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文檔簡介

6.2

微積分基本公式

本節(jié)我們介紹微積分學的基本公式,也稱為牛頓－萊布尼茲公式.它揭示了定積分和原函數之間的聯系,提供了一個簡便有效的計算定積分的方法，促成了微積分方法的大發(fā)展。定理6.1

微積分基本公式則設

在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，是

的一個原函數，牛頓—萊布尼茨公式則定積分記為稱為積分上限函數.是一個關于x的函數,設函數在區(qū)間[a,b]上連續(xù),上的一點,并設x為[a,b]積分上限函數的概念或變上限積分.注意:如果

f(x)在[a,b]上連續(xù),則積分上限函數在[a,b]上可導,定理6.2

積分上限函數的基本性質即且有由積分中值定理即證例6.7

設，求

.解令，則

推廣練習例

解這是型未定式,應用洛必達法則及等價無窮小代換來計算.例求極限解這是

型未定式,分析用洛必達法則練習微積分基本公式的證明證設是的一個原函數，而

也是的一個原函數,注意到為了書寫方便牛頓—萊布尼茨公式解例6.8

計算定積分

解例6.9

計算定積分

解例6.10

計算曲線在的平面圖形的面積.上與x軸所圍成面積例6.11

設

,求解解例6.12

計算

原式解因定積分是數值,于是例6.13

設

則等式兩邊在[0,1]上積分,得證令為單調增加函數.證明:只有一個實

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