2024-2025學(xué)年新疆烏魯木齊市高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年烏魯木齊市高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊(cè)第一章到第三章3.1．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知直線過點(diǎn)，則直線的傾斜角（）A. B. C. D.2.平行線與間的距離為（）A B. C. D.3.已知圓的圓心為為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.4.已知向量，則在方向上的投影向量的模為（）A B. C. D.5.“”是“方程表示橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.在空間四邊形中，，，，且，，則（）A. B.C. D.7.某手機(jī)信號(hào)檢測(cè)設(shè)備監(jiān)測(cè)范圍是半徑為的圓形區(qū)域，一名人員持手機(jī)以每分鐘的速度從設(shè)備正東的處沿西偏北方向走向位于設(shè)備正北方向的處，則這名人員被持續(xù)監(jiān)測(cè)的時(shí)長約為（）A.2分鐘 B.3分鐘 C.4分鐘 D.5分鐘8.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn)且與橢圓相交于、兩點(diǎn)，若、恰為線段的三等分點(diǎn)，則橢圓的離心率為（）A B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知橢圓，則（）A.橢圓的長軸長為 B.橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為C.橢圓的短半軸長為6 D.橢圓的離心率為10.空間內(nèi)有四點(diǎn)，則（）A.點(diǎn)到直線EF的距離為 B.點(diǎn)到直線EF的距離為C.點(diǎn)到平面EFN的距離為 D.點(diǎn)到平面EFN的距離為11.已知圓與直線，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，則下列說法正確的是（）A.若，則直線與圓相切B.若圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則C.若，則D.若，從點(diǎn)向圓引切線，則切線長的最小值是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知直線垂直于直線，且過點(diǎn)，則直線的斜截式方程為_____________；在軸上的截距為_____________．13.經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，則的周長為______.14.在直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，，則與所成角的余弦值為__________.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.求符合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）一個(gè)焦點(diǎn)為，長軸長是短軸長的2倍；（2）經(jīng)過兩點(diǎn).16.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，.（1）判斷直線與是否垂直，并說明理由；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.17.已知直線．（1）證明直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若直線過（1）中的定點(diǎn)，且在軸上的截距與在軸上的截距的絕對(duì)值相等，求直線的方程．18.如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn)，為底面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），且滿足.（1）是否存在點(diǎn)，使得平面？（2）求的取值范圍.（3）求點(diǎn)到直線的距離的最小值.19.已知圓經(jīng)過三點(diǎn)．（1）求圓方程．（2）已知直線與圓交于M，N（異于A點(diǎn)）兩點(diǎn)，若直線的斜率之積為2，試問直線是否經(jīng)過定點(diǎn)？若經(jīng)過，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請(qǐng)說明理由。2024-2025學(xué)年烏魯木齊市高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊(cè)第一章到第三章3.1．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知直線過點(diǎn)，則直線傾斜角（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由兩點(diǎn)求出直線斜率，由斜率求傾斜角.【詳解】設(shè)直線的斜率為，則，即．因?yàn)椋裕蔬x：C2.平行線與間的距離為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由平行線間的距離公式求解即可.【詳解】方程變形為由平行線間的距離公式可得所求距離．故選：A.3.已知圓的圓心為為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】求出圓心的坐標(biāo)以及，并求出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可得出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，所以，所以以為直徑的圓的圓心為，半徑為．故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：D.4.已知向量，則在方向上的投影向量的模為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用投影向量的定義，結(jié)合向量模的意義求解即得.【詳解】由，得，，所以在方向上的投影向量的模為.故選：B5.“”是“方程表示橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】由方程表示橢圓可得，求解可判斷結(jié)論.【詳解】若方程表示橢圓，則，解得且，所以“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件．故選：B.6.在空間四邊形中，，，，且，，則（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】以，，為基底，根據(jù)空間向量的加減運(yùn)算，表示出，即得答案.【詳解】由題意知在空間四邊形中，，，，且，，則，故選：D7.某手機(jī)信號(hào)檢測(cè)設(shè)備的監(jiān)測(cè)范圍是半徑為的圓形區(qū)域，一名人員持手機(jī)以每分鐘的速度從設(shè)備正東的處沿西偏北方向走向位于設(shè)備正北方向的處，則這名人員被持續(xù)監(jiān)測(cè)的時(shí)長約為（）A.2分鐘 B.3分鐘 C.4分鐘 D.5分鐘【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件，建立平面直角坐標(biāo)系，求出直線及圓的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式及圓的弦長公式求解即得.【詳解】以設(shè)備的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，其正東、正北方向分別為軸、軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則直線，即，圓，記從處開始被監(jiān)測(cè)，到處監(jiān)測(cè)結(jié)束，點(diǎn)到直線的距離為，則，所以被監(jiān)測(cè)的時(shí)長為分鐘.故選：C8.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn)且與橢圓相交于、兩點(diǎn)，若、恰為線段的三等分點(diǎn)，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】不妨設(shè)切點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第一象限，記橢圓的左焦點(diǎn)為，連接、，利用中位線的性質(zhì)可求出，可得出，利用橢圓的定義求出，利用勾股定理可求得的值，進(jìn)而利用橢圓的離心率公式可求得該橢圓的離心率的值.【詳解】不妨設(shè)切點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第一象限，記橢圓的左焦點(diǎn)為，連接、，由圓的幾何性質(zhì)可知，易知、分別為、的中點(diǎn)，則，且，所以，，由橢圓的定義可得，由勾股定理可得，即，整理可得，可得，因此，該橢圓的離心率為，故選：A.