金融數(shù)學(xué)課件ch8 期權(quán)定價(jià)的離散模型

金融數(shù)學(xué)第八章期權(quán)定價(jià)的離散模型中國人民大學(xué)出版社PAGE金融數(shù)學(xué)第八章期權(quán)定價(jià)的離散模型中國人民大學(xué)出版社PAGE10/43第八章期權(quán)定價(jià)的離散模型金融數(shù)學(xué)中國人民大學(xué)出版社引言引言期權(quán)定價(jià)的離散模型中最為著名的就是考克斯、羅斯和魯賓斯坦（Cox，Ros，Rubinstei，1979）提出的二項(xiàng)式模型（binomialmode。約翰?考克斯 斯蒂芬?羅斯 馬克?魯賓斯坦（1943—） （1944—2017）（1944—2019）本章內(nèi)容本章內(nèi)容1單期二項(xiàng)式模型12多期二項(xiàng)式模型歐式期權(quán)的定價(jià)美式期權(quán)的定價(jià)障礙期權(quán)的定價(jià)2其他期權(quán)品種的定價(jià)簡介3CRR模型3CRR模型的設(shè)定CRR模型與B-S模型的聯(lián)系單期二項(xiàng)式模型單期二項(xiàng)式模型單期二項(xiàng)式模型單期二項(xiàng)式模型eperiodbinomialmodel單期二項(xiàng)式模型t=0，結(jié)束時(shí)刻在t=1，并且在未來時(shí)刻1，股票（即標(biāo)的資產(chǎn)）的價(jià)格只有兩種可能狀態(tài)的模型。SV；初始S(0)V(0)S(1)和V(1)。單期二項(xiàng)式模型單期二項(xiàng)式模型(cont.)單期二項(xiàng)式模型（up）（down）分別Su(1)Sd(1)Vu(1)Vd(1)單期二項(xiàng)式模型S(0)

Su(1)Sd(1)

V(0)

Vu(1)Vd(1)t=0 t=1股票的二叉樹

t=0 t=1期權(quán)的二叉樹構(gòu)造一個(gè)組合，其在初始時(shí)刻的總價(jià)值為X(0)，假設(shè)采用自融資策略，購買了?(0)股的股票，并將剩余資金全部用于購買一份期權(quán)。單期二項(xiàng)式模型單期二項(xiàng)式模型(cont.)單期二項(xiàng)式模型單期二項(xiàng)式模型X(0)=?(0)S(0)+V(0)在未來時(shí)刻1，該組合的可能價(jià)值分別為：Xu(1)=?(0)Su(1)+Vu(1)Xd(1)=?(0)Sd(1)+Vd(1)我們希望得到滿足條件的?(0)和V(0)，使得在未來時(shí)刻1，組合的價(jià)值保持不變，即滿足Xu(1)=Xd(1)。單期二項(xiàng)式模型單期二項(xiàng)式模型(cont.)單期二項(xiàng)式模型根據(jù)前面的定理可知：對(duì)于這種組合價(jià)值不變的資產(chǎn)，在無套利條X(0)X(1)單期二項(xiàng)式模型X(1)=X(0)(1+r)綜合上面各式，可以得到：X(0)(1+r)=?(0)Su(1)+Vu(1) (1)X(0)(1+r)=?(0)Sd(1)+Vd(1) (2)取0<q<1，并對(duì)式(1)兩端同乘以q，對(duì)式(2)兩端同乘以(1?q)，并將兩式相加可得：X(0)(1+r)=?(0)[qSu(1)+(1?q)Sd(1)]+[qVu(1)+(1?q)Vd(1)]單期二項(xiàng)式模型單期二項(xiàng)式模型(cont.)單期二項(xiàng)式模型將X(0)=?(0)S(0)+V(0)單期二項(xiàng)式模型?(0)[qSu(1)+(1?q)Sd(1)?S(0)(1+r)]=V(0)(1+r)?[qVu(1)+(1?q)Vd(1)]若令上式的左右兩側(cè)均等于零，則有：{qSu(1)+(1?q)Sd(1)?S(0)(1+r)=0V(0)(1+r)?[qVu(1)+(1?q)Vd(1)]=0

S(0)=Su(1)+(1?q)Sd(1)1+rV(0)=Vu(1)+(1?q)Vd1+r“概率”“概率”單期二項(xiàng)式模型qS(0)可以看作未單期二項(xiàng)式模型S(0)=Su(1)+(1?q)Sd(1)1+rV(0)=qVu(1)+(1?q)Vd1+rqS(0)

