635平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示精講

6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示(精講）目錄一、必備知識(shí)分層透析二、重點(diǎn)題型分類研究題型1:平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示題型2：向量的平行、垂直及應(yīng)用題型3：向量的模題型4：向量的夾角題型5：與向量夾角有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題題型6：向量數(shù)量積的最值題型7：向量的模的最值三、高考（模擬）題體驗(yàn)一、必備知識(shí)分層透析知識(shí)點(diǎn)1：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，分別是軸，軸上的單位向量．向量分別等價(jià)于，，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算，有：由于，為正交單位向量，故，，，，從而．即，其含義是：兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和．知識(shí)點(diǎn)2：兩個(gè)向量平行、垂直的坐標(biāo)表示已知非零向量，（1）．（2）知識(shí)點(diǎn)3：向量模的坐標(biāo)表示（1）向量模的坐標(biāo)表示若向量，由于，所以．其含義是：向量的模等于向量坐標(biāo)平方和的算術(shù)平方根．（2）兩點(diǎn)間的距離公式已知原點(diǎn)，點(diǎn)，則，于是．其含義是：向量的模等于A，B兩點(diǎn)之間的距離．（3）向量的單位向量的坐標(biāo)表示設(shè)，表示方向上的單位向量知識(shí)點(diǎn)4：兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示已知非零向量，是與的夾角，則．二、重點(diǎn)題型分類研究題型1:平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，那么等于（

）A． B． C．1 D．0【答案】A【詳解】，，.故選：A.例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖在中，，為中點(diǎn)，，，，則（）A．15 B．13 C．13 D．14【答案】C【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，，又，，，則，即，即，則，，則，；故選：C．例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，，，，為的重心，在邊上，且，則______．【答案】【詳解】解：因?yàn)闉榈闹匦模?，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，所以，即，所以，在中，．方法一：因?yàn)?，，所以，．方法二：以坐?biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，由方法一可知，，所以．同類題型演練1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖在中，，為中點(diǎn)，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，，又，，，則，即，即，則，則，，則；故選：C．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，，所以，，所?故選：C.3．（2023春·北京大興·高三校考階段練習(xí)）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，若，且為的中點(diǎn)，則______.【答案】5【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，所在的直線分別為軸，軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，則，，所以.故答案為：5.4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△ABC中，H，D分別是邊BC，AC上一點(diǎn)，，，，則___________.【答案】12【詳解】如圖，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，HD所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，所以，，所以.故答案為：題型2：向量的平行、垂直及應(yīng)用典型例題例題1．（2023春·江西贛州·高三贛州市贛縣第三中學(xué)?？计谥校┮阎蛄?，且，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：因?yàn)?，且，所以，即，解得（舍）或所以，，因?yàn)?，所以，解?故選：D例題2．（2022春·湖北武漢·高二武漢市第四十九中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)，向量,且，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【詳解】由題意向量,且，故得：，解得，故，故選：A例題3．（2022春·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？计谥校┮阎蛄浚?，若，則的值為___________.【答案】【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以，，又因?yàn)?，所以，即，解得，所以的值?故答案為：.例題4．（2022秋·云南曲靖·高一校考期末）已知向量，，且.(1)求，并求在上的投影；(2)若，求實(shí)數(shù)的值，并確定此時(shí)它們是同向還是反向？【答案】(1)；(2)k=1，反向.(1)向量，，則，而，則有，解得，于是得，所以，在上的投影是.(2)由（1）知，，，又，則，解得，所以實(shí)數(shù)的值是，向量與的方向是反向.同類題型演練1．（2023春·福建寧德·高三校考階段練習(xí)）已知，，，若，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，因?yàn)?，所以，解得，，所以向量在向量上的投影向量?故選：B.2．（2023春·廣西·高三期末）已知向量，若，則m=___________.【答案】【詳解】由題意可知，，因?yàn)椋?，?故答案為：3．（2023春·云南曲靖·高三曲靖一中?？茧A段練習(xí)）已知向量，若向量滿足，則_________.【答案】【詳解】設(shè)，由題意得，，因?yàn)椋?，即，解得，所?故答案為：4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，若，則___________．【答案】##2.5【詳解】由題意，又，所以，解得．故答案為：．題型3：向量的模典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，若與反向共線，則的值為（

