浙江省寧波市五校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

2024學(xué)年第一學(xué)期寧波五校聯(lián)盟期中聯(lián)考高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的．1.已知集合，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用集合交集的運(yùn)算法則即可.【詳解】；.故選：C.2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在上單調(diào)遞減的函數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】AC選項(xiàng)為偶函數(shù)，B選項(xiàng)滿足要求，D選項(xiàng)不滿足單調(diào)性.【詳解】A選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，故，故為偶函?shù)，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，畫出的圖象，滿足既是奇函數(shù)又在0,+∞上單調(diào)遞減，B正確；C選項(xiàng)，的定義域?yàn)镽，且，故為偶函數(shù)，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，在0,+∞上單調(diào)遞增，D錯(cuò)誤.故選：B3.設(shè)命題p：，（其中m為常數(shù)），則“命題p為真命題”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由全稱量詞命題為真命題，求出范圍，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】由命題p為真命題，得，解得，顯然，所以“命題p為真命題”是“”的充分不必要條件.故選：A4.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用排除法，先判斷函數(shù)的奇偶性，再由觀察圖像的變化情況或取特殊值即可得答案【詳解】由為偶函數(shù)可排除A，C；當(dāng)時(shí)，圖象高于圖象，即，排除B；故選：D．【點(diǎn)睛】識(shí)圖常用的方法：（1）定性分析法：通過對(duì)問題進(jìn)行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢，利用這一特征分析解決問題；（2）定量計(jì)算法：通過定量的計(jì)算來分析解決問題；（3）函數(shù)模型法：由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題．5.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【詳解】在上分別為增函數(shù)，減函數(shù)，增函數(shù)，故，.故選：A6.已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)的圖像過定點(diǎn)（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)定義及單調(diào)性得到方程，求出，從而，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得到定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由題意得且，解得，，令得，此時(shí)，故的圖像過定點(diǎn).故選：A7.若函數(shù)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷出函數(shù)為0,+∞上的增函數(shù)，進(jìn)而可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】對(duì)任意的正實(shí)數(shù)、，當(dāng)時(shí)，，不妨設(shè)，則，即，所以，函數(shù)為0,+∞上的增函數(shù)，則，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍，應(yīng)該各支函數(shù)在各自的區(qū)間內(nèi)利用單調(diào)性以及函數(shù)在間斷點(diǎn)處端點(diǎn)值的大小關(guān)系得出參數(shù)的不等式組，從而解得參數(shù)的取值范圍.8.已知，，且，則的最小值為（）A.9 B.10 C.11 D.13【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值，得到答案.【詳解】，且，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.若，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】對(duì)A、B、C：利用作差法分析判斷；對(duì)D：根據(jù)不等式性質(zhì)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，又因?yàn)?，則，可得，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，又因?yàn)?，則，可得，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋忠驗(yàn)?，則，可得，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋?，故D正確；故選：BD.10.下列說法中正確的有（）A.若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)锽.函數(shù)和函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù)C.函數(shù)的值域?yàn)镈.函數(shù)滿足，則【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)，由抽象函數(shù)求定義域方法得到，求出，得到定義域；B選項(xiàng)，兩函數(shù)定義域不同；C選項(xiàng)，換元法得到，，由單調(diào)性求出值域；D選項(xiàng)，方程思想求解函數(shù)解析式，得到，與題目條件聯(lián)立求出答案.【詳解】A選項(xiàng)，令，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?，A正確；B選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)镽，兩函數(shù)定義域不同，不是同一函數(shù)，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，令，故，故，，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，故，函數(shù)的值域?yàn)椋珻正確；D選項(xiàng)，滿足①，故②，聯(lián)立①②得，D正確.故選：ACD11.函數(shù)在，上有定義，若對(duì)任意，，，有，則稱在，上具有性質(zhì)．設(shè)在，上具有性質(zhì)，下列命題正確有A.在，上的圖象是連續(xù)不斷的B.在，上具有性質(zhì)C.若在處取得最大值1，則，，D.對(duì)任意，，，，，有【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件，分別舉出反例，說明A和B都是錯(cuò)誤的；同時(shí)證明C和D是正確的．