直線對(duì)稱問題

...wd......wd......wd...直線系對(duì)稱問題〔一〕主要知識(shí)及方法：點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為；關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為；關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為；關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)的求法：設(shè)所求的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的中點(diǎn)一定在直線上.直線與直線的斜率互為負(fù)倒數(shù)，即直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線方程的求法：到角相等；在直線上去兩點(diǎn)〔其中一點(diǎn)可以是交點(diǎn)，假設(shè)相交〕求這兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，再求過這兩點(diǎn)的直線方程；軌跡法(相關(guān)點(diǎn)法)；待定系數(shù)法，利用對(duì)稱軸所在直線上任一點(diǎn)到兩對(duì)稱直線的距離相等，…點(diǎn)關(guān)于定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，曲線：關(guān)于定點(diǎn)的對(duì)稱曲線方程為.直線系方程：直線〔為常數(shù)，參數(shù)；為參數(shù)，位常數(shù)〕.過定點(diǎn)的直線系方程為及與直線平行的直線系方程為〔〕與直線垂直的直線系方程為過直線和的交點(diǎn)的直線系的方程為：〔不含〕典例分析〔一〕例1：3a+2b=1,求證：直線ax+by+2(x-y)-1=0過定點(diǎn),并求該定點(diǎn)坐標(biāo).思路一：由3a+2b=1得:b=EQ\f(1,2)(1-3a)代入直線系方程ax+by+2(x-y)-1=0整理得(2x–EQ\f(3,2)y-1)+a(x-EQ\f(3,2)y)=0由,得交點(diǎn)(1,EQ\F(2,3))∴直線過定點(diǎn)(1,EQ\F(2,3)).思路二：賦值法令a=0得b=EQ\F(1,2)得L1:2x-EQ\f(3,2)y-1=0令b=0得a=EQ\F(1,3)得L2:x–EQ\f(3,2)y=0由,得交點(diǎn)(1,EQ\F(2,3))把交點(diǎn)坐標(biāo)代入原直線方程左邊得:左邊=EQ\f(1,3)(3a+2b-1)∵3a+2b-1=0∴左邊=0這說明只要3a+2b-1=0原直線過定點(diǎn)(1,EQ\F(2,3)).例2:求證:無論λ為何值,直線(2+λ)x-(1+λ)y-2(3+2λ)=0與點(diǎn)P(-2,2)的距離d都小于4EQ\r(,2).證明：將直線方程按參數(shù)λ整理得(2x-y-6)+λ(x-y-4)=0故該直線系恒過二直線2x-y-6=0和x-y-4=0的交點(diǎn)M易解得M(2,-2)求得|PM|=4EQ\r(,2)所以d≤4EQ\r(,2)而過點(diǎn)M垂直PM的直線方程為x-y-4=0,又無論λ為何值,題設(shè)直線系方程都不可能表示直線x-y-4=0∴d<4EQ\r(,2)【注】此題假設(shè)按常規(guī)思路,運(yùn)用點(diǎn)距公式求解,則運(yùn)算量很大,難算結(jié)果,運(yùn)用直線系過定點(diǎn)巧妙獲解.例題：例3、〔1〕證明直線l過定點(diǎn)；〔2〕假設(shè)直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S，求S的最小值，并求此時(shí)直線l的方程；〔3〕假設(shè)直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍。分析：〔1〕證直線系過定點(diǎn)，可用別離參數(shù)法?！?〕求△AOB面積S的最小值，應(yīng)先求出目標(biāo)函數(shù)S＝f(k)，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)造特征選擇最小值的求法。〔3〕直線不經(jīng)過第四象限的充要條件是：直線在x軸上的截距小于或等于-2，在y軸上的截距大于或等于1。或由直線經(jīng)過定點(diǎn)〔-2，1〕知斜率大于或等于零。解：〔1〕直線l的方程是：∴無論k取何值，直線總經(jīng)過定點(diǎn)〔-2，1〕〔2〕由l的方程，得：解得：k＞0解之得：k＞0小結(jié)：此題證明直線系過定點(diǎn)問題所使用的“別離參數(shù)法〞，也是證明曲線系過定點(diǎn)的一般方法。例4、P〔1，3〕，直線l：x－4y＋1＝0〔1〕求過P且平行于l的直線l1的方程；〔2〕求過P且垂直于l的直線l2的方程．策略：由l1∥l的斜率關(guān)系可得＝，由l2⊥l的斜率關(guān)系得＝－4，再利用點(diǎn)斜式方程可求出直線l1，l2的方程．由平行直線系與垂直直線系可以求出l1，l2的方程．解法一：〔1〕∵直線l的斜率為且l1∥l，∴直線l1的斜率k1＝又∵l1過P〔1，3〕，∴l(xiāng)1的方程為y－3＝(x－1)，即x－4y＋11＝0．(2)∵kl≠且l2⊥l，∴直線l2的斜率為k2＝－4又∵l2過P(1，3)∴l(xiāng)2的方程為y－3＝－4(x－1)即4x＋y－7＝0．解法二：〔1〕∵l1∥l且l方程為x－4y＋1＝0∴設(shè)l1的方程為x－4y＋C＝0又∵P(1，3)在l1上∴1－4×3＋C＝0解得C＝11∴l(xiāng)1的方程為x－4y＋11＝0．