專題02平面向量解答題壓軸訓(xùn)練-2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試壓軸題專練（2019尖子生專用）

專題02平面向量解答題壓軸訓(xùn)練（時(shí)間：90分鐘總分：120）班級(jí)姓名得分解答題解題策略：（1）常見失分因素：①對(duì)題意缺乏正確的理解，應(yīng)做到慢審題快做題；②公式記憶不牢，考前一定要熟悉公式、定理、性質(zhì)等；③思維不嚴(yán)謹(jǐn)，不要忽視易錯(cuò)點(diǎn)；④解題步驟不規(guī)范，一定要按課本要求，否則會(huì)因不規(guī)范答題而失分，避免“對(duì)而不全”，如解概率題時(shí)，要給出適當(dāng)?shù)奈淖终f明，不能只列幾個(gè)式子或單純的結(jié)論，表達(dá)不規(guī)范、字跡不工整等非智力因素會(huì)影響閱卷老師的“感情分”；⑤計(jì)算能力差導(dǎo)致失分多，會(huì)做的試題一定不能放過，不能一味求快，⑥輕易放棄試題，難題不會(huì)做時(shí)，可分解成小問題，分步解決，如最起碼能將文字語言翻譯成符號(hào)語言、設(shè)應(yīng)用題未知數(shù)、設(shè)軌跡的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)等，都能拿分。也許隨著這些小步驟的羅列，還能悟出解題的靈感。（2）何為“分段得分”：對(duì)于同一道題目，有的人理解的深，有的人理解的淺；有的人解決的多，有的人解決的少。為了區(qū)分這種情況，中考的閱卷評(píng)分辦法是懂多少知識(shí)就給多少分。這種方法我們叫它“分段評(píng)分”，或者“踩點(diǎn)給分”——踩上知識(shí)點(diǎn)就得分，踩得多就多得分。與之對(duì)應(yīng)的“分段得分”的基本精神是，會(huì)做的題目力求不失分，部分理解的題目力爭(zhēng)多得分。對(duì)于會(huì)做的題目，要解決“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”這個(gè)老大難問題。有的考生拿到題目，明明會(huì)做，但最終答案卻是錯(cuò)的——會(huì)而不對(duì)。有的考生答案雖然對(duì)，但中間有邏輯缺陷或概念錯(cuò)誤，或缺少關(guān)鍵步驟——對(duì)而不全。因此，會(huì)做的題目要特別注意表達(dá)的準(zhǔn)確、考慮的周密、書寫的規(guī)范、語言的科學(xué)，防止被“分段扣分”。經(jīng)驗(yàn)表明，對(duì)于考生會(huì)做的題目，閱卷老師則更注意找其中的合理成分，分段給點(diǎn)分，所以“做不出來的題目得一二分易，做得出來的題目得滿分難”。對(duì)絕大多數(shù)考生來說，更為重要的是如何從拿不下來的題目中分段得點(diǎn)分。我們說，有什么樣的解題策略，就有什么樣的得分策略。把你解題的真實(shí)過程原原本本寫出來，就是“分段得分”的全部秘密。①缺步解答：如果遇到一個(gè)很困難的問題，確實(shí)啃不動(dòng)，一個(gè)聰明的解題策略是，將它們分解為一系列的步驟，或者是一個(gè)個(gè)小問題，先解決問題的一部分，能解決多少就解決多少，能演算幾步就寫幾步，尚未成功不等于失敗。特別是那些解題層次明顯的題目，或者是已經(jīng)程序化了的方法，每一步得分點(diǎn)的演算都可以得分，最后結(jié)論雖然未得出，但分?jǐn)?shù)卻已過半，這叫“大題拿小分”。②跳步答題：解題過程卡在某一過渡環(huán)節(jié)上是常見的。這時(shí)，我們可以先承認(rèn)中間結(jié)論，往后推，看能否得到結(jié)論。如果不能，說明這個(gè)途徑不對(duì)，立即改變方向；如果能得出預(yù)期結(jié)論，就回過頭來，集中力量攻克這一“卡殼處”。由于考試時(shí)間的限制，“卡殼處”的攻克如果來不及了，就可以把前面的寫下來，再寫出“證實(shí)某步之后，繼續(xù)有……”一直做到底。也許，后來中間步驟又想出來，這時(shí)不要亂七八糟插上去，可補(bǔ)在后面。若題目有兩問，第一問想不出來，可把第一問作為“已知”，先做第二問，這也是跳步解答。③退步解答：“以退求進(jìn)”是一個(gè)重要的解題策略。如果你不能解決所提出的問題，那么，你可以從一般退到特殊，從抽象退到具體，從復(fù)雜退到簡(jiǎn)單，從整體退到部分，從較強(qiáng)的結(jié)論退到較弱的結(jié)論?？傊?，退到一個(gè)你能夠解決的問題。為了不產(chǎn)生“以偏概全”的誤解，應(yīng)開門見山寫上“本題分幾種情況”。這樣，還會(huì)為尋找正確的、一般性的解法提供有意義的啟發(fā)。④輔助解答：一道題目的完整解答，既有主要的實(shí)質(zhì)性的步驟，也有次要的輔助性的步驟。實(shí)質(zhì)性的步驟未找到之前，找輔助性的步驟是明智之舉。如：準(zhǔn)確作圖，把題目中的條件翻譯成數(shù)學(xué)表達(dá)式，設(shè)應(yīng)用題的未知數(shù)等。答卷中要做到穩(wěn)扎穩(wěn)打，字字有據(jù)，步步準(zhǔn)確，盡量一次成功，提高成功率。試題做完后要認(rèn)真做好解后檢查，看是否有空題，答卷是否準(zhǔn)確，所寫字母與題中圖形上的是否一致，格式是否規(guī)范，尤其是要審查字母、符號(hào)是否抄錯(cuò)，在確信萬無一失后方可交卷。一、解答題1．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù).（1）設(shè)函數(shù)，試求的相伴特征向量；（2）記向量的相伴函數(shù)為，求當(dāng)且，的值；（3）已知，，為的相伴特征向量，，請(qǐng)問在的圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得.若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，點(diǎn).【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)得，根據(jù)題意可可得特征向量；（2）根據(jù)題意可得相伴函數(shù)，再根據(jù)條件可得，由最終得到結(jié)果；（3）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)則求出的解析式，設(shè)，根據(jù)條件列出方程式求出滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)即可.【詳解】解：（1）的相伴特征向量.（2）向量的相伴函數(shù)為，，.，，..（3）由為的相伴特征向量知：.所以.設(shè)，，，，又，.，，，.又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，和同時(shí)等于，這時(shí)式成立.在圖像上存在點(diǎn)，使得.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：熟練使用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、三角恒等變換是本題的關(guān)鍵.本題還考查了三角函數(shù)圖象變換后的解析式以及向量垂直的數(shù)量積關(guān)系，2．如圖，在直角梯形中，為上靠近B的三等分點(diǎn)，交于為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）用和表示；（2）求；（3）設(shè)，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)3；(3).【分析】(1)根據(jù)給定條件及幾何圖形，利用平面向量的線性運(yùn)算求解而得；(2)選定一組基向量，將由這一組基向量的唯一表示出而得解；(3)由動(dòng)點(diǎn)P設(shè)出，結(jié)合平面向量基本定理，建立為x的函數(shù)求解.【詳解】(1)依題意，，，；(2)因交于D，由(1)知，由共起點(diǎn)的三向量終點(diǎn)共線的充要條件知，，則，，；(3)由已知，因P是線段BC上動(dòng)點(diǎn)，則令，，又不共線，則有，，在上遞增，所以，故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】由不共線的兩個(gè)向量為一組基底，用該基底把相關(guān)條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．3．如圖，已知的面積為14，D、分別為邊AB、BC上的點(diǎn)，且，AE與CD交于P．設(shè)存在和使，，，．（1）求及；（2）用，表示；（3）求的面積．【答案】（1），；（2）；（3）4．【分析】（1）用，作為基底表示出向量，，根據(jù)向量相等得到方程組，即可解得；（2）根據(jù)向量加法運(yùn)算法則，計(jì)算可得；（3）先由，又，再根據(jù)可得．【詳解】（1），，，，，，，，，，又，，解得．（2）由（1）知，，．（3），，，又，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第（1）問的關(guān)鍵是用基底表示向量，然后解方程組；第（2）問的關(guān)鍵是運(yùn)用向量的加法；第（3）問的關(guān)鍵是尋找面積之間的關(guān)系.4．已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)?點(diǎn)（其中?為常數(shù)，且），點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）設(shè)點(diǎn)為線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，，求的值；（2）如圖，設(shè)點(diǎn)是線段的等分點(diǎn)，，其中，，，，求當(dāng)時(shí)，求的值（用含?的式子表示）（3）若，，求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用向量的線性運(yùn)算，將代入，再由求解.（2）易得對(duì)任意正整數(shù)，，且，有，，從而求解.（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)線段上存在一點(diǎn)，使得，，且存在點(diǎn)，，然后轉(zhuǎn)化為，利用線段和最小求解.【詳解】（1）因?yàn)?而點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以，所以，所以.（2）由題意得，，所以，事實(shí)上，對(duì)任意正整數(shù)，，且，有，，所以所以，（3）當(dāng)時(shí)，線段上存在一點(diǎn)，使得，，且存在點(diǎn)，，則，，所以，即線段上存在一點(diǎn)，到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和，如圖所示：作點(diǎn)關(guān)于線段的對(duì)稱點(diǎn)，則最小值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在直線l上存在點(diǎn)P,使得最小和最大問題：當(dāng)點(diǎn)A，B在直線l的異側(cè)時(shí)，連接AB與直線l的交點(diǎn)P，使得最??