微積分 第3版 課件 7第五節(jié) 多元函數(shù)的極值

7.5.1無(wú)條件極值7.5多元函數(shù)的極值則稱(chēng)點(diǎn)P0為函數(shù)的極大值點(diǎn)(或極小值點(diǎn)),稱(chēng)為函數(shù)的極大值(或極小值).函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的極值.極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的極值點(diǎn),如果對(duì)于該鄰域內(nèi)異于P0的任意一點(diǎn)P,都有設(shè)多元函數(shù)在點(diǎn)P0的某鄰域內(nèi)有定義,

簡(jiǎn)單函數(shù)的極值是容易判斷的.在(0,0)點(diǎn)取極小值

(也是最小值).在(0,0)點(diǎn)取極大值

(也是最大值).在(0,0)點(diǎn)無(wú)極值.旋轉(zhuǎn)拋物面下半錐面馬鞍面例函數(shù)例函數(shù)例函數(shù)證定理7.6(極值存在的必要條件)則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零:都有必有類(lèi)似地可證不妨設(shè)處有極大值,有說(shuō)明一元函數(shù)處有極大值,設(shè)函數(shù)具有偏導(dǎo)數(shù),且在點(diǎn)處有極值,推廣如果三元函數(shù)具有偏導(dǎo)數(shù),則它在有極值的必要條件為點(diǎn),均稱(chēng)為函數(shù)的駐點(diǎn).極值點(diǎn)仿照一元函數(shù),凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)?如,點(diǎn)的駐點(diǎn),但不是極值點(diǎn).注:駐點(diǎn)定理7.7(極值存在的充分條件)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),處是否取得極值的條件如下:(1)有極值,時(shí),有極大值,時(shí),有極小值;(2)無(wú)極值;(3)可能有極值,也可能無(wú)極值.設(shè)函數(shù)的某鄰域內(nèi)連續(xù),又令說(shuō)明：但z(0,0)=0為極小值,在(0,0)點(diǎn)處均有對(duì)于函數(shù)與而u(0,0)=0不是極值.求函數(shù)極值的一般步驟:第一步:解方程組求出實(shí)數(shù)解,得駐點(diǎn).第二步:對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B、C.再判定是否是極值.第三步:定出的符號(hào),例1求函數(shù)的極值.解令又在(0,0)處,

在(1,1)處,

故故在(0,0)無(wú)極值;在

(1,1)有極小值,得駐點(diǎn)解方程兩邊分別對(duì)x,y求偏導(dǎo)數(shù),得得駐點(diǎn)方程組兩邊再分別對(duì)x,y求偏導(dǎo)數(shù),練習(xí)求由方程令確定的函數(shù)的極值.故函數(shù)在P有極值.代入原方程,為極小值;為極大值.所以,所以,取得.然而,如函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)不存在,這些點(diǎn)當(dāng)然不是駐點(diǎn),但也可能是極值點(diǎn).如:函數(shù)不存在,但函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處都具有極大值.在研究函數(shù)的極值時(shí),除研究函數(shù)的駐點(diǎn)外,由極值的必要條件知,極值只可能在駐點(diǎn)處在點(diǎn)(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)注:還應(yīng)研究偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).并無(wú)其他條件.無(wú)條件極值:對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外,條件極值:對(duì)自變量有附加條件的極值.7.5.2條件極值拉格朗日乘數(shù)法解例2某廠要用鐵皮制成容積一定的無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子，問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)尺寸才能使用料最??？設(shè)盒子底邊長(zhǎng)、寬、高分別為此盒子所用材料面積為則容積為得駐點(diǎn)由條件解出代入上式化為函數(shù)令故當(dāng)盒子長(zhǎng)、寬、高都為

時(shí)用料最省.上例的極值問(wèn)題也可以看成是求三元函數(shù)的極值,要受的限制,這便是一個(gè)條件極值問(wèn)題.目標(biāo)函數(shù)約束條件目標(biāo)函數(shù)中化為無(wú)條件極值.

有時(shí)條件極值可通過(guò)將約束條件代入但在一般情形甚至是不可能的.

下面要介紹解決條件極值問(wèn)題的一般下,這樣做是有困難的,方法——拉格朗日乘數(shù)法到條件拉格朗日乘數(shù)法:在條件要求函數(shù)下的可能極值點(diǎn),先構(gòu)造函數(shù)為某一常數(shù),其中可由解出其中(x,y)就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo).其中

均為常數(shù),可由偏導(dǎo)數(shù)為零及條件解出即得極值點(diǎn)的坐標(biāo).下的極值.例如,求函數(shù)在條件先構(gòu)造函數(shù)拉格朗日乘數(shù)法可推廣:或約束條件多于兩個(gè)的情況.自變量多于兩個(gè)解由題意，目標(biāo)函數(shù)為作拉格朗日函數(shù)約束條件為