(2)∵l2⊥l∴設(shè)l2的方程為4x＋y＋C＝0又∵l2過P〔1，3〕∴4×1＋3＋C＝0解得C＝－7∴l(xiāng)2的方程為4x＋y－7＝0．評(píng)注：一般地，利用平行直線系和垂直直線系求直線方程會(huì)給計(jì)算帶來很大方便．例5、求證：不管m為何實(shí)數(shù)，直線l：(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5策略：對(duì)于這類題目，只要找出兩條相交的直線，然后解出交點(diǎn)坐標(biāo)即可．證法一：〔特殊值法〕當(dāng)m＝1時(shí)，直線l的方程為y＝－4；當(dāng)m＝時(shí)，直線l的方程為x＝9；∴兩直線的交點(diǎn)為〔9，－4〕，滿足直線l的方程(m－1)x＋(2m－1)y＝m－∴不管m為何實(shí)數(shù)，直線l：(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒過一定點(diǎn)〔9，－4證法二：〔直線系法〕將方程(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5整理得m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝解方程組得∴不管m為何實(shí)數(shù)，定點(diǎn)(9，－4)恒滿足方程(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5即不管m為何實(shí)數(shù)，直線l：(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒過一定點(diǎn)〔9，－4評(píng)注：求某直線過定點(diǎn)的題目，常用的兩種方法——特殊值法和直線系法．例6、求經(jīng)過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點(diǎn)P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程．策略：①可以先解方程組求出交點(diǎn)P，再利用l⊥l3求出斜率，用點(diǎn)斜式求l方程；②求出P點(diǎn)后，用垂直直線系求l方程；③先由過l1，l2的交點(diǎn)的直線系設(shè)出l方程，然后由l3⊥l求系數(shù)．解法一：解方程組得交點(diǎn)P〔0，2〕∵k3＝∴kl＝－由點(diǎn)斜式得l：y－2＝－x即4x＋3y－6＝0．解法二：設(shè)所求直線l：4x＋3y＋C＝0由解法一知：P(0，2〕代入方程，得C＝－6∴l(xiāng)：4x＋3y－6＝0．解法三：設(shè)所求直線l：(x－2y＋4)＋λ(x＋y－2)＝0整理得(λ＋1)x＋(λ－2)y－2λ＋4＝0∵l⊥l3∴3(λ＋1)－4(λ－2)＝0∴λ＝11∴l(xiāng)的方程為：(x－2y＋4)＋11(x＋y－2)＝0即4x＋3y－6＝0．評(píng)注：解法一是常規(guī)解法，解法二用待定系數(shù)法，解法三應(yīng)用了經(jīng)過兩直線交點(diǎn)的直線系方程，省去了求兩直線交點(diǎn)的解方程組的運(yùn)算．利用直線系解題一、直線系的定義共點(diǎn)直線系方程經(jīng)過兩直線的交點(diǎn)的直線系方程為平行直線系方程與直線垂直直線系方程與直線二、利用直線系解題例題：(一)直接應(yīng)用求過點(diǎn)A(1，-4)且與直線平行直線方程。(課本第45頁例2)()求過點(diǎn)A(2,1)，且與直線垂直的直線方程。(課本第46頁例4)()求經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線方程。(課本第54頁第11題第1小題)()經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且平行于直線的直線方程。(課本第54頁第11題第2小題)(經(jīng)過直線和的交點(diǎn)，且垂直于第一條直線的直線方程。(課本第54頁第11題第3小題)()求平行于直線且與它的距離為的直線方程。(課本第87頁第13題)(或)(二)間接應(yīng)用當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線恒過的定點(diǎn)為______。解：直線的方程可以化為，由直線系的定義我們知道：直線過的點(diǎn)是方程組的解，這樣我們就可以知道直線過點(diǎn)(-2,3)。8、圓C：及直線證明：無論m為任何實(shí)數(shù)，直線恒與圓C相交。分析：判斷直線與圓的位置關(guān)系通常采用“法〞，或“比較d與r法“，特別是“法〞運(yùn)算量往往很大，當(dāng)發(fā)現(xiàn)直線過定點(diǎn)，且此定點(diǎn)又在圓內(nèi)部時(shí)，妙解應(yīng)運(yùn)而生。證明：易證直線過定點(diǎn)M(3,2)，且 <4，即點(diǎn)M在圓C內(nèi)，點(diǎn)M又在直線上，故不管m為任何實(shí)數(shù)，直線與圓C相交。9、a、b滿足什么條件時(shí)，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,直線：與曲線C：總有公共點(diǎn)。分析：此題雖然可以用“法〞來解，但不僅運(yùn)算量大(兩次使用判別式)，而且還容易無視對(duì)二次不等式系數(shù)的討論而造成失解，如果利用直線過定點(diǎn)(0，b)，并使該點(diǎn)在橢圓C上或在其內(nèi)部便可到達(dá)目的。解：易知直線：過點(diǎn)M(0，b)，欲使與橢圓C恒有公共點(diǎn)，須使點(diǎn)在橢圓C上或在其內(nèi)部，于是有即時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,直線與橢圓C恒有公共點(diǎn)。