河南省信陽市羅山縣2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題 含解析

2024-2025學(xué)年普通高中高一上學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)2024年11月11日本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．考生作答時，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將本人的姓名、準(zhǔn)考證號等考生信息填寫在答題卡上，并用2B鉛筆將準(zhǔn)考證號填涂在相應(yīng)位置．2．選擇題答案使用鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚．3．請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效．4．保持卡面清潔，不折疊，不破損．第I卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.已知集合，，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用交集概念計(jì)算.【詳解】因?yàn)?，，所以．故選:B．2.設(shè)，則“”關(guān)于的方程“有實(shí)數(shù)根”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】以為條件，判斷有實(shí)數(shù)根是否成立；以有實(shí)數(shù)根為條件，判斷是否成立，即可選出正確答案.【詳解】解：當(dāng)時，，此時有實(shí)數(shù)根；當(dāng)有實(shí)數(shù)根時，，即.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了命題的充分必要條件的判斷.一般此類問題分為兩步，若，則是的充分條件；若，則是的必要條件.3.下列函數(shù)中，值域?yàn)榈呐己瘮?shù)是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)奇偶性的判斷與值域的求法，逐一分析判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，因?yàn)榈亩x域?yàn)椋源撕瘮?shù)不是偶函數(shù)，故A錯誤；對于B，因?yàn)?，即的值域?yàn)?，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，，顯然值域不為，故C錯誤；對于D，因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，又，所以是值域?yàn)榈呐己瘮?shù)，故D正確.故選：D.4.在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)和的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用一次函數(shù)與冪函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷.【詳解】對于A，由函數(shù)的圖象可知，由的圖象可知且，互相矛盾，故A錯誤；對于B，由函數(shù)的圖象可知，由的圖象可知且，相符，故B正確；對于C，由函數(shù)的圖象可知，由的圖象可知且，互相矛盾，故C錯誤；對于D，由函數(shù)的圖象可知，由的圖象可知且，互相矛盾，故D錯誤.故選：B.5.已知函數(shù)，則的解析式為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)換元法求函數(shù)解析式.【詳解】令，可得.所以，因此的解析式為.故選：D.6.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用分段函數(shù)的單調(diào)性列式求解即可.【詳解】由是上的增函數(shù)，得，解得．所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：C7.設(shè)正實(shí)數(shù)，，滿足，則當(dāng)取得最大值時，的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用可得，根據(jù)基本不等式最值成立的條件可得，代入可得關(guān)于的二次函數(shù)，利用單調(diào)性求最值即可.【詳解】由正實(shí)數(shù)，，滿足，．，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時．，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即的最大值是1．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本不等式的性質(zhì)和二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了最值取得時等號成立的條件，屬于中檔題.8.已知函數(shù)，若不等式的解集為，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式和一元二次方程的關(guān)系結(jié)合韋達(dá)定理即可求出，再分類得到不等式組，解出即可.【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以的兩?shí)數(shù)根分別為和，所以解得所以．令，解得或；令，解得．由，可得或即或則所求解集為．故選:D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的有（）A.命題“，”的否定是“，”B.設(shè)，則“”是“”的必要不充分條件C.命題“”的否定是“，”D.“且”是“且”的充分不必要條件【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)量詞命題的否定可判斷AC；根據(jù)為的真子集可得為的真子集，由充分條件與必要條件的概念可判斷B；根據(jù)不等式的性質(zhì)及充分條件與必要條件的概念可判斷D.