方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知橢圓，則（）A.橢圓的長軸長為 B.橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為C.橢圓的短半軸長為6 D.橢圓的離心率為【正確答案】AD【分析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析其性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)?，且橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以橢圓的長軸長為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，短半軸長為3，離心率．故選：AD.10.空間內(nèi)有四點(diǎn)，則（）A.點(diǎn)到直線EF的距離為 B.點(diǎn)到直線EF的距離為C.點(diǎn)到平面EFN的距離為 D.點(diǎn)到平面EFN的距離為【正確答案】AD【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面的距離.【詳解】因?yàn)椋訣F的一個(gè)單位方向向量為．因?yàn)?，所以點(diǎn)到直線EF的距離為．設(shè)平面EFN的法向量為，因?yàn)?，所以令，得．因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面EFN的距離為．故選:AD.11.已知圓與直線，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，則下列說法正確的是（）A.若，則直線與圓相切B.若圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則C.若，則D.若，從點(diǎn)向圓引切線，則切線長的最小值是【正確答案】BC【分析】利用圓心到直線距離與半徑的關(guān)系可判斷A錯(cuò)誤；由圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱可得直線過圓心，圓心坐標(biāo)代入直線方程可得選項(xiàng)B正確；由題意可知的最小值為圓心到直線的距離減去半徑，選項(xiàng)C正確；由切線得垂直，根據(jù)勾股定理表示切線長，可知當(dāng)最小時(shí)，切線長最小，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離求解可知選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【詳解】A.由題意得，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑.∴圓心到直線的距離，∴直線與圓相離，故A不正確.B.若圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則直線經(jīng)過圓的圓心，∴，解得，故B正確.C.若，則圓心到直線的距離，∴，故C正確.D.若，從點(diǎn)向圓引切線，設(shè)一個(gè)切點(diǎn)為，連接，則，如圖所示，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)取得最小值，即，故D不正確.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知直線垂直于直線，且過點(diǎn)，則直線的斜截式方程為_____________；在軸上的截距為_____________．【正確答案】①.②.【分析】根據(jù)互相垂直直線之間的斜率關(guān)系，求出斜率，點(diǎn)斜式得出直線方程，求截距即可.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的斜率為2．因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以直線的方程為，即，故直線的斜截式方程為，令，解得，所以在軸上的截距為．故；13.經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，則的周長為______.【正確答案】【分析】根據(jù)橢圓定義即可得結(jié)果.【詳解】由題意可知：，因?yàn)?，所以的周長為.故答案為.14.在直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，，則與所成角的余弦值為__________.【正確答案】##【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出線線角的余弦值.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，于是，所以與所成角的余弦值為.故答案：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.求符合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）一個(gè)焦點(diǎn)為，長軸長是短軸長的2倍；（2）經(jīng)過兩點(diǎn).【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)題意可得，結(jié)合求得，即可得方程；（2）設(shè)橢圓的方程為，代入點(diǎn)運(yùn)算即可.【小問1詳解】由題意知，因?yàn)椋?，解得，且焦點(diǎn)在軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】設(shè)橢圓的方程為.因?yàn)闄E圓經(jīng)過兩點(diǎn)，則，解得故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.16.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，.（1）判斷直線與是否垂直，并說明理由；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.【正確答案】（1）和不垂直，理由見詳解；（2）【分析】（1）根據(jù)已知條件可設(shè)，計(jì)算出，的值，從而證明到，再由可證平面；所以建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量和，將判斷直線是否垂直轉(zhuǎn)化為判斷向量是否垂直，即可得證.（2）在第一問的基礎(chǔ)上，分別求出平面與平面的法向量，利用公式計(jì)算可得平面與平面的夾角的余弦值.【小問1詳解】和不垂直，理由如下：設(shè)，則，在中，，所以為等邊三角形，所以，因?yàn)椋?，所以，從而，所以在直角中，，，又因?yàn)?，所以，所以在中，滿足，故為直角三角形，則；又因?yàn)?，，所以平面；因?yàn)椋?，所以，故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，；所以，，，，，所以，，所以，所以不成立，故和不垂直.【小問2詳解】由（1）可知，，，所以平面，故為平面的一個(gè)法向量；又，，設(shè)平面的法向量，所以，即，取，則，，故，設(shè)平面與平面的夾角為，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為.17.已知直線．（1）證明直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若直線過（1）中的定點(diǎn)，且在軸上的截距與在軸上的截距的絕對(duì)值相等，求直線的方程．【正確答案】（1）證明見解析，（2）或或【分析】（1）整理方程為，然后解方程組可得答案；（2）分截距為0與截距不為0兩種情況計(jì)算可求得直線的方程．【小問1詳解】將直線的方程整理為，所以直線過直線與的交點(diǎn)，聯(lián)立方程組，解得，所以直線過定點(diǎn)，其坐標(biāo)．【小問2詳解】①當(dāng)截距為0時(shí)，直線的方程為，即．②當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，則，解得或若，則直線的方程為，即；若，則直線的方程為．故直線的方程為或或．18.如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn)，為底面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），且滿足.（1）是否存在點(diǎn)，使得平面？（2）求的取值范圍.（3）求點(diǎn)到直線的距離的最小值.【正確答案】（1）存在，（2）（3）【分析】（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面法向量，設(shè)，利用，及即可求出點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由（1）知，利用模長公式結(jié)合二次函數(shù)求值域即可求解；（3）取中點(diǎn)為，則點(diǎn)軌跡為線段，所以點(diǎn)到直線的距離的最小值就是異面直線與的距離，利用向量法求出異面直線與的距離即可.【小問1詳解】如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，，，設(shè)平面的法向量為，則，可取，設(shè)，所以，