對(duì)稱問題是高中數(shù)學(xué)的對(duì)比重要內(nèi)容，它的一般解題步驟是：1.在所求曲線上選一點(diǎn)；2.求出這點(diǎn)關(guān)于中心或軸的對(duì)稱點(diǎn)與之間的關(guān)系；3.利用求出曲線。直線關(guān)于直線的對(duì)稱問題是對(duì)稱問題中的較難的習(xí)題，但它的解法很多，現(xiàn)以一道典型習(xí)題為例給出幾種常見解法，供大家參考典例分析〔二〕：例1〔1〕求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)〔2〕求關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)〔3〕一張坐標(biāo)紙，對(duì)折后，點(diǎn)A(0，4)與點(diǎn)B〔8，0〕重疊，假設(shè)點(diǎn)C(6，8)與D〔m，n〕重疊，求m+n；例2：試求直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線的方程。解法1：〔動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法〕在上任取點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則又點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)，所以，所以。即。所以直線的方程是。解法2：〔到角公式法〕解方程組所以直線的交點(diǎn)為A(1,0)設(shè)所求直線的方程為，即,由題意知，到與到的角相等，則.所以直線的方程是。解法3：〔取特殊點(diǎn)法〕由解法2知，直線的交點(diǎn)為A(1,0)。在上取點(diǎn)P〔2，1〕，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則而點(diǎn)A，Q在直線上，由兩點(diǎn)式可求直線的方程是。解法4：〔兩點(diǎn)對(duì)稱法〕對(duì)解法3，在上取點(diǎn)P〔2，1〕，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為Q，在上取點(diǎn)M〔0，1〕，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為而N，Q在直線上，由兩點(diǎn)式可求直線的方程是。解法5：〔角平分線法〕由解法2知，直線的交點(diǎn)為A(1,0)，設(shè)所求直線的方程為：設(shè)所求直線的方程為,即.由題意知，為的角平分線，在上取點(diǎn)P〔0，-3〕，則點(diǎn)P到的距離相等，由點(diǎn)到直線距離公式，有：時(shí)為直線，故。所以直線的方程是解法6〔公式法〕給出一個(gè)重要定理：曲線〔或直線〕關(guān)于直線的對(duì)稱曲線〔或直線〕的方程為。

證：設(shè)是曲線上的任意一點(diǎn)，它關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則于是?！進(jìn)與M/關(guān)于直線l對(duì)稱，∴,〔3〕代入〔2〕，得，此即為曲線的方程。解析：定理知，直線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線的方程為：所以直線的方程是。練習(xí)：〔1〕求直線關(guān)于點(diǎn)A〔1，2〕對(duì)稱的直線方程；〔2〕求直線關(guān)于直線x=3對(duì)稱的直線方程；〔3〕求直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程；例3〔1〕，在直線上找一點(diǎn)P，使最小，并求最小值；〔2〕，在直線上找一點(diǎn)P，使最大，并求最大值；例4光線由點(diǎn)A(2，3)射到直線反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)B〔1，1〕求反射光線所在直線方程。練習(xí)：光線從射出，被x軸反射后經(jīng)過點(diǎn)B〔3，2〕，求入射光線所在直線方程；光線沿著直線射向直線，求反射光線所在直線方程。直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線方程是，求直線的傾斜角；直線和直線關(guān)于直線對(duì)稱，求直線的方程；5、一張坐標(biāo)紙對(duì)折后，點(diǎn)A(0，2)與點(diǎn)B〔4，0〕重疊，假設(shè)點(diǎn)C(2，3)與D〔m，n〕重疊，求m+n；6、求直線關(guān)于點(diǎn)A〔2，3〕對(duì)車的直線方程7、與關(guān)于直線對(duì)稱，求直線的方程；8〔選〕、入射光線沿直線射到x軸后反射，這時(shí)又沿著直線射到y(tǒng)軸，由y軸再反射沿著直線射出，求直線的方程；9〔選〕、直線，直線，求直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線方程?！踩痴n后作業(yè)：方程表示的直線必經(jīng)過點(diǎn)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程是曲線關(guān)于直線對(duì)稱的曲線方程是，，僅有兩個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的范圍是求經(jīng)過直線和的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程