）A．0 B．48 C． D．【答案】C【詳解】由題意，得，又與反向共線，故，此時(shí)，故.故選：C.例題2．（2022春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)平面向量，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，即，解得，即，則，所以.故選：B.例題3．（2023春·貴州貴陽(yáng)·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知向量，則___．【答案】【詳解】解：因?yàn)?，所以，故故答案為：例題4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知對(duì)任意平面向量，把繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到向量，叫做把點(diǎn)繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn).已知平面內(nèi)點(diǎn)，點(diǎn)，把點(diǎn)繞點(diǎn)沿逆時(shí)針后得到點(diǎn)，向量為向量在向量上的投影向量，則__________.【答案】##【詳解】因?yàn)?，，所以，，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以.故答案為：.同類題型演練1．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知，是單位向量，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋菃挝幌蛄?，所以，所以，所以，所以，故選：D2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，滿足，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)椋?，所以，則，所以，即．故選：C．3．（2022秋·河南南陽(yáng)·高一統(tǒng)考期中）已知向量，且與的夾角，則（

）A． B．13 C． D．10【答案】A【詳解】解：由題得，所以．故選：A4．（2023春·甘肅蘭州·高三蘭化一中?？茧A段練習(xí)）已知向量，，若，則______【答案】【詳解】根據(jù)題意，，解得，此時(shí)，則.故答案為：題型4：向量的夾角典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）向量，，若、的夾角為鈍角，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)椤⒌膴A角為鈍角，則且、不共線，所以，，解得且，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知非零向量、滿足，，則向量與向量夾角的余弦值為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)椋钥稍O(shè)，，則，，因?yàn)?，所以，?則，故選：A.例題3．（2022秋·湖北武漢·高一校聯(lián)考期末）已知矩形的邊長(zhǎng)滿足，點(diǎn)滿足，則的值為___________.【答案】【詳解】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD所在直線分別為x、y軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則點(diǎn)A（0，0）、B（1，0），C（1，3）、D（0，3），，則點(diǎn)P（1，），∴，，因此，，，．．故答案為：.例題4．（2022秋·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，．(1)若，求．(2)若向量，，求與夾角的余弦值．【答案】(1)(2)(1)因?yàn)?，，所以，．由，可得，?(m＋2)－6＝0，解得，所以，故．(2)依題意得因?yàn)?，所?(2m－2)＋2×9＝0，解得m＝－2，則，，所以，故與夾角的余弦值為．同類題型演練1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在矩形中，，，若，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖：以為原點(diǎn)，建立如圖的平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)樗倪呅问蔷匦危?，，，則，，，，則，，故，因?yàn)?，所以，故選：B.2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)與的夾角為，則．∵，，∴，∴．故選：A3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，與的夾角為．若為銳角，則的取值范圍是__．【答案】且【詳解】，且為銳角，所以，解得，又當(dāng)時(shí)，，夾角，不成立，所以且，故答案為：且.4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，，，則__________.【答案】【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，，，所?故答案為：題型5：與向量夾角有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題典型例題例題1．（2022春·山西臨汾·高三統(tǒng)考期中）已知平面向量，，與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)榕c的夾角為鈍角，所以.所以，即，解得：.而與反向時(shí)，，此時(shí)，即，解得：，不符合題意.所以且.故選：D例題2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若向量與的夾角為銳角，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：與夾角為銳角，則且與不同向，即，即，由，共線得，得，故.故選:D.例題3．（2022·高一單元測(cè)試）已知向量，，.(1)若，，三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)的值；(2)若為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因?yàn)?，，，所以，，因?yàn)椋?，三點(diǎn)共線，所以與共線，所以，解得.所以實(shí)數(shù)的值（2）解：因?yàn)橄蛄?，，，所以，，因?yàn)闉殇J角，所以且與不共線，即，解得且，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是同類題型演練1．（2022秋·上海浦東新·高一校考期末）已知，，且與的夾角是鈍角，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)榕c的夾角是鈍角，所以，且，解得且.故選：D.2．（2022春·上海浦東新·高二華師大二附中?？茧A段練習(xí)）已知，，且與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______．【答案】;【詳解】因?yàn)?，，且與的夾角為鈍角，所以且不共線，則，解得且，即.故答案為：.3．（2022秋·山西·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，.(1)若，求；(2)若和的夾角為銳角，求的取值范圍.【答案】(1)(2)(1)因?yàn)?，所以，解得，所以，，，所?(2)因?yàn)楹偷膴A角為銳角，所以，即，解得且，所以的取值范圍是.題型6：向量數(shù)量積的最值典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在菱形中，，點(diǎn)在菱形所在平面內(nèi)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由菱形中，，可得且，設(shè)交于點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，軸建立直角坐標(biāo)系，如圖，取中點(diǎn)，則，，設(shè)，則，所以當(dāng)，時(shí)，取得最小值.故選：C．例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，線段，點(diǎn)，分別在軸和軸的非負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)，以為一邊，在第一象限內(nèi)作矩形，，設(shè)為原點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：如圖令，，由于，故，，如圖，，故，，故，同理可求得，即，∴，∵，∴．∵，∴的最大值是3，最小值是1，故選：C．例題3．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第一二二中學(xué)校校考期末）在2022年2月4日舉行的北京冬奧會(huì)開幕式上，貫穿全場(chǎng)的雪花元素為觀眾帶來(lái)了一場(chǎng)視覺盛宴，象征各國(guó)、各地區(qū)代表團(tuán)的“小雪花”匯聚成一朵代表全人類“一起走向未來(lái)”的“大雪花”的意境驚艷了全世界（如圖①），順次連接圖中各頂點(diǎn)可近似得到正六邊形（如圖②）．己知正六邊形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)滿足，則________________；若點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則的最小值是________________．

