微積分 第3版 課件 第三章 導數(shù)與微分

問題1

平面曲線的切線及切線的斜率

3.1導數(shù)的概念第三章導數(shù)與微分設(shè)平面曲線Γ

的方程為Γ

上一定點,過點M,N的直線稱為曲線的割線.上一動點,為曲線為曲線其中曲線Γ在點M處的切線.割線MN的斜率為如果當動點N沿曲線Γ

無限趨近于定點M時,割線MN無限的接近于某定直線MT,直線MT就稱為切線MT的斜率為設(shè)為某種商品的總成本函數(shù),表示的是當產(chǎn)量增加一個單位問題2邊際問題為商品產(chǎn)量.

當產(chǎn)量由增加到時，成本的增加量為.時成本的平均變化率，也稱其為產(chǎn)量由增加到時的平均邊際成本.如果極限存在，就稱這個極限值是生產(chǎn)這種商品時在點的邊際成本.如果極限存在,即定義3.1

(導數(shù)的概念)記為或?qū)?shù)也可寫成也稱導數(shù)不存在.如果極限不存在,注:是無窮大,記為關(guān)于導數(shù)的說明：記為都存在,則稱在閉區(qū)間上可導.如果在開區(qū)間內(nèi)可導,且及定理3.1(可導與連續(xù)的關(guān)系)證所以注意:

該定理的逆定理不成立.處切線方程為法線方程為導數(shù)的幾何意義:處的切線方程為處的切線斜率.例3.1求拋物線解所求切線斜率為所求切線方程為法線方程為和法線方程.處的切線方程解練習求處的導數(shù).解練習求函數(shù)的導數(shù).即例3.2設(shè)函數(shù)解即同理解例如,例3.3求函數(shù)即的導數(shù).練習

求函數(shù)的導數(shù).解即特別地,例3.4

求函數(shù)的導數(shù).解即練習求函數(shù)的導數(shù).解即例3.5求曲線解所求切線斜率為所求切線方程為法線方程為和法線方程.處的切線方程例3.6設(shè)某商品的需求函數(shù),

解求邊際需求函數(shù).在經(jīng)濟學中，通常把導數(shù)稱為邊際或邊際函數(shù).例如，如果是成本函數(shù),則是邊際成本.是需求函數(shù),則是邊際需求函數(shù).★2.右導數(shù)單側(cè)導數(shù)1.左導數(shù)

★例3.7討論函數(shù)處的可導性.解因解練習設(shè)求解練習設(shè)曲線在點處有切線

處的可導性處是否有切線?解練習討論函數(shù)不存在,處的連續(xù)性與可導數(shù)性.練習設(shè)函數(shù)解由定理3.2若函數(shù)3.2導數(shù)的計算3.2.1導數(shù)的四則運算法則則它們的和、差、積、商(分母不為零)在點x處均可導,且證(2)由導數(shù)的定義及可導必連續(xù),有

設(shè)推論例3.8設(shè)求解故練習設(shè)求解練習

求的導數(shù).解同理得即例3.9

求的導數(shù).解練習設(shè)解故3.2.2反函數(shù)的求導法則定理3.3設(shè)函數(shù)即:反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù).內(nèi)可導,且有證因為連續(xù),于是,

反函數(shù)的導數(shù)為例3.10求函數(shù)的導數(shù).解同理可得即:

因變量對自變量求導,等于因變量對中間變3.2.3復合函數(shù)的求導法則定理3.4若函數(shù)復合而成,量求導,乘以中間變量對自變量求導(鏈式法則)推廣:解例3.11求函數(shù)的導數(shù).則復合函數(shù)的導數(shù)為設(shè)解例3.13求函數(shù)的導數(shù).解設(shè)例3.12求函數(shù)的導數(shù).解練習求函數(shù)的導數(shù).解因例3.14求函數(shù)的導數(shù).即導數(shù)基本公式:特別地,特別地,注意:

初等函數(shù)的導數(shù)仍為初等函數(shù).說明:任何初等函數(shù)的導數(shù)都可以按常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導公式和上述求導法則求出;解練習求函數(shù)的導數(shù).解練習求函數(shù)的導數(shù).解例3.15求函數(shù)的導數(shù).解解練習求函數(shù)的導數(shù).練習求函數(shù)的導數(shù).解解練習求函數(shù)的導數(shù).練習求函數(shù)問題:變速直線運動的加速度.3.2.4高階導數(shù)變化率,因加速度a是速度v對時間

t的定義3.2

若導數(shù)存在,的二階導數(shù),記作三階導數(shù)的導數(shù)稱為四階導數(shù),

二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù),記作二階和二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù).