Su(1)

q(1?q(1?q)

Vu(1)(1?q)

Sd(1)

Vd(1)t=0 t=1股票的二叉樹

t=0 t=1期權(quán)的二叉樹風(fēng)險(xiǎn)中性概率風(fēng)險(xiǎn)中性概率單期二項(xiàng)式模型需要說明的是，這里的概率q并不是真實(shí)市場(chǎng)上的概率，而是我們?cè)谕茖?dǎo)過程中人為構(gòu)造的概率，稱為風(fēng)險(xiǎn)中性概率（單期二項(xiàng)式模型probability。將這種由風(fēng)險(xiǎn)中性概率所組成的概率測(cè)度稱作風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度（risk-neutralmeasur，記作Q。p，相應(yīng)的概率測(cè)度記作P。這樣的兩個(gè)概率測(cè)度是等價(jià)的equivalen，記作P～Q。等價(jià)測(cè)度的定義等價(jià)測(cè)度的定義單期二項(xiàng)式模型在同一個(gè)樣本空間S內(nèi)的兩個(gè)概率測(cè)度P和Q，若對(duì)S中的任意子樣本空間A單期二項(xiàng)式模型P(A)=0??Q(A)=0或者P(A)?=0??Q(A)?=0兩個(gè)概率測(cè)度等價(jià)，則意味著事件A在測(cè)度P下有可能發(fā)生，相應(yīng)地在測(cè)度Q下也有可能發(fā)生；反之亦然。則稱P和Q是等價(jià)測(cè)度（equivalentmeasur，記作兩個(gè)概率測(cè)度等價(jià)，則意味著事件A在測(cè)度P下有可能發(fā)生，相應(yīng)地在測(cè)度Q下也有可能發(fā)生；反之亦然。風(fēng)險(xiǎn)中性概率的表達(dá)式風(fēng)險(xiǎn)中性概率的表達(dá)式單期二項(xiàng)式模型如果進(jìn)一步假設(shè)未來時(shí)刻股票價(jià)格上漲的倍數(shù)為u，下跌的倍數(shù)為d，并且0<d<1<u單期二項(xiàng)式模型Su(1)=u·S(0), Sd(1)=d·S(0)將上式代入S(0)=qSu(1)+(1?q)Sd(1)，最終可得：1+rq=(1+r)?du?d由此可見，風(fēng)險(xiǎn)中性概率q只與無風(fēng)險(xiǎn)利率r、期限t=1、上漲倍數(shù)u和下跌倍數(shù)d有關(guān)，而與股票的價(jià)格S(0)無關(guān)。例題例題1：看漲期權(quán)單期二項(xiàng)式模型一只股票的當(dāng)前價(jià)格為20元，3個(gè)月后股價(jià)有可能漲至22單期二項(xiàng)式模型有可能跌至18元。3個(gè)月后到期的該股票看漲期權(quán)的行權(quán)價(jià)為21元，假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率為4%。問：該看漲期權(quán)的當(dāng)前價(jià)格應(yīng)為多少？解答解答單期二項(xiàng)式模型單期二項(xiàng)式模型u=22=1.1, d=18=0.920 20相應(yīng)的股票和期權(quán)的二叉樹如下所示：q22q20(1?q) 18

V(0)

q(1?q)

max(0,22?21)=1max(0,18?21)=0股票的二叉樹 (b)期權(quán)的二叉樹相應(yīng)地：

q=1+r)?d=(1+4%/4)?0.9=0.55u?d 1.1?0.9解答解答(cont.)單期二項(xiàng)式模型q單期二項(xiàng)式模型q(1?q(1?q)0由于期權(quán)剩余到期時(shí)間僅有三個(gè)月，因此在單利計(jì)息下，將年利率1/4作為利息的計(jì)算依據(jù)。于是可得：1+4%/41+4%/4V(0)= 1 [q·1+(1?q)·1+4%/41+4%/4例題例題2：看跌期權(quán)單期二項(xiàng)式模型一只股票的當(dāng)前價(jià)格為20元，三個(gè)月后股價(jià)有可能漲至22單期二項(xiàng)式模型有可能跌至18元。該股票三個(gè)月后到期的看跌期權(quán)的行權(quán)價(jià)為21元，假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率為4%。問：該看跌期權(quán)的當(dāng)前價(jià)格應(yīng)為多少？解答解答單期二項(xiàng)式模型單期二項(xiàng)式模型u=22/20=1.1,d=18/20=0.9,K=21。q22q20(1?q) 18

