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趨勢3考查開放,探究精神一、單選題1.(2021·全國·高一專題練習(xí))已知集合,,定義集合,則中元素的個數(shù)為().A.77 B.49 C.45 D.30【答案】C【詳解】集合中有5個元素,即5個點,如下圖中黑點所示.集合中有25個元素(即25個點),即下圖中正方形內(nèi)部及正方形邊上的整點.所以或或或或或或,共7個值;所以或或或或或或,共7個值,所以集合中的元素可看作下圖中正方形內(nèi)部及正方形邊上除去四個頂點外的整點,共(個).故選C.2.(2021·吉林·延邊二中高二月考(理))若實數(shù)的取值使函數(shù)在定義域上有兩個極值點,則叫做函數(shù)具有“凹凸趨向性”,已知是函數(shù)的導(dǎo)數(shù),且,當(dāng)函數(shù)具有“凹凸趨向性”時,的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】B【詳解】,若函數(shù)具有“凹凸趨向性”時,則在有2個不同的實數(shù)根,令,,令,解得:,令,解得:,在上遞減,在遞增,故的最小值是當(dāng)越趨近于0時,也越趨近于0,當(dāng)趨近于正無窮大時,也趨近于正無窮大,所以的取值范圍是.故選:B3.(2021·全國·高三專題練習(xí)(文))牛頓迭代法亦稱切線法,它是求函數(shù)零點近似解的另一種方法,若定義是函數(shù)零點近似解的初始值,過點的切線為,切線與軸交點的橫坐標(biāo),即為函數(shù)零點近似解的下一個初始值,以此類推,滿足精度的初始值即為函數(shù)零點的近似解,設(shè)函數(shù),滿足應(yīng)用上述方法,則A. B. C. D.【答案】D【詳解】,,切線斜率,切線方程,令,得,切線斜率,切線方程,令,得,切線斜率,切線方程,令,得,故選D項4.(2021·全國·高三專題練習(xí))2018年9月24日,阿貝爾獎和菲爾茲獎雙料得主,英國89歲高齡的著名數(shù)學(xué)家阿蒂亞爵士宣布自己證明了黎曼猜想,這一事件引起了數(shù)學(xué)界的震動.在1859年,德國數(shù)學(xué)家黎曼向科學(xué)院提交了題目為《論小于某值的素數(shù)個數(shù)》的論文并提出了一個命題,也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的數(shù)學(xué)家歐拉也曾研究過這個問題,并得到小于數(shù)字的素數(shù)個數(shù)大約可以表示為的結(jié)論.若根據(jù)歐拉得出的結(jié)論,估計10000以內(nèi)的素數(shù)個數(shù)為(素數(shù)即質(zhì)數(shù),,計算結(jié)果取整數(shù))A.1089 B.1086 C.434 D.145【答案】B【詳解】由題可知小于數(shù)字的素數(shù)個數(shù)大約可以表示為,則10000以內(nèi)的素數(shù)的個數(shù)為===2500,故選B.5.(2021·全國·高一專題練習(xí))在實數(shù)的原有運算法則中,補充定義新運算“”如下:當(dāng)時,;當(dāng)時,,已知函數(shù),則滿足的實數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.【答案】C【詳解】當(dāng)時,;當(dāng)時,;所以,易知,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞增,且時,,時,,則在上單調(diào)遞增,所以得:,解得,故選C.6.(2021·黑龍江·哈爾濱三中三模(文))已知為常數(shù),在某個相同的閉區(qū)間上,若為單調(diào)遞增函數(shù),為單調(diào)遞減函數(shù),則稱此區(qū)間為函數(shù)的“”區(qū)間.若函數(shù),則此函數(shù)的“”區(qū)間為()A. B.C. D.【答案】C【詳解】對于函數(shù),對于函數(shù),則此函數(shù)的“”區(qū)間滿足:,即,∴故選:C二、填空題7.(2021·廣東·深圳市南山外國語學(xué)校(集團)高級中學(xué)高一月考)設(shè)為全集,對集合、,定義運算“*”,.對于集合,,,,則___________.【答案】.