；作A點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連接與直線l的交點(diǎn)P，使得最大；當(dāng)點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)時(shí)，連接AB與直線l的交點(diǎn)P，使得最大；作A點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連接與直線l的交點(diǎn)P，使得最?。?．已知△AOB中，邊，令過AB邊上一點(diǎn)(異于端點(diǎn))引邊OB的垂線垂足為再由引邊OA的垂線垂足為又由引邊AB的垂線垂足為設(shè).（1）求；（2）證明：；（3）當(dāng)重合時(shí)，求的面積.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）根據(jù)平面向量的模長(zhǎng)公式和數(shù)量積的運(yùn)算公式，即可求解；（2）利用余弦定理，求得，然后求出，從而得到，即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)向量的夾角公式，求得和，從而求得和的值，當(dāng)重合時(shí)，，求得，最后根據(jù)三角形的面積公式和，即可求解.【詳解】（1）在中，因?yàn)?，且，可得，則，所以.（2）由（1）與已知，可得，由余弦定理可得，又因?yàn)椋瑒t，則，所以.（3）由已知可得，因?yàn)椋?，，因?yàn)?，所以，?dāng)重合時(shí)，，解得，解得，此時(shí)，所以，可得，所以.【點(diǎn)睛】解決向量在平面幾何中的應(yīng)用問題的兩種方法：（1）坐標(biāo)法，把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示出來，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算，從而使問題得到解決；（2）基向量法，選取一組合適的基底，將未知向量用基底表示出來，然后根據(jù)向量的運(yùn)算法則?運(yùn)算律和性質(zhì)求解.6．已知中，過重心G的直線交邊于P，交邊于Q，設(shè)的面積為，的面積為，，.（1）求；（2）求證：.（3）求的取值范圍.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）【分析】（1）延長(zhǎng)交于D，則D為BC中點(diǎn)，可得，，即可求出；（2）設(shè)，可得，，可得，即可建立關(guān)系求得；（3）可得，再根結(jié)合的范圍求出.【詳解】（1）延長(zhǎng)交于D，則D為BC中點(diǎn)，,G是重心，，；（2）設(shè),，，，，三點(diǎn)共線，則存在，使得，即，即，，整理得，即，即，即；（3）由（2），，，，，可知，，，，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，取得最大值，，則的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線性運(yùn)算，考查基本定理和共線定理的應(yīng)用，考查面積公式的應(yīng)用，屬于較難題.7．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，三點(diǎn)滿足.（1）求值；（2）已知若的最小值為，求的最大值.【答案】（1）（2）1【分析】（1）由，得，化簡(jiǎn)得，即可得到答案；（2）化簡(jiǎn)函數(shù)，對(duì)實(shí)數(shù)分類討論求得函數(shù)的最小值，得到關(guān)于的分段函數(shù)，進(jìn)而求得函數(shù)的最大值.【詳解】（1）由題意知三點(diǎn)滿足，可得，所以，即即，則，所以.（2）由題意，函數(shù)因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，綜上所述，，可得函數(shù)的最大值為1，即的最大值為1.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積的坐標(biāo)性質(zhì)，以及三角函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，著重考查了分類討論思想，以及推理與運(yùn)算能力，8．已知，，設(shè).（1）當(dāng)時(shí)，求的值域；（2）若銳角滿足，且不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)量積，求得的表達(dá)式化簡(jiǎn)，再根據(jù)的取值范圍求出的值域即可.（2）根據(jù)，可求的角的值，再根據(jù)不等式轉(zhuǎn)化為,結(jié)合基本不等式即可求出的取值范圍.【詳解】解:（1）已知，，,因?yàn)?則,,故的值域?yàn)?.（2）由（1）得,因?yàn)殇J角滿足,,解得,又因?yàn)榧储儆忠驗(yàn)閹氩坏仁舰僖驗(yàn)樵阡J角中,所以,所以故的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的數(shù)量積、三角函數(shù)及基本不等式的應(yīng)用。