求函數(shù)的高階導數(shù)就是多次連續(xù)地對函數(shù)求規(guī)定:導數(shù),仍應用前面所學的求導方法計算高階導數(shù)．例3.16求下列函數(shù)的n

階導數(shù)反復求導有解(3)同理可得練習設(shè)解練習設(shè)解則練習設(shè)解高階導數(shù)的運算法則萊布尼茲公式設(shè)函數(shù)u和v

具有n階導數(shù),則例3.17設(shè)解由萊布尼茲公式練習設(shè)解因我們并不需要將隱函數(shù)顯化后求導.

1.隱函數(shù)的導數(shù)3.2.5幾種特殊的求導法利用復合函數(shù)的求導法則即可.

而是方程兩邊對x求導,等式仍然成立,將

y視為x的函數(shù),解解得方程兩邊對x求導,例3.18求由Kepler方程確定的隱函數(shù)的導數(shù)例3.19

求方程所確定的隱函數(shù)解解得方程兩邊對x求導,y的導數(shù)方程兩邊對x求導,代入得解得例3.20

求由方程確定的隱函數(shù)y

解解得方程兩邊對x求導,的二階導數(shù)將代入,得練習求方程所確定的隱函數(shù)y解解得方程兩邊對x求導,的導數(shù)練習設(shè)曲線C的方程為解方程兩邊對x求導,所求切線方程為顯然通過原點.法線方程為法線通過原點.練習設(shè)解方程兩邊對x求導,方程(1)兩邊再對x求導,得得得代入代入觀察函數(shù)求導方法求出導數(shù).--------對數(shù)求導法適用范圍:2.對數(shù)求導法:多個函數(shù)相乘和冪指函數(shù)的情形.方法:

先在等式兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的例3.21求的導數(shù).解等式兩邊取對數(shù),得上式兩邊對x求導,練習設(shè)解等式兩邊取對數(shù),得上式兩邊對x求導,例3.22求的導數(shù).解等式兩邊取對數(shù),得上式兩邊對x求導,練習設(shè)解等式兩邊取對數(shù),得上式兩邊對x求導,實例:

正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.3.3微分3.3.1微分的定義正方形面積定義3.3(微分定義)則稱注意:對應的增量,增量時;就是切線縱坐標微分的幾何意義當是曲線的縱坐標在點M的附近,切線段MP可近似代替曲線段MN.1.基本微分公式3.3.2微分的運算法則

由導數(shù)的基本公式和求導法則立即得到微分特別地,

特別地,

基本公式和微分法則.

2.函數(shù)四則運算的微分法則特別地,

結(jié)論:無論x是自變量還是中間變量,一階微分形式的不變性3.一階微分的形式不變性的微分形式總是例3.23設(shè)解解練習求由方程解得方程兩邊對x求導,解例3.24

求函數(shù)3.3.3高階微分于是

設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可微分,

則它的把看作的一元函數(shù),

若該函數(shù)在區(qū)間內(nèi)仍可微分,

微分為.

則它的微分為稱為的二階微分,

記為,記,

若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)階可導,

則3.3.4微分在近似計算中的應用當充分小時,利用微分可以將一些復雜的計算公式用簡單的或近似公式來代替，使某些復雜計算得到簡化.或解例3.25在附近求函數(shù)的近似式,并近似計算.解例3.26求的近似值.解例3.27求的近似值.例1設(shè)解1第三章導數(shù)與微分習題課典型例題例1設(shè)解2其中則故解例2若函數(shù)求例3設(shè)解等式兩邊取對數(shù),得例4設(shè)解求所確定,例5設(shè)函數(shù)解兩邊取對數(shù)所確定,求例6問a何值時,拋物線解由題意所求切線方程為相切,求出切點與切線方程.解得切點為例7設(shè)解討論不存在,故例8求過點解所求切線斜率為切點為所求切線方程為由解出即解方程兩邊對x求導,有所求切線斜率為所求切線方程為即例9求曲線處的切線方程.解得解設(shè)例10利用微分求的近似值.例11設(shè)函數(shù)解因(2)求處曲線的法線方程.由(2)所求法線方程為即例12設(shè)解