【詳解】由于,,,,則,由題中定義可得,則,因此,,故答案為.8.(2021·重慶市兩江中學(xué)校高二月考)設(shè)與是定義在同一區(qū)間上的兩個函數(shù),若函數(shù)在上有兩個不同的零點,則稱與在上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”.若與在上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”,則實數(shù)的取值范圍是____________.【答案】【詳解】令得,設(shè)函數(shù),則直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個交點,,令,可得,列表如下:極大值,,如下圖所示:由上圖可知,當(dāng)時,直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個交點,因此,實數(shù)的取值范圍是.故答案為:.三、解答題9.(2021·江蘇如皋·高二月考)換元法在數(shù)學(xué)中應(yīng)用較為廣泛,其目的在于把不容易解決的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)情景.例如,已知,,,求的最小值.其求解過程可以是:設(shè),,,則,所以當(dāng)時取得最小值16,這種換元方法稱為“對稱換元”.已知平面內(nèi)兩定點,,一動點P到兩個定點的距離之和為4.(1)請利用上述求解方法,求出P點的軌跡方程;(2)求的最大值,并寫出此時P點坐標(biāo).【答案】(1)(2),(1)設(shè),由題意知,即,令,等式兩邊同時平方得……①,……②,①-②得,即……③,即代入①中得,整理可得,故P點的軌跡方程為;(2)則……④,由①得,結(jié)合③得,整理可得代入④得,而,,所以,由于橢圓得對稱性,不妨設(shè)點在軸及軸的右側(cè)時,由于所以解得令,則,而,所以,當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增,因此當(dāng)時,有最小值,且最小值為,因此的最小值為,此時最大,最大值為,此時,即點在橢圓的上下頂點處,故P點坐標(biāo)為,.10.(2021·全國·高二課時練習(xí))函數(shù)圖象上不同兩點,處的切線的斜率分別是,,規(guī)定叫作曲線在點A,B之間的“平方彎曲度”.設(shè)曲線上不同兩點,,且,求的取值范圍.【答案】.【詳解】因為,所以,,由題意可得,,又因為,所以,,所以,故,令,,則,由于,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,所以,故的取值范圍為.11.(2021·上海市復(fù)興高級中學(xué)高三期中)2021年10月13日第18號臺風(fēng)“圓規(guī)”在海南某地登陸,最大風(fēng)力達到12級.路邊一棵參天大樹在樹干某點處被臺風(fēng)折斷且形成120°角,樹尖著地處與樹根相距10米,樹根與樹尖著地處恰好在路的兩側(cè),設(shè)(,,三點所在平面與地面垂直,樹干粗度忽略不計)(1)若,求折斷前樹的高度(結(jié)果保留一位小數(shù))(2)問一輛寬2米,高2.5米的救援車能否從此處通過?并說明理由.【答案】(1)11.2米.(2)救援車不能從此處通過,理由見解析(1)解:在中,,,所以,由正弦定理,得.所以所以折斷前樹的高度11.2米;(2)如圖,設(shè)的內(nèi)接矩形的邊在上且,設(shè),因為,,所以,所以,所以,則因為,所以所以,所以因為,所以救援車不能從此處通過.12.(2021·全國·高三專題練習(xí))對于定義域為的函數(shù),若存在正常數(shù),使得是以為周期的函數(shù),則稱為余弦周期函數(shù),且稱為其余弦周期.已知是以為余弦周期的余弦周期函數(shù),其值域為.設(shè)函數(shù)單調(diào)遞增,,.(1)驗證是以為余弦周期的余弦周期函數(shù);(2)設(shè),證明:對任意,存在,使得;(3)證明:“為方程在區(qū)間上的解”的充要條件是“為方程在區(qū)間上的解”,并證明:對任意都有.【答案】(1)驗證見解析;(2)證明見解析;(3)證明見解析.【詳解】(1)易知函數(shù)的定義域為R,對任意,都有,所以,即是以為余弦周期的余弦周期函數(shù).