微積分 第3版 課件 2.1 數(shù)列無窮小與極限_第1頁
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文檔簡介

2.1數(shù)列無窮小與極限

數(shù)列是指定義在正整數(shù)集上的函數(shù)數(shù)列簡記為例如,簡記為簡記為簡記為第二章極限與連續(xù)數(shù)列的定義域正整數(shù)集是無限集,沒有最大正整數(shù).

即對(duì)任意給定的正數(shù)C,總存在正整數(shù)N,使得

依次取

在幾何上,數(shù)列可以看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

數(shù)列的變化過程包含兩個(gè)相關(guān)的無限過程:n的主動(dòng)變化過程是自變量n的主動(dòng)變化過程和因變量的被動(dòng)變化過程.即n從1開始,不斷增大(每次加1,無限重復(fù)).我們將n的這種變化過程稱為n趨于無窮大,記為考察數(shù)列變化趨勢.對(duì)于數(shù)列我們主要研究當(dāng)時(shí)的是一個(gè)確定的正數(shù),對(duì)任意給定的正數(shù),而在所有正整數(shù)中,大于的正整數(shù)有無限多個(gè),

我們從中任意選定一個(gè),記之為N,即等價(jià)于都存在正整數(shù)N,于是當(dāng)時(shí),有即數(shù)列從某一項(xiàng)(第N+1項(xiàng))開始,我們把具有這種特征的數(shù)列稱為無窮小,對(duì)任意給定的,使得

每一項(xiàng)與常數(shù)0的距離都小于

也說它的極限是

定義2.1(數(shù)列極限的定義)

如果使得當(dāng)時(shí),不等式成立,記作設(shè)為數(shù)列,或稱數(shù)列是無窮小.

則稱當(dāng)時(shí)數(shù)列的極限是0,

如果存在某個(gè)常數(shù)A,使得

則稱當(dāng)時(shí)數(shù)列的極限是A,

或稱數(shù)列收斂于A.

記作如果不存在這樣的常數(shù)A,使得

則稱數(shù)列沒有極限,

或稱數(shù)列發(fā)散.

定理2.1(無窮小比較定理)

證正整數(shù)

n,

由定義,如果存在正數(shù)C,設(shè)則故對(duì)任意的使得對(duì)于所有證及無窮小比較定理,有證及無窮小比較定理,有證及無窮小比較定理,有練習(xí)證明證注意到及無窮小比較定理,

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