【詳解】對(duì)A，反例在，上滿足性質(zhì)，但在，上不是連續(xù)函數(shù)，故A不成立；對(duì)B，反例在，上滿足性質(zhì)，但在，上不滿足性質(zhì)，故B不成立；對(duì)C：在，上，，，故，對(duì)任意的，，，，故C成立；對(duì)D，對(duì)任意，，，，，有，，故D成立．故選：CD.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)新定義題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)說明一個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤時(shí)，只需舉出反例即可，說明一個(gè)結(jié)論正確時(shí)，要證明對(duì)所有的情況都成立．非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的定義域?yàn)開_______．【答案】且【解析】【分析】運(yùn)用具體函數(shù)定義的限制條件列不等式組，計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意得到，且，解得且.故答案為：且.13.已知不等式的解集為，則________，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為________.【答案】①.②.【解析】【分析】首先，由不等式的解集可以確定對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出和的值，再對(duì)二次函數(shù)求單調(diào)遞增區(qū)間，需要先求出其定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以和是方程的兩個(gè)根，且，根據(jù)韋達(dá)定理，對(duì)于方程，有，，解得，，此時(shí)函數(shù)，要使函數(shù)有意義，則，解得，令，則，在上單調(diào)遞增，對(duì)于，其對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：；.14.已知函數(shù)，若，，滿足，記，則的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】畫出函數(shù)圖像，結(jié)合二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，找出滿足題意得圖像段，縮小變量范圍，后將M轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的值域問題.【詳解】因?yàn)榈膱D象是將在軸下方部分沿軸翻折得到的.滿足，則直線在如圖所示兩條虛線間上下平移.令，即，解得或.令時(shí)，解得.令，即，解得或.令時(shí)，解得.畫出草圖如下：由，，知，，又因?yàn)?，由函?shù)的對(duì)稱性，此兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，則.令，則，，則，，，對(duì)稱軸為，則在單調(diào)遞減..則的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.計(jì)算：（1）；（2）已知，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用指數(shù)運(yùn)算和根式運(yùn)算法則得到答案；（2）由兩邊平方求出，進(jìn)而兩邊平方求出，代入求解即可.【小問1詳解】．【小問2詳解】由，則有，，所以原式16.已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)和．（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷函數(shù)在區(qū)間0,+∞上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明.【答案】（1）（2）在上為減函數(shù)，證明見解析【解析】【分析】（1）待定系數(shù)法得到方程，求出，，則；（2）定義法證明函數(shù)單調(diào)性步驟，取點(diǎn)，作差，變形判號(hào)，下結(jié)論.小問1詳解】根據(jù)題意函數(shù)的圖象過點(diǎn)和，則，，解得，，則；【小問2詳解】函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減，證明：任取，，設(shè)，則，又因?yàn)?，則，，，，則；所以,故函數(shù)在0,+∞上為減函數(shù).17.已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）已知“”是“”的必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式得到，，再計(jì)算并集得到答案.（2）根據(jù)必要條件得到，考慮，，三種情況，分別計(jì)算得到答案.【小問1詳解】，得，所以.，當(dāng)時(shí)，，.【小問2詳解】因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾獥l件，所以.當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)，即時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，所以，解得.綜上所述：.18.某奶茶店今年年初花費(fèi)16萬元購買了一臺(tái)制作冰淇淋的設(shè)備，經(jīng)估算，該設(shè)備每年可為該奶茶店提供12萬元的總收入.已知使用x年（x為正整數(shù)）所需的各種維護(hù)費(fèi)用總計(jì)為萬元（今年為第一年）.（1）試問：該奶茶店第幾年開始盈利（總收入超過總支出）？（2）該奶茶店在若干年后要賣出該冰淇淋設(shè)備，有以下兩種方案：①當(dāng)盈利總額達(dá)到最大值時(shí)，以1萬元的價(jià)格賣出該設(shè)備；②當(dāng)年均盈利達(dá)到最大值時(shí)，以2萬元的價(jià)格賣出該設(shè)備.試問哪一種方案較為劃算？請(qǐng)說明理由.【答案】（1）從第三年開始盈利.（2）兩種方案盈利總數(shù)一樣，但方案②時(shí)間短，較為劃算.【解析】【分析】（1）列出純收入的函數(shù)表達(dá)式，解純收入大于0的不等式即可.（2）分別計(jì)算兩種方案的盈利和時(shí)間，比較后得結(jié)論.【小問1詳解】由題意可知，總收入扣除支出后的純收入，，解得，由，所以從第三年開始盈利.【小問2詳解】方案①：純收入，則5年后盈利總額達(dá)到最大值9萬元，以1萬元的價(jià)格賣出該設(shè)備，共盈利10萬元；方案②：年均盈利，由，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，，當(dāng)4年后年均盈利達(dá)到最大值2萬元時(shí)，以2萬元的價(jià)格賣出該設(shè)備，共盈利萬元.兩種方案盈利總數(shù)一樣，但方案②時(shí)間短，較為劃算.19.已知函數(shù)，且.（1）判斷函數(shù)的奇偶性；（2）若，試判斷函數(shù)的單調(diào)性.并求使不等式在R上恒成立的的取值范圍；（3）若，且在上的最小值為，求的值.【答案】（1）奇函數(shù)；（2）單調(diào)遞增，；（3）.【解析】【分析】（1）利用奇偶性定義判斷即可.（2）由，得，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷的單調(diào)性，再脫去法則“f”，分離參數(shù)借助基本不等式求出最小值即得.（3）求出值，再換元并構(gòu)造函數(shù)，求出新函數(shù)的定義域，再結(jié)合二次函數(shù)最值分類討