專題14導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（原卷版）

2023高考一輪復(fù)習(xí)講與練專題14導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性練高考明方向1．(2021年高考全國甲卷理科)已知且，函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．2.（2022·北京卷T20）已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處切線方程；（2）設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；（3）略3．(2021年高考全國乙卷理科)設(shè)，，．則 ()A． B． C． D．4、【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】已知函數(shù).討論的單調(diào)性；5、【2019年高考北京理數(shù)】設(shè)函數(shù)（a為常數(shù)）．若f（x）為奇函數(shù)，則a=________；若f（x）是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是___________．6、【2018年高考天津理數(shù)】已知函數(shù)，，其中a>1.（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；7、【2018年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；8．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)若，則 ()(A)(B)(C)(D)9．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是 ()A． B．C． D．導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間單調(diào)性與參數(shù)范圍函數(shù)單調(diào)性的判斷含參函數(shù)中的分類討論類型一、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性基礎(chǔ)知識：1．函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)的單調(diào)性與f′(x)的關(guān)系(1)若f′(x)>0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)遞增．(2)若f′(x)<0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)遞減．(3)若f′(x)＝0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常數(shù)．基礎(chǔ)題型：1．下列函數(shù)為偶函數(shù)且在(0，＋∞)上為增函數(shù)的是()A．f(x)＝|lnx| B．f(x)＝x2＋eq\f(3,x2)C．f(x)＝eq\f(1,2)x＋x2 D．f(x)＝x(ex－e－x)2．(多選)如果函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則以下關(guān)于函數(shù)y＝f(x)的判斷正確的是()A．在區(qū)間(2,4)內(nèi)單調(diào)遞減B．在區(qū)間(2,3)內(nèi)單調(diào)遞增C．x＝－3是極小值點(diǎn)D．x＝4是極大值點(diǎn)基本方法：充分、必要條件與導(dǎo)數(shù)及函數(shù)單調(diào)性(1)f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)的充分不必要條件．(2)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)的必要不充分條件．(3)若f′(x)在區(qū)間(a，b)的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0，則f′(x)≥0(≤0)是f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增(減)的充要條件．類型二、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間基礎(chǔ)知識：1．函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)的單調(diào)性與f′(x)的關(guān)系(1)若f′(x)>0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)遞增．(2)若f′(x)<0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)遞減．(3)若f′(x)＝0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常數(shù)．注意：(1)討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的實(shí)質(zhì)是解不等式，求解時(shí)，要堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”原則．(2)有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè)時(shí)，用“，”隔開或用“和”連接，不能用“∪”連接．基本題型：1．（求單調(diào)區(qū)間）函數(shù)f(x)＝eq\f(xlnx,x－1)(x∈[e，＋∞))的單調(diào)遞增區(qū)間為__________．2．（求單調(diào)區(qū)間）已知函數(shù)f(x)＝x2－5x＋2lnx，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．3.（由f′(x)的零點(diǎn)引起的分類討論）已知函數(shù)（為常數(shù)）.若，討論函數(shù)的單調(diào)性.4.（二次項(xiàng)系數(shù)引起的分類討論）已知函數(shù)f(x)＝ax2－lnx－x，a≠0.試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．5.（二次項(xiàng)系數(shù)及f′(x)的零點(diǎn)引起的分類討論）已知函數(shù)f(x)＝ex(ax2＋x＋a)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．6.（判別式引起的分類討論）已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2－1－2axlnx,x)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．7．(f′(x)的零點(diǎn)與函數(shù)定義域引起的分類討論)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x＋a)＋2lnx，其中a∈R且a≠0.試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．基本方法：1、確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間．2、求導(dǎo)后，若導(dǎo)函數(shù)可分解且首項(xiàng)系數(shù)無參數(shù)或參數(shù)不影響時(shí)，可求出f′(x)的零點(diǎn)，注意判斷零點(diǎn)是否在定義域內(nèi)，另外若有兩個(gè)零點(diǎn)且這兩零點(diǎn)的大小關(guān)系無法確定，則就無法確定f′(x)>0或f′(x)<0的解集，進(jìn)而無法確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，此時(shí)必須對零點(diǎn)的大小關(guān)系分類討論．設(shè)f′(x)兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，往往分成x1>x2，x1＝x2，x1<x2三類討論．可歸納為“首項(xiàng)系數(shù)無參數(shù)，根的大小定勝負(fù)．定義域，緊跟蹤，兩根是否在其中”．3、求導(dǎo)后，若導(dǎo)函數(shù)中的二次三項(xiàng)式能因式分解需考慮首項(xiàng)系數(shù)是否含有參數(shù)．若首項(xiàng)系數(shù)有參數(shù)，就按首項(xiàng)系數(shù)為零、為正、為負(fù)進(jìn)行討論．可歸納為“首項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)，先分系數(shù)零正負(fù)”．4、求導(dǎo)后，若導(dǎo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次型函數(shù)的含參問題，首先考慮二次三項(xiàng)式是否存在零點(diǎn)，即對判別式Δ進(jìn)行Δ≤0和Δ>0兩類討論，可歸納為“有無實(shí)根判別式，兩種情形需知曉”．5、一般地，需要討論導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)是否含在定義域內(nèi)，零點(diǎn)將定義域劃分為哪幾個(gè)區(qū)間，若不能確定，則需要進(jìn)行分類討論．