醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)直線回歸分析

直線回歸分析主要內(nèi)容直線回歸方程的建立直線回歸的統(tǒng)計(jì)推斷直線回歸的應(yīng)用直線回歸需注意的問(wèn)題直線回歸與直線相關(guān)的聯(lián)系與區(qū)別醫(yī)學(xué)領(lǐng)域里常常需要研究?jī)蓚€(gè)變量之間的關(guān)系，例如：人的身高與體重，體溫與脈搏次數(shù)，年齡與血壓，藥劑量與療效，體表面積與肺活量，身高與臂長(zhǎng)……兩變量關(guān)系的密切程度可以用直線相關(guān)衡量；兩變量的數(shù)量變化關(guān)系可以用直線回歸衡量。直線回歸（linearregression）用來(lái)研究?jī)蓚€(gè)連續(xù)型變量之間數(shù)量上的線性依存關(guān)系。因變量(dependentvariable)常用y表示自變量(independentvariable)常用x表示直線回歸概念例14.1某研究欲探討男性腰圍與腹腔內(nèi)脂肪面積的關(guān)系，對(duì)20名男性志愿受試者測(cè)量其腰圍(cm)，并采用磁共振成像法測(cè)量其腹腔內(nèi)脂肪面積(cm2)，結(jié)果如表14.1所示。試建立腹腔內(nèi)脂肪面積和腰圍的直線回歸方程。為了直觀了解腹腔內(nèi)脂肪面積與腰圍的關(guān)系，以這20名男性志愿者的腰圍為橫坐標(biāo)，腹腔內(nèi)脂肪面積為縱坐標(biāo)繪制散點(diǎn)圖01圖14.1兩變量直線回歸關(guān)系散點(diǎn)圖02腹腔內(nèi)脂肪面積(cm2)03腰圍(cm)函數(shù)關(guān)系：自變量取某一數(shù)值時(shí)，應(yīng)變量有一個(gè)完全確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，如：y=2x+1回歸關(guān)系：變量間雖然存在一定的關(guān)系，但關(guān)系不是十分確定，如本例。0102函數(shù)關(guān)系與回歸關(guān)系為自變量的取值為當(dāng)取某一值時(shí)應(yīng)變量y的平均估計(jì)值為截距(intercept)，即當(dāng)時(shí)y的平均估計(jì)值b為回歸系數(shù)(regressioncoefficient)，表示改變一個(gè)單位時(shí)y的平均改變量。直線回歸方程：P2P10a=0P3a<00：每增加（減少）一個(gè)觀測(cè)單位，增加（減少）b個(gè)單位。0b<0：每增加（減少）一個(gè)觀測(cè)單位，減少（增加）|b|個(gè)單位。b<0b=0：與沒(méi)有直線回歸關(guān)系。b=0回歸方程的估計(jì)原理：最小二乘法(leastsquaremethod)各實(shí)測(cè)點(diǎn)到直線的縱向距離平方之和達(dá)到最小計(jì)算公式其中本例

故所求回歸方程為：01樣本回歸系數(shù)b02總體回歸系數(shù)β03對(duì)β的兩種假設(shè)檢驗(yàn)方法：方差分析法t檢驗(yàn)法直線回歸的統(tǒng)計(jì)推斷方差分析法總變異的分解即：：總離均差平方和（不考慮回歸關(guān)系的總變異）：回歸平方和（總變異中可以用回歸關(guān)系所解釋的部分。值越大，說(shuō)明回歸效果越好。）釋的部分—隨機(jī)誤差）：殘差平方和（總平方和中無(wú)法用回歸關(guān)系解0102030405自由度的分解構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量方差分析表來(lái)源平方和SS自由度

均方MS統(tǒng)計(jì)量F總

總=n-1回歸

回=1MS回=SS回/1MS回/MS殘殘差

殘=n-2MS殘=SS殘/(n-2)本例建立檢驗(yàn)假設(shè)，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量單擊此處添加大標(biāo)題內(nèi)容logo3.確定P值，作出統(tǒng)計(jì)推斷P<0.01，按照0.05檢驗(yàn)水準(zhǔn)拒絕H0?；貧w方程有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，可以認(rèn)為腹腔內(nèi)脂肪面積與腰圍之間有直線回歸關(guān)系。

01公式：

02其中：t檢驗(yàn)法本例查t界值表，得P<0.001，結(jié)論與方差分析法一致實(shí)際上：對(duì)同一資料作總體回歸系數(shù)是否為0的假設(shè)檢驗(yàn)，方差分析和t檢驗(yàn)是一致的?？傮w回歸系數(shù)的區(qū)間估計(jì)本例：決定系數(shù)(coefficientofdetermination)反映了回歸貢獻(xiàn)的相對(duì)程度，即在因變量y的總變異中用y與x回歸關(guān)系所能解釋的比例。在實(shí)際應(yīng)用中，常用決定系數(shù)來(lái)反映回歸的實(shí)際效果。本例決定系數(shù)為0.581因變量總體條件均數(shù)的置信區(qū)間估計(jì)應(yīng)變量個(gè)體y值的預(yù)測(cè)區(qū)間直線回歸分析的應(yīng)用點(diǎn)估計(jì)：是在給定x=xp下的條件平均值的點(diǎn)估計(jì)的1-α的置信區(qū)間估計(jì)：其中：總體條件均數(shù)的置信區(qū)間估計(jì)對(duì)于給定的x=xp，y值的預(yù)測(cè)區(qū)間計(jì)算公式為：其中：010203應(yīng)變量個(gè)體y值的預(yù)測(cè)區(qū)間二者的區(qū)別(置信帶和預(yù)測(cè)帶）直線回歸分析需注意的問(wèn)題回歸分析前應(yīng)繪制散點(diǎn)圖（必需有直線趨勢(shì)時(shí)，才適宜作直線回歸分析。應(yīng)注意資料有無(wú)離群點(diǎn)（outlier）及離群點(diǎn)的處理。模型假設(shè)條件的考察（殘差圖）反映自變量對(duì)應(yīng)變量數(shù)量上影響大小的是回歸系數(shù)，而非P值。0102內(nèi)插與外推結(jié)果的解釋及正確應(yīng)用直線回歸與直線相關(guān)分析的聯(lián)系與區(qū)別01對(duì)于服從雙變量正態(tài)分布的同一組數(shù)據(jù)，既可作直線相關(guān)分析又可作直線回歸分析，相關(guān)系數(shù)與回歸系數(shù)正負(fù)號(hào)一致。本例：r=0.762b=2.1102對(duì)于同一樣本，相關(guān)系數(shù)與回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)等價(jià)。tb=tr聯(lián)系對(duì)于服從雙變量正態(tài)分布的同一組資料用回歸可以解釋相關(guān)：資料要求：直線相關(guān)要求雙變量正態(tài)