變換和初等列變換，A與B等價，B對.

兩個相似矩陣A、B有相同的特征值，C對。

(XE-A)X=0,SE-B)X=0是兩個不同的齊次線性方程組，非零解是特征向量，一般情況這兩個方程的非零

解常常不同，所以只有D不對，選D。

10.正確答案：B

答案解析：屬于同一特征值的特征向量未必線性相關(guān)，比如單位陣的特征值全是1,但它有n個線性無關(guān)的特

征向量，因此應(yīng)選擇B。

11.正確答案：C

答案解析：C是對稱陣，必相似于對角陣，故選C。

12.正確答案：A

答案解析：|A|=5-2x,A有零特征值，得|A|=0,故x=2.5,顯然應(yīng)選A。

13.正確答案：B

答案解析：3階矩陣A的特征值為1,2,3

/.|XE-A|展開式含有三個因子乘積：6-1)(X-2)(X-3)

V|XE-A|展開式爐項系數(shù)為1

.,.|XE-A|=(X-l)(X-2)(X-3)

；A為3階矩陣

.\|A-XE|=(-1)3|XE-A|=(-1)3(1-1)(X-2)(X-3)

將4代入上式得到-6。

14.正確答案：A

答案解析：設(shè)A的特征值是Q則f(A)的特征值就是f(入)，把1,0,-1依次代入，得到3,1,1。

15.正確答案：A

答案解析：屬于不同特征值的特征向量必線性無關(guān)，因此選擇A。

16.正確答案：D

答案解析：I?設(shè)P」AP=B.,.A=PBP-1

又,；Aa=XoaPBP-1a=X()a

AB(P'a)=Xo(P-'a)

17.正確答案：D

答案解析：A的特征向量不能是零向量，所以ki、k2不同時為零，所以A、C不對；xi、X2是兩個不同的方程

組的解，兩個方程的兩個非零向量解之和不再是其中一個方程的解，所以A的特征向量不選B。選D是因為

k2=0,ki翔，x=kixi仍然是A的特征向量。

18.正確答案：A

2-10,

|兄￡-外1=(兄-以=0

答案解析：〃

得到特征值是1，1。

19.正確答案：B

答案解析：A(a-c)=Aa-Ac=0,所以a-c是Ax=0的解。

20.正確答案：B

答案解析：由于方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相同，方程組必有解，因為方程組的未知數(shù)個數(shù)是6,而系

數(shù)矩陣的秩為4,因此方程組有無窮多解，選B.

21.正確答案：A

答案解析：齊次線性方程組的系數(shù)矩陣化為階梯形時只能進(jìn)行行變換

22.正確答案：A

答案解析：XI、X2不對應(yīng)成比例，所以這兩個解是線性無關(guān)的，從而基礎(chǔ)解系中向量個數(shù)至少是2.

23.正確答案：B

121121

國=112=0-11=二-1-(上一4)

k-41

2k3。k-4

答案解析：=3-k

，k=3時，|A|=O有非0解

24.正確答案：C

答案解析：教材P112定理4.1.1

25.正確答案：B

答案解析：本題考查線性方程組的解的性質(zhì),依題意知,

r2f20、

-11-11

(B1+B2+2011)I1(2,0),(0i+ai+a2)11”=(1.0),

，20、0、

-111

(P1+P2)v1”=(0,0),因此選B。

(2,0),(pi-p2+ai)

26.正確答案：C

'123、

253

答案解析：這是一個齊次線性方程組，只需求出系數(shù)矩陣的秩就可以判斷解的情況。系數(shù)矩陣A=U0

’100、

21-3

第一列乘以-2加到第二列，第一列乘以-3加到第三列，得U-25)1第二列乘以3加到第三列上，得

‘100、

210

J-2因此r(A)=3,系數(shù)矩陣的秩等于未知數(shù)個數(shù)，因此方程組只有零解，選C。

27.正確答案：D

答案解析:例如，a產(chǎn)(1,1),a2=(0,2),p=(-1,-1)

則aim線性無關(guān)，而四+。=(0,0),ai+P=(-1,1)線性相關(guān)。

如果懺(0,0)，那么ai+Bm+B還是線性無關(guān)的.

28.正確答案：D

以％%,&3,1，的為列向壁的矩陣作初等行變換，有

q7252、"I7252、

0-11-10