類型三、已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍基礎(chǔ)知識：若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增，則f′(x)≥0，且在(a，b)的任意子區(qū)間，等號不恒成立；若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減，則f′(x)≤0，且在(a，b)的任意子區(qū)間，等號不恒成立．即“f′(x)>0在(a，b)上恒成立”是“f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增”的充分不必要條件．基本題型：1、已知函數(shù)f(x)＝lnx＋x2＋ax的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，則()A．a(chǎn)∈(－∞，－3] B．a(chǎn)＝－3C．a(chǎn)＝3 D．a(chǎn)∈(－∞，3]2．若函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(1,2)x2－(b－1)x在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()A．[3，＋∞) B．(3，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，＋∞))3．若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.4．若函數(shù)f(x)＝x2－ax＋lnx在區(qū)間(2，e)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是_______.5．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2－9lnx在區(qū)間[a－1，a＋1]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.基本方法：求參數(shù)范圍的常見類型和解題技巧1、已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增(或遞減)：轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)對x∈D恒成立問題，要注意“＝”是否取到；2、已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)在某一區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間：實(shí)際上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在該區(qū)間上存在解集，這樣就把函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化成不等式問題；3、已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I中含有參數(shù)：先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，令I(lǐng)是其單調(diào)區(qū)間的子集，從而可求出參數(shù)的取值范圍；4、已知f(x)在區(qū)間D上不單調(diào)：f(x)在D上有極值點(diǎn)，且極值點(diǎn)不是D的端點(diǎn)。類型四、構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性解不等式基本題型：1．定義在上函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，若，則不等式的解集為（）A． B． C． D．2．定義在上的函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且，當(dāng)時(shí)，恒成立，則下列判斷一定正確的是（）A． B．C． D．3．已知是定義在上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．若時(shí)，，則不等式的解集是___________．4．設(shè)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f(－1)＝0,當(dāng)x>0時(shí)，xf′(x)－f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是________．基本方法：1、當(dāng)題設(shè)條件中存在或通過變形出現(xiàn)特征式“f′(x)±g′(x)”時(shí)，不妨聯(lián)想、逆用“f′(x)±g′(x)＝[f(x)±g(x)]′”．構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)±g(x)，然后利用該函數(shù)的性質(zhì)巧妙地解決問題．2、當(dāng)題設(shè)條件中存在或通過變形出現(xiàn)特征式“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)”時(shí)，可聯(lián)想、逆用“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＝[f(x)g(x)]′”，構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)g(x)，然后利用該函數(shù)的性質(zhì)巧妙地解決問題．3、當(dāng)題設(shè)條件中存在或通過變形出現(xiàn)特征式“f′(x)g(x)－f(x)g′(x)”時(shí)，可聯(lián)想、逆用“eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′”，構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)y＝eq\f(fx,gx)，然后利用該函數(shù)的性質(zhì)巧妙地解決問題．新預(yù)測破高考1．函數(shù)f(x)＝x＋2eq\r(1－x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．(0,1) B．(－∞，1)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)2．如圖是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象，則下面判斷正確的是()A．在區(qū)間(－2,1)上f(x)是增函數(shù)B．在區(qū)間(1,3)上f(x)是減函數(shù)C．在區(qū)間(4,5)上f(x)是增函數(shù)D．當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取到極小值3．(多選)下列函數(shù)中，在(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)的是()A．y＝sinx B．y＝xexC．y＝x3＋x D．y＝lnx－x4．設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f′(x)是其導(dǎo)函數(shù)，若3f(x)＋f′(x)>0，f(0)＝1，則不等式f(x)>e－3x的解集是()A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，0) D．(0,1)5．已知當(dāng)時(shí)，，則以下判斷正確的是（）．A． B．C． D．與的大小關(guān)系不確定6、已知函數(shù)f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且f′(x)＜eq\f(1,2)，f(1)＝1，則不等式f(x)＜eq\f(x,2)＋eq\f(1,2)的解集為()A．{x|x＜－1} B．{x|x＞1}C．{x|x＜－1或x＞1} D．{x|－1＜x＜1}7、設(shè)函數(shù)，則不等式的解集為_____________.8、，若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則的取值范圍是_______9、已知函數(shù)，其中.則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為________。10．若函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(3,2)x2＋ax＋4的單調(diào)減區(qū)間是[－1,4]，則a＝________.11．若函數(shù)f(x)＝ax3－3x在區(qū)間(－1,1)上為單調(diào)減函數(shù)，則a的取值范圍是________．12、設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－eq\f(b,x)＋lnx，且f(1)＝0.若函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．13．已知f(x)＝x－eq\f(ax,ex)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，若f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．14．已知函數(shù)f(x)＝2lnx＋x2－5x在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－\f(1,2)，k))上為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．15、已知函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)－eq\f(ax,x＋a)(a>1)，討論f(x)的單調(diào)性．16、