V(0)

q(1?q)

max(0,21?22)=0max(0,21?18)=3(a)股票的二叉樹 (b)期權(quán)的二叉樹于是可得：1+4%/41+1%V(0)= 1 [q·0+(1?q)·3]=0.451+4%/41+1%多期二項(xiàng)式模型多期二項(xiàng)式模型多期二項(xiàng)式模型二項(xiàng)式模型所得的結(jié)果盡可能地符合或接近實(shí)際，只需要將標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)的期間（period）增加到兩個(gè)或兩個(gè)以上，從而使單期二項(xiàng)式模型變?yōu)槎嗥诙?xiàng)式模型（multi-periodbinomialmode多期二項(xiàng)式模型Sr，每期的時(shí)間跨度1uu>d0<d<uuSuSS udSdSddS當(dāng)前 第1期 第2期多期二項(xiàng)式模型的風(fēng)險(xiǎn)中性概率多期二項(xiàng)式模型的風(fēng)險(xiǎn)中性概率多期二項(xiàng)式模型由于風(fēng)險(xiǎn)中性概率q只與無風(fēng)險(xiǎn)利率r、時(shí)間跨度t=1、上漲倍數(shù)u和下跌倍數(shù)d有關(guān)，而與股票的價(jià)格S多期二項(xiàng)式模型q=1+r)?du?d注意：因此，風(fēng)險(xiǎn)中性概率可以應(yīng)用于整個(gè)二叉樹的各個(gè)分支。注意：金融中通常使用連續(xù)復(fù)利計(jì)息法，于是上面的風(fēng)險(xiǎn)中性概率計(jì)算公式相應(yīng)地改寫為：=q ert?d=u?d其中，r是無風(fēng)險(xiǎn)利率，t是各期之間的時(shí)間跨度。在后面所述的多期二項(xiàng)式模型定價(jià)中，將使用上式計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)中性概率。例題例題3：歐式期權(quán)的定價(jià)多期二項(xiàng)式模型假設(shè)標(biāo)的股票的當(dāng)前價(jià)格為100元，每期的時(shí)間跨度為歐式期權(quán)的定價(jià)多期二項(xiàng)式模型每年結(jié)束時(shí)，價(jià)格有兩種可能的變化：要么上漲至原來的1.1倍，要么下跌至原來的0.9倍。當(dāng)前距離期權(quán)到期還有兩期，已知每期的無風(fēng)險(xiǎn)利率均為5%。求：行權(quán)價(jià)為105元的歐式看漲期權(quán)的當(dāng)前價(jià)格。行權(quán)價(jià)為105元的歐式看跌期權(quán)的當(dāng)前價(jià)格。解答解答100

q(1?q)

歐式期權(quán)的定價(jià)歐式期權(quán)的定價(jià)90

121q(1?qq(1?q)q多期二項(xiàng)式模型(1?(1?q)當(dāng)前 第1期 第2期??已知u=1.1,d=0.9,K=105,r=5%,t=1，可以計(jì)算得到風(fēng)險(xiǎn)中性概率q：??ert dq=u?d=

e5% 0.9=0.7561.1?0.9解答：看漲期權(quán)的二叉樹解答：看漲期權(quán)的二叉樹q歐式期權(quán)的定價(jià)q歐式期權(quán)的定價(jià)多期二項(xiàng)式模型(1?q)q(1?q)qC0 0(1?q)(1?q(1?q)0當(dāng)前 第1期 第2期由此可得：最終：