9．如圖所示，在中，，，AD與BC相交于點(diǎn)M．設(shè)，．（1）試用向量，表示；（2）在線段AC上取點(diǎn)E，在線段BD上取點(diǎn)F，使EF過點(diǎn)M．設(shè)，，其中．當(dāng)EF與AD重合時(shí)，，，此時(shí)；當(dāng)EF與BC重合時(shí)，，，此時(shí)；能否由此得出一般結(jié)論：不論E，F(xiàn)在線段AC，BD上如何變動(dòng)，等式恒成立，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）能得出結(jié)論，理由詳見解析.【分析】（1）設(shè)，，可得，，聯(lián)立可解得，；（2）設(shè)，可得，又，，故，即，即得解【詳解】（1）設(shè)，由A，D，B三點(diǎn)共線，可知存在（，且）使得，則，又，所以，∴，即①，由B，C，M三點(diǎn)共線，可知存在（，且）使得，則，又，所以，∴即②由①②得，，故．（2）能得出結(jié)論．理由：由于E，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)（，且），使得，于是，又，，所以，所以，從而，所以消去得．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的線性運(yùn)算綜合問題，考查了向量共線基本定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于較難題.10．在中，滿足：，M是的中點(diǎn).（1）若，求向量與向量的夾角的余弦值；（2）若O是線段上任意一點(diǎn)，且，求的最小值：（3）若點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn)，且，，，求的最小值.【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用向量的數(shù)量積公式得到，利用向量的數(shù)量積公式展開，求出向量與向量的夾角的余弦值；（2）通過解三角形求出的長(zhǎng)，設(shè)，則，利用向量的平行四邊形法則得到而，利用向量的數(shù)量積公式將表示成關(guān)于的二次函數(shù)，通過求二次函數(shù)的最值求出最小值；（3）設(shè)，將已知條件利用向量的數(shù)量積公式表示成關(guān)于的三角函數(shù)，將平方轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù)，然后利用基本不等式求出其最小值．【詳解】解：（1）設(shè)向量，與向量的夾角為，令，.（2），，設(shè)，則，而，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值是.（3）設(shè)，，，，，同理：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，所以.【點(diǎn)睛】本題考查向量的夾角和最值問題，利用了向量的數(shù)量積公式和兩向量的夾角公式，還運(yùn)用二次函數(shù)和基本不等式求最值，是一道綜合題．11．如圖，在△ABC的邊上做勻速運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)D，E，F(xiàn)，當(dāng)t＝0時(shí)分別從點(diǎn)A，B，C出發(fā)，各以定速度向點(diǎn)B，C，A前進(jìn)，當(dāng)t＝1時(shí)分別到達(dá)點(diǎn)B，C，A．（1）證明：在運(yùn)動(dòng)過程中，△DEF的重心保持不變；（2）若△ABC的面積為S，求△DEF的面積的最小值．【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）解題的關(guān)鍵是得出同一時(shí)刻，、、分、、所成的比相同，進(jìn)而設(shè)出坐標(biāo)驗(yàn)證即可；（2）易知，，進(jìn)而表示出，由二次函數(shù)的圖象以及性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）證明：設(shè)A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），△DEF的重心O（x0，y0），由題意，在同一時(shí)刻t，D、E、F分所成的比相同，設(shè)為λ，則，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，D（txB+（1﹣t）xA，tyB+（1﹣t）yA），E（txC+（1﹣t）xB，tyC+（1﹣t）yB），F(xiàn)（txA+（1﹣t）xC，tyA+（1﹣t）yC），由三角形重心坐標(biāo)公式有，，，把D、E、F的坐標(biāo)代入x0，y0中，求得△DEF的重心坐標(biāo)為，它與t無關(guān)，即在運(yùn)動(dòng)過程中，△DEF的重心保持不變；（2）∵，∴S△DFA：SABC＝（AD?AF）：（AB?AC）＝t（1﹣t），即S△DFA＝t（1﹣t）S，同理，S△EFC＝S△DEB＝t（1﹣t）S，∴，∴當(dāng)時(shí)，S△DEF的面積取得最小值．12．在中,已知，M是BC的中點(diǎn).(1)若,求向量與向量的夾角的余弦值；(2)若O是線段AM上任意一點(diǎn),且，求的最小值；(3)若