123復(fù)數(shù)的幾何意義

12.3復(fù)數(shù)的幾何意義一、復(fù)數(shù)的幾何意義1、復(fù)平面：當(dāng)用直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)時(shí)，稱這個(gè)直角坐標(biāo)系為復(fù)平面，x軸為實(shí)軸，y軸為虛軸．2、復(fù)數(shù)的幾何意義（1）任一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)是一一對應(yīng)的．（2）一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的向量OZ=(a,b)【注意】實(shí)軸、虛軸上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)，原點(diǎn)對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對為(0，0)，它所確定的復(fù)數(shù)是z＝0＋0i＝0，表示的是實(shí)數(shù)．3、復(fù)數(shù)的模（1）定義：向量OZ的eq\a\vs4\al(模)r叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模或絕對值（2）記法：復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模記為|z|或|a＋bi|.（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，r∈R)．二、復(fù)數(shù)加法與減法的幾何意義1、復(fù)數(shù)可以用向量來表示，已知復(fù)數(shù)z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)，其對應(yīng)的向量OZ1=(x如圖1，且OZ1和以O(shè)Z1和OZ2為兩條鄰邊作平行四邊形OZ1ZZ2，根據(jù)向量的加法法則，對角線OZ所對應(yīng)的向量OZ=O而OZ1+OZ2所對應(yīng)的坐標(biāo)是(x1＋x2，y這正是兩個(gè)復(fù)數(shù)之和z1＋z2所對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對．2、復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算，如圖2，復(fù)數(shù)z1-z2與向量這就是復(fù)數(shù)減法的幾何意義．【注意】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)加減法的幾何意義知，兩個(gè)復(fù)數(shù)對應(yīng)向量的和向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)就是這兩個(gè)復(fù)數(shù)的和；兩個(gè)復(fù)數(shù)對應(yīng)向量的差向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)就是這兩個(gè)復(fù)數(shù)的差．（2）求兩個(gè)復(fù)數(shù)對應(yīng)向量的和，可使用平行四邊形法則或三角形法則．（3）在確定兩復(fù)數(shù)的差所對應(yīng)的向量時(shí)，應(yīng)按照三角形法則進(jìn)行．拓展：由復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義可得出：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.題型一復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)所在象限【例1】（2023春·北京·高三北京市八一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】A【解析】，故在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，位于第一象限.故選：A【變式11】（2023春·河北承德·高三河北省灤平縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】D【解析】由題意，對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，在第四象限．故選：D．【變式12】（2023·全國·校聯(lián)考一模）已知是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】B【解析】因?yàn)槭顷P(guān)于的方程的一個(gè)根，所以方程的另外一個(gè)根為，則，所以，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B.【變式13】（2023春·山西晉城·高三?？茧A段練習(xí)）若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】B【解析】因?yàn)?，故由，可得，故在?fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)，在第二象限內(nèi)，故選：B【變式14】（遼寧省名校聯(lián)盟2023屆高三下學(xué)期3月份聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題）已知復(fù)數(shù)，（且），則對應(yīng)的點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的（）A．軸上B．軸上C．一、二象限D(zhuǎn)．三、四象限【答案】A【解析】，，，又，則對應(yīng)的點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的軸上故選：A題型二復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示【例2】（2023春·浙江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形ABCD，三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1＋2i，－2＋i，0，那么點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）A．1－3iB．3－iC．3＋iD．－1＋3i【答案】C【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知,設(shè)，則由，所以,因此對應(yīng)的復(fù)數(shù)為：3＋i，故選：C【變式21】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)平面上有A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．【答案】【解析】因?yàn)閷?yīng)的復(fù)數(shù)是，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，又，所以對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，又，所以點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．【變式22】（2023·高一單元測試）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)，復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)，把向量繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到向量，則點(diǎn)P對應(yīng)的復(fù)數(shù)是______．【答案】【解析】由題意知向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是，再由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義得，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是，最后由復(fù)數(shù)加法的幾何意義得，向量，其對應(yīng)的復(fù)數(shù)是，所以點(diǎn)P對應(yīng)的復(fù)數(shù)是.【變式23】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）已知平行四邊形ABCD中，與對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是3＋2i與1＋4i，兩對角線AC與BD相交于P點(diǎn).（1）求對應(yīng)的復(fù)數(shù)；（2）求對應(yīng)的復(fù)數(shù)；（3）求△APB的面積.【答案】（1）－2＋2i；（2）5；（3）.【解析】由題意，畫出平行四邊形如下圖示（1）在平行四邊形ABCD中，有∴有=(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i即對應(yīng)的復(fù)數(shù)是－2＋2i（2）∵=(3＋2i)－(－2＋2i)＝5即對應(yīng)的復(fù)數(shù)是5（3）∵，∴，而，即∴cos∠APB＝，故sin∠APB＝故即的面積為題型三求復(fù)數(shù)的模【例3】（2022春·河南信陽·高一信陽高中?？茧A段練習(xí)）若復(fù)數(shù)滿足（i是虛數(shù)單位），則的模長等于（）A．1B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)樗?，所以所以故的模長為，故選：D【變式31】（2022春·河南濮陽·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則__________．【答案】【解析】復(fù)數(shù)z滿足，則，所以.【變式32】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），求復(fù)數(shù)的模．【答案】【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)，則，所以，則.【變式33】（2021·高一課前預(yù)習(xí)）（多選）表示A．點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離B．點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離C．點(diǎn)到原點(diǎn)的距離D．坐標(biāo)為的向量的?！敬鸢浮緼CD【解析】由復(fù)數(shù)的幾何意義,知復(fù)數(shù),分別對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn),所以表示點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離,故A說法正確,B說法錯(cuò)誤；,可表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,故C說法正確；,可表示表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,即坐標(biāo)為的向量的模,故D說法正確,故選:ACD【變式34】（2023·高一單元測試）復(fù)數(shù).若，則（）的值與a、b的值無關(guān).A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所以，又，所以，，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，即的值與a、b的值無關(guān).故選：A.題型四復(fù)數(shù)模有關(guān)的最值問題【例4】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（）A．1B．2C．D．【答案】B【解析】設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z，因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足，所以由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，點(diǎn)到點(diǎn)和的距離相等，所以在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的軌跡為軸，又表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，所以問題轉(zhuǎn)化為軸上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最小值，所以的最小值為2，故選：B.【變式41】（2022春·福建廈門·高一廈門外國語學(xué)校?？计谥校┮阎獄1?z2為復(fù)數(shù)，且|z1|=2，若z1+z2=2i，則|z1﹣z2|的最大值是（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】z1+z2=2i，∴z2=2i﹣z1，則|z1﹣z2|=|2z1﹣2i|=2|z1﹣i|，|z1|=2，∴z1在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓，所對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,1),|z1﹣i|表示P,A的距離，∴|z1﹣i|≤3,2|z1﹣i|≤2×3=6,z1=﹣2i時(shí)取等號，|z1﹣z2|的最大值為6，故選：B.【變式42】（2023·全國·高一專題練習(xí)）若且，則最大值是_______________.