C11=e?rt[q·16+(1?q)·0]=e?5%(0.756×16)=11.51C12=e?rt[q·0+(1?q)·0]=0C0=e?rt[q·C11+(1?q)·C12]=e?5%(0.756×11.43)=8.27解答：看跌期權(quán)的二叉樹解答：看跌期權(quán)的二叉樹q歐式期權(quán)的定價(jià)q歐式期權(quán)的定價(jià)多期二項(xiàng)式模型(1?q)q(1?q)qP0 6(1?q)(1?q(1?q)24當(dāng)前 第1期 第2期由此可得：P11=e?rt[q·0+(1?q)·6]=e?5%(0.244×11)=1.39P12=e?rt[q·6+(1?q)·24]=e?5%(0.756×11+0.25×29)=9.89最終：P0=e?rt[q·P11+(1?q)·P12]=e?5%(0.756×1.39+0.244×9.89)=3.3歸納歸納歐式期權(quán)的定價(jià)多期二項(xiàng)式模型假設(shè)期權(quán)的剩余期限為T，將期權(quán)的期間數(shù)分為歐式期權(quán)的定價(jià)多期二項(xiàng)式模型?t，因此?t=T/n。由于在n次二項(xiàng)步驟后，i次上漲和(n?i)次下跌的風(fēng)險(xiǎn)中性概率為：P(u=,#d=n?i)=()qi(1?)?i= n! i(1?q)n?ii i!(n?i)!其中，#u和#d分別表示期權(quán)的剩余期限內(nèi)，資產(chǎn)價(jià)格上漲和下跌的總次數(shù)。對(duì)應(yīng)的看漲期權(quán)回報(bào)數(shù)額為：max(S0uidn?i?K,0)歸納歸納(cont.)歐式期權(quán)的定價(jià)多期二項(xiàng)式模型C歐式期權(quán)的定價(jià)多期二項(xiàng)式模型C0=e?rn?tP(#u=i,#d=n?i)·max(S0uidn?i?K,0)其中：

n=e?rTn

=0

()ii

qi(1?q)n?i·max

(S0uidn?i?K,0)=q er?t?du?d=P0P0=e?rn?tP(#u=i,#d=n?i)·max(K?S0uidn?i,0)n=e?rTn

i=0

()ii

qi(1?q)n?i·max

(K?S0uidn?i,0)美式期權(quán)的定價(jià)美式期權(quán)的定價(jià)美式期權(quán)的定價(jià)美式期權(quán)的定價(jià)多期二項(xiàng)式模型權(quán)的收益與期權(quán)價(jià)值之間的差異，然后取兩者中的較大者作為下一期計(jì)算的節(jié)點(diǎn)數(shù)值。例題例題4：美式期權(quán)的定價(jià)多期二項(xiàng)式模型100，未來每期結(jié)束時(shí)，價(jià)格有兩種可1.50.75倍。當(dāng)前美式期權(quán)的定價(jià)多期二項(xiàng)式模型求行權(quán)價(jià)為110的美式看漲期權(quán)的當(dāng)前價(jià)格。解答解答美式期權(quán)的定價(jià)多期二項(xiàng)式模型??已知：u=1.5，d=0.75，K=110，r=5%。可以計(jì)算得到風(fēng)險(xiǎn)中性概率美式期權(quán)的定價(jià)多期二項(xiàng)式模型??ert dq=u?d=

e5% 0.75=0.4021.5?0.75首先構(gòu)造股票價(jià)格的二叉樹，同時(shí)計(jì)算出各期看漲期權(quán)的可能價(jià)值，計(jì)算結(jié)果反映在括號(hào)內(nèi)。100(0)

q 150(40)(1?q(1?q)

q(1?q)q(1?q(1?q)q

225(115)112.5(2.5)56.25(0)當(dāng)前 第1期 第2期解答解答(cont.)美式期權(quán)的定價(jià)多期二項(xiàng)式模型接下來，使用風(fēng)險(xiǎn)中性概率，結(jié)合第美式期權(quán)的定價(jià)多期二項(xiàng)式模型算出第1期期權(quán)的價(jià)值分別為：c1=e?5%[0.402×115+(1?0.402)×2.5]=45.4c2=e?5%[0.402×2.5+(1?0.402)×0]=0.96由于美式期權(quán)可在到期日之前的任意時(shí)刻行權(quán)，因此需要將求得的結(jié)果1期美式期權(quán)的價(jià)值進(jìn)行比較，并取較大者，所以：c11=max(45.4,40)=45.4c12=max(0.96,0)=0.96解答解答(cont.)美式期權(quán)的定價(jià)多期二項(xiàng)式模型最后，使用求得的第1期期權(quán)的價(jià)值c11和c美式期權(quán)的定價(jià)多期二項(xiàng)式模型c0=max{0,e?5%[0.402×45.4+(1?0.402)×0.96]}=17.91q115q17.91

q(1?q)