(2)由于的值域為R,所以對任意,c都是一個函數(shù)值,即有,使得.若,則由單調(diào)遞增得,與矛盾,所以.同理可證,故存在使得.(3)若為在區(qū)間上的解,則,且,,即為方程在區(qū)間上的解.同理,若為方程在區(qū)間上的解,則為該方程在區(qū)間的解.以下證明最后一部分結(jié)論.由(2)所證可知,存在,使得,,1,2,3,4.而是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,,1,2,3,與之前類似可以證明:是在區(qū)間上的解,當(dāng)且僅當(dāng)是在區(qū)間上的解,從而在區(qū)間與區(qū)間上的解的個數(shù)相同,故,,1,2,3,4.對于,,,而,故.類似地,當(dāng),,2,3時,有.結(jié)論成立.13.(2021·江蘇·高三專題練習(xí))已知函數(shù),,如果對于定義域內(nèi)的任意實數(shù),對于給定的非零常數(shù),總存在非零常數(shù),恒有成立,則稱函數(shù)是上的級遞減周期函數(shù),周期為.若恒有成立,則稱函數(shù)是上的級周期函數(shù),周期為.(1)已知函數(shù)是上的周期為的級遞減周期函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;(2)已知,是上級周期函數(shù),且是上的單調(diào)遞增函數(shù),當(dāng)時,,求實數(shù)的取值范圍;(3)是否存在非零實數(shù),使函數(shù)是上的周期為的級周期函數(shù)?請證明你的結(jié)論.【答案】(1);(2);(3)存在滿足題意,證明見解析.【詳解】(1)由題意,函數(shù)是上的周期為的級遞減周期函數(shù)可知,即對恒成立,也即對恒成立,在上單調(diào)遞減,所以,,;(2)已知,是上級周期函數(shù),且是上的單調(diào)遞增函數(shù),當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,則,,,在上單調(diào)遞增,且,即;(3)由已知,應(yīng)有對一切實數(shù)恒成立,即對一切實數(shù)恒成立,也即對一切實數(shù)恒成立,當(dāng)時,,,,于是,,故要使恒成立,只有.①當(dāng)時,即時,由于函數(shù)與的圖象存在交點,故方程有解,此時恒成立,則,,;②當(dāng)時,函數(shù)與函數(shù)的圖象沒有交點,所以,方程無解.綜上,存在,符合題意,其中滿足.14.(2021·全國·高三專題練習(xí))如圖,小華和小明兩個小伙伴在一起做游戲,他們通過劃拳(剪刀、石頭、布)比賽決勝誰首先登上第3個臺階,他們規(guī)定從平地開始,每次劃拳贏的一方登上一級臺階,輸?shù)囊环皆夭粍?,平局時兩個人都上一級臺階,如果一方連續(xù)兩次贏,那么他將額外獲得一次上一級臺階的獎勵,除非已經(jīng)登上第3個臺階,當(dāng)有任何一方登上第3個臺階時,游戲結(jié)束,記此時兩個小伙伴劃拳的次數(shù)為.(1)求游戲結(jié)束時小華在第2個臺階的概率;(2)求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)試題解析:解:(1)易知對于每次劃拳比賽基本事件共有個,其中小華贏(或輸)包含三個基本事件上,他們平局也為三個基本事件,不妨設(shè)事件“第次劃拳小華贏”為;事件“第次劃拳小華平”為;事件“第次劃拳小華輸”為,所以.因為游戲結(jié)束時小華在第2個臺階,所以這包含兩種可能的情況:第一種:小華在第1個臺階,并且小明在第2個臺階,最后一次劃拳小華平;其概率為,第二種:小華在第2個臺階,并且小明也在第2個臺階,最后一次劃拳小華輸,其概率為所以游戲結(jié)束時小華在第2個臺階的概率為.(2)依題可知的可能取值為2、3、4、5,,,,所以的分布列為:2345所以的數(shù)學(xué)期望為:.15.(2020·江蘇省盱眙中學(xué)高一月考)集合是由滿足以下性質(zhì)的函數(shù)組成:①在上是增函數(shù);②對于任意的,.已知函數(shù),.(1)試判斷,是否屬于集合,并說明理由;(2)將(1)中你認為屬于集合的函數(shù)記為.①試用列舉法表
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