【詳解】對于A，命題“，”為全稱量詞命題，所以其否定是“，”，故A錯誤．對于B，由為的真子集得為的真子集，則“”可以推導(dǎo)出“”，但“”不能推導(dǎo)出“”，所以“”是“”的必要不充分條件，故B正確．對于C，“”的否定是“，x2>x”，故C對于D，由“且”可推導(dǎo)出“且”，而對于“且”，取，不滿足“且”，所以“且”是“且”的充分不必要條件，故D正確．故選:BCD．10.若，，且，下列結(jié)論中正確的有（）A.的最大值是 B.的最大值是C.的最小值是8 D.的最小值是【答案】ABD【解析】分析】根據(jù)基本不等式，逐項(xiàng)計(jì)算判斷即可.【詳解】由題意，得，，且．對于A，由，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，則的最大值為，故A正確．對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，所以的最大值為，故B正確．對于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值是9，故C錯誤．對于D，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，則的最小值是，故D正確．故選:ABD．11.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，對于任意給定的正數(shù)，定義函數(shù)，則稱為的“界函數(shù)”.若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.的值域?yàn)镃.在上單調(diào)遞減 D.函數(shù)為偶函數(shù)【答案】BCD【解析】【分析】令求出不等式的解，即可求出的解析式，即可判斷A、B、C，再求出的解析式，畫出圖象，即可判斷D.【詳解】根據(jù)題意，由，解得，，所以，故A錯誤；當(dāng)時，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，所以，即的值域?yàn)?，故B、C正確；因?yàn)椋瑒t的圖象如下所示：由圖可知的圖象關(guān)于軸對稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故D正確；故選：BCD第II卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.為了提高同學(xué)們的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)校舉辦了數(shù)學(xué)、物理兩科競賽.高一年級(包括銜接班)共260名同學(xué)參加比賽，其中兩科都取得優(yōu)秀的有80人，數(shù)學(xué)取得優(yōu)秀但物理未取得優(yōu)秀的有40人，物理取得優(yōu)秀而數(shù)學(xué)未取得優(yōu)秀的有120人，則兩科均未取得優(yōu)秀的人數(shù)為_______.【答案】20【解析】【分析】用韋恩圖進(jìn)行求解，設(shè)集合，集合，全集，再根據(jù)題意進(jìn)行求解【詳解】如圖所示設(shè)兩科均未取得優(yōu)秀的人數(shù)為，則所以兩科均未取得優(yōu)秀的人數(shù)為20人【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)韋恩圖求解具體集合元素的個數(shù)問題，方法相對簡單，關(guān)鍵是能正確表示各集合中元素個數(shù)13.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】先將點(diǎn)代入求出的值，再根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求解即可.【詳解】由冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，得，解得，則，定義域?yàn)椋煽傻门己瘮?shù)．由冪函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減．所以等價于，等價于，解得或．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．14.已知函數(shù)，存在直線與的圖象有4個交點(diǎn)，則_____，若存在實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍是_______________．【答案】①.1②.【解析】【分析】作出分段函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象進(jìn)行分析,第一個填空：當(dāng)時，直線與的圖象有4個交點(diǎn)；第二個填空：當(dāng)時，存在實(shí)數(shù)，滿足，進(jìn)而可得取值范圍，再結(jié)合函數(shù)對稱性從而可得結(jié)論.【詳解】當(dāng)時，令，解得或；令，解得；故可作出的圖象，如圖：由圖可知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以若存在直線與的圖象有4個交點(diǎn)時，如圖：當(dāng)時，直線與的圖象有4個交點(diǎn)；若存在實(shí)數(shù)，滿足，如圖：可知當(dāng)時，存在實(shí)數(shù)，滿足，令，解得，則可得；因?yàn)殛P(guān)于對稱，；同理關(guān)于對稱，；所以，又因?yàn)?，所以，所以的取值范圍?故答案為：1；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：作出分段函數(shù)的圖象是關(guān)鍵，本題考查數(shù)形結(jié)合思想，以及空間想象能力，屬于較難題.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合，．（1）在①，②，③三個條件中任選一個，作為下面問題的條件，并解答．問題：當(dāng)集合滿足_________時，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答給分．