2.5(1?q)(1?q)q(1?q)當(dāng)前 第1期 第2期障礙期權(quán)的定價(jià)舉例障礙期權(quán)的定價(jià)舉例障礙期權(quán)的定價(jià)多期二項(xiàng)式模型100，未來每期結(jié)束時(shí)，價(jià)格有兩種可1.10.9倍。當(dāng)前障礙期權(quán)的定價(jià)多期二項(xiàng)式模型由于障礙期權(quán)可以提前中止，所以使用二項(xiàng)式模型進(jìn)行定價(jià)時(shí)，需要關(guān)注標(biāo)的資產(chǎn)二叉樹的各節(jié)點(diǎn)與障礙價(jià)格之間的關(guān)系。思路：求行權(quán)價(jià)為105、障礙敲出價(jià)格為95由于障礙期權(quán)可以提前中止，所以使用二項(xiàng)式模型進(jìn)行定價(jià)時(shí)，需要關(guān)注標(biāo)的資產(chǎn)二叉樹的各節(jié)點(diǎn)與障礙價(jià)格之間的關(guān)系。思路：解答解答障礙期權(quán)的定價(jià)多期二項(xiàng)式模型首先繪制出該期權(quán)的對(duì)應(yīng)標(biāo)的股票價(jià)格的二叉樹，圖中的虛線位置障礙期權(quán)的定價(jià)多期二項(xiàng)式模型110

121

133.1108.9010 99 090 89.18172.9當(dāng)前 第1期 第2期 第3期解答解答(cont.)障礙期權(quán)的定價(jià)障礙期權(quán)的定價(jià)多期二項(xiàng)式模型?ert d?q=u?d=

e5% 0.9?=0.756?1.1?0.928.1C11

C21

3.9C0 C22 0 000當(dāng)前 第1期 第2期 第3期解答解答(cont.)障礙期權(quán)的定價(jià)C11障礙期權(quán)的定價(jià)

多期二項(xiàng)式模型C多期二項(xiàng)式模型

28.13.9C0 C22 0 000當(dāng)前 第1期 第2期 第3期接下來使用后向推導(dǎo)法，依次計(jì)算出各期的期權(quán)價(jià)值，結(jié)果如下：C21=e?5%[0.756×28.1+(1?0.756)×3.9]=21.12C22=e?5%[0.756×3.9+(1?0.756)×0]=2.806C11=e?5%[0.756×21.12+(1?0.756)×2.806]=15.85C0=e?5%[0.756×15.85+(1?0.756)×0]=11.4障礙期權(quán)定價(jià)的說明障礙期權(quán)定價(jià)的說明障礙期權(quán)的定價(jià)多期二項(xiàng)式模型這個(gè)例題中并未涉及向上障礙期權(quán)的定價(jià)多期二項(xiàng)式模型在計(jì)算的二叉樹期數(shù)和路徑較少的情況下，該方法是簡單易行的，N2N條可能路徑下期權(quán)生效和失效的情形，這將是非常費(fèi)力的。連續(xù)分紅的股票期權(quán)定價(jià)連續(xù)分紅的股票期權(quán)定價(jià)其他期權(quán)品種的定價(jià)簡介多期二項(xiàng)式模型q?。在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度其他期權(quán)品種的定價(jià)簡介多期二項(xiàng)式模型S0e?q?t=[quS0+(1?q)dS0]e?rt對(duì)上式進(jìn)行整理可得：q=exp[(r?q?)t]?du?d股票指數(shù)期權(quán)的定價(jià)股票指數(shù)期權(quán)的定價(jià)其他期權(quán)品種的定價(jià)簡介多期二項(xiàng)式模型其他期權(quán)品種的定價(jià)簡介多期二項(xiàng)式模型q=exp[(r?q?)t]?du?d外匯期權(quán)的定價(jià)外匯期權(quán)的定價(jià)其他期權(quán)品種的定價(jià)簡介多期二項(xiàng)式模型外匯期權(quán)的標(biāo)的物是外國貨幣（即外匯，外匯可以看作獲得外幣rf其他期權(quán)品種的定價(jià)簡介多期二項(xiàng)式模型q=exp[(r?rf)t]?du?d其中，r表示本幣的無風(fēng)險(xiǎn)利率；rf表示外幣的無風(fēng)險(xiǎn)利率，并且此處的外匯匯率采用直接報(bào)價(jià)法（即一單位外幣等于若干單位本幣。期貨期權(quán)的定價(jià)期貨期權(quán)的定價(jià)其他期權(quán)品種的定價(jià)簡介多期二項(xiàng)式模型對(duì)于期貨期權(quán)而言，其標(biāo)的資產(chǎn)已不再是現(xiàn)貨，而是現(xiàn)貨所對(duì)應(yīng)的SF其他期權(quán)品種的定價(jià)簡介多期二項(xiàng)式模型F=Ser