圖①

圖②【答案】

##

##【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，則，，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，的最小值為故答案為：；.例題4．（2022春·天津?yàn)I海新·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，梯形，且，，，則_________，在線段上，則的最小值為_________.【答案】

##

##【詳解】，，，，，，又，；作，垂足為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，，，解得：，，，，，，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.故答案為：；.同類題型演練1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是邊長(zhǎng)為2的正方形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】是邊長(zhǎng)為2的正方形，則以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線AB，AD分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：則，設(shè)點(diǎn)，，于是得：，當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以的最小值是.故選：B2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直角梯形是邊上的一點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】法一：因?yàn)樵谏?，不妨設(shè)，則（其中）所以，因?yàn)?，所以法二：如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系.則，，，，其中∠ABC=45°，設(shè)點(diǎn)，其中，，∴∵∴故選：D.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知在直角三角形中，為直角，，，若是邊上的高，點(diǎn)在內(nèi)部或邊界上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖：在直角三角形中，為直角，，，所以，建立直角坐標(biāo)系如圖所示：，直線的方程為：，所以直線的方程：，所以，點(diǎn)在內(nèi)部或邊界上運(yùn)動(dòng)，與夾角大于等于90°由圖可得：與夾角大于等于，點(diǎn)在線段上時(shí)，，且為最大值，點(diǎn)在線段上時(shí)，有最小值，設(shè)點(diǎn)，.綜上所述：的取值范圍是.故選：D4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在矩形ABCD中，，，點(diǎn)P在AB邊上，則向量在向量上的投影向量的長(zhǎng)度是_____，的最大值是__________．【答案】

【詳解】由題意可得，即向量在向量上的投影向量的長(zhǎng)度是；如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則,故，則，當(dāng)時(shí)，取最大值為，故答案為：；題型7：向量的模的最值典型例題例題1．（2022秋·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）如圖，為矩形邊中點(diǎn)，，分別在線段、上，其中，，，若，則的最小值為__________．【答案】【詳解】解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，可知，，分別在線段、上，設(shè)（），則，所以，所以，，所以，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為．故答案為：例題2．（2022·全國(guó)·高一期中）已知，．(1)若與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)(1)解：因?yàn)?，，所以，，因?yàn)榕c的夾角為鈍角，所以，且，解得且，所以的取值范圍為；(2)根據(jù)題意，，則，所以，又，則，所以的取值范圍是．例題3．（2022秋·河南南陽(yáng)·高一統(tǒng)考期中）已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，，，點(diǎn)滿足.(1)求；(2)設(shè)，求的最小值.【答案】(1);(2).(1)，，即，，，，，，.(2)由（1）知，，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.同類題型演練1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為單位向量，向量滿足：，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：可設(shè)，，則，即，則，，，當(dāng)時(shí)，取得最大值為6，即的最大值為6.故選：C2．（2022秋·四川甘孜·高一統(tǒng)考期末）已知向量?.(1)當(dāng)時(shí)，求向量與的夾角;(2)求的最大值.【答案】(1)(2)4(1)解：當(dāng)?時(shí)，?，?，設(shè)?與?的夾角為?，則?，而?，，即?與?的夾角為?；(2)解：?，?，?當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，?的最大值為?.3．（2022秋·北京·高一北京八十中?？计谥校┮阎獌蓚€(gè)向量(1)求以及與垂直的單位向量；(2)當(dāng)實(shí)數(shù)取何值時(shí)，向量與方向相反？(3)若（其中，求的最小值.【答案】(1)，或；(2)；(3)；(1)由模長(zhǎng)公式，，，設(shè)該單位向量的坐標(biāo)為，則，得或，所以與垂直的單位向量為或.(2)，，當(dāng)向量與共線時(shí)，，解得或，當(dāng)時(shí)，與同向，不合題意；當(dāng)時(shí)，與反向，符合題