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）選擇①②③，都有，分類討論集合是否為空集，限定出不等式范圍即可得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）分類討論集合是否為空集，得出不等關(guān)系即可得實(shí)數(shù)的取值范圍；【小問1詳解】選擇①，由可得，當(dāng)時，，解得當(dāng)時，，解得．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．選擇②，由可得，當(dāng)時，，解得當(dāng)時，，解得．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．選擇③，由可得．當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，解得，綜上，實(shí)數(shù)取值范圍為.【小問2詳解】當(dāng)時，由，解得，符合題意當(dāng)時，或，解得；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．16.已知命題“，方程有實(shí)根”是真命題.（1）求實(shí)數(shù)m的取值集合A；（2）關(guān)于x的不等式組的解集為B，若“”是“”的充分不必要條件，求a的取值范圍.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）利用判別式大于等于0可求解；（2）根據(jù)題意可得是的真子集，討論的范圍求解即可.【小問1詳解】因?yàn)槊}“，方程有實(shí)根”是真命題，所以方程有實(shí)根，則有，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值集合.【小問2詳解】若“”是“”的充分不必要條件，則是的真子集，當(dāng)即時，不等式組無解，所以，滿足題意；當(dāng)即時，不等式組的解集為，由題意是的真子集，所以，所以.綜上，滿足題意的a的取值范圍是或.17.已知．（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；（3）若對任意的，都有，求實(shí)數(shù)的最小值．【答案】（1）（2）奇函數(shù)，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用方程組法構(gòu)造方程組即可得的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義直接判斷即可得出結(jié)果；（3）利用基本不等式求出兩函數(shù)的最值，再根據(jù)恒成立問題即可得出結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)?，①所以，②?lián)立①2-②得．【小問2詳解】函數(shù)是奇函數(shù)．因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且滿足，所以是奇函數(shù).小問3詳解】當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以．易知當(dāng)時，，且．由（2）知，是奇函數(shù)，則是奇函數(shù)．所以當(dāng)時，,所以函數(shù)的值域?yàn)?，即，．因?yàn)閷θ我獾亩加?，所以．所以的最小值是?8.某企業(yè)積極響應(yīng)國家垃圾分類號召，在科研部門的支持下進(jìn)行技術(shù)創(chuàng)新，把廚余垃圾加工處理為可重新利用的化工品，已知該企業(yè)日加工處理量x（噸）最少為70噸，最多為120噸，日加工處理總成本y（元）與日加工處理量x之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為，且每加工處理1噸廚余垃圾得到的化工產(chǎn)品的售價為100元.（1）該企業(yè)日加工處理量為多少噸時，日加工處理每噸廚余垃圾的平均成本最低？此時該企業(yè)處理1噸廚余垃圾處于虧損還是盈利狀態(tài)？（平均成本=）（2）為了該企業(yè)可持續(xù)發(fā)展，政府決定對該企業(yè)進(jìn)行財(cái)政補(bǔ)貼，補(bǔ)貼方式有兩種方案方案一：每日進(jìn)行定額財(cái)政補(bǔ)貼，金額為2300元；方案二：根據(jù)日加工處理量進(jìn)行財(cái)政補(bǔ)貼，金額為40x元.如果你是企業(yè)的決策者，為了獲得每日最大利潤，你會選擇哪個方案進(jìn)行補(bǔ)貼？為什么？.【答案】（1）80噸，該企業(yè)處理1噸廚余垃圾處于虧損狀態(tài)（2）答案見解析【解析】【分析】（1）列出平均成本后，根據(jù)基本不等式即可判斷；（2）分別算出兩種方案的最大利潤，進(jìn)行比較即可.【小問1詳解】由題意可知，每噸廚余垃圾平均加工成本為當(dāng)且僅當(dāng)，即時，每噸廚余垃圾的平均加工成本最低，因?yàn)椋源藭r該企業(yè)處理1噸廚余垃圾處于虧損狀態(tài).【小問2詳解】若該企業(yè)采用補(bǔ)貼方式①，設(shè)該企業(yè)每日獲利為，因?yàn)?，所以?dāng)噸時，企業(yè)獲得最大利潤，為850元.若該企業(yè)采用補(bǔ)貼方式②，設(shè)該企業(yè)每日獲利為，因?yàn)椋援?dāng)噸時，企業(yè)獲得最大利潤，為1800元.結(jié)論：選擇方案一，當(dāng)日加工處理量為70噸時，可以獲得最大利潤850元；選擇方案二，當(dāng)日加工處理量為100噸時，獲得最大利潤1800元；所以選擇方案二進(jìn)行補(bǔ)貼..19.已知二次函數(shù)滿足，且．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，當(dāng)時，不等式有解，求實(shí)數(shù)取值范圍；（3）當(dāng)時，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象下方，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法根據(jù)函數(shù)值以及關(guān)系式即可