類型二三角恒等變換與解三角形（原卷版）

類型二三角恒等變換與解三角形【要點(diǎn)提煉】考點(diǎn)一三角恒等變換1．三角求值“三大類型”“給角求值”“給值求值”“給值求角”．2．三角恒等變換“四大策略”(1)常值代換：常用到“1”的代換，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．(2)項(xiàng)的拆分與角的配湊：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．(4)弦、切互化．【熱點(diǎn)突破】【典例】1(1)已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)A1?，??a，B2?，??b，且cosA．15B．55C．2(2)[2021江西紅色七校第一次聯(lián)考]若sIn(α+π6)=13,則sIn(2α+5π6A.79 B.89 C.13【拓展訓(xùn)練】1(1)已知，則=（）A．B．C．D．(2)[2021河南省名校第一次聯(lián)考]已知sIn(απ3)=3cos(απ6),則tan2α=(A.43 B.32 C.43 D.（3）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，則A=_________.（4）已知θ是第四象限角，且＝eq\f(3,5)，則＝________.【要點(diǎn)提煉】考點(diǎn)二正弦定理、余弦定理1．正弦定理：在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R為△ABC的外接圓半徑)．變形：a＝2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.變形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc).3．三角形的面積公式：S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.【熱點(diǎn)突破】考向1求解三角形中的角、邊【典例】2已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過(guò)點(diǎn)P（?3（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β滿足sin（α+β）=513，求cosβ的值考向2求解三角形中的最值與范圍問(wèn)題【典例】3(2021·新高考測(cè)評(píng)聯(lián)盟聯(lián)考)在：①a＝eq\r(3)csinA－acosC，②(2a－b)sinA＋(2b－a)sinB＝2csinC這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問(wèn)題中，并解答．已知△ABC的角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，c＝eq\r(3)，而且________．(1)求角C；(2)求△ABC周長(zhǎng)的最大值．【拓展訓(xùn)練】2(1)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若△ABC的面積為S，且a＝1,4S＝b2＋c2－1，則△ABC外接圓的面積為()A．4πB．2πC．πD.eq\f(π,2)(2)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若A＝3B，則eq\f(a,b)的取值范圍是()A．(0,3)B．(1,3)C．(0,1]D．(1,2](3)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若tanC＝eq\f(12,5)，a＝b＝eq\r(13)，BC邊上的中點(diǎn)為D，則sin∠BAC＝________，AD＝________.專題訓(xùn)練一、單項(xiàng)選擇題1．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的B.存在實(shí)數(shù)α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立C.公式tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ可以變形為tanα+tanβ=tan(α+β)(1D.存在實(shí)數(shù)α,使tan2α=2tanα2．(2020·全國(guó)Ⅲ)已知sinθ＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝1，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(\r(2),2)3．[2021陜西省部分學(xué)校摸底檢測(cè)]數(shù)學(xué)家華羅庚倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法”在各領(lǐng)域都應(yīng)用廣泛,0.618就是黃金分割比m=5-12的近似值,黃金分割比還可以表示成2sin18°,則mA.4 B.5+1 C.2 D.514．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，acosB＋bcosA＝2ccosC，c＝eq\r(7)，且△ABC的面積為eq\f(3\r(3),2)，則△ABC的周長(zhǎng)為()A．1＋eq\r(7) B．2＋eq\r(7)C．4＋eq\r(7) D．5＋eq\r(7)5．[2021云南省部分學(xué)校統(tǒng)一檢測(cè)]已知α為銳角,cosα=35,則tan(π4+A.13 B.12 C.26．已知α∈(0,π2),β∈(0,π2),tanα=cos2βA.α+β=π2 B.αβ=π4 C.α+β=π4 D.α+2二、多項(xiàng)選擇題7．(2020·臨沂模擬)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若b＝2eq\r(3)，c＝3，A＋3C＝π，則下列結(jié)論正確的是()A．cosC＝eq\f(\r(3),3) B．sinB＝eq\f(\r(2),3)C．a(chǎn)＝3 D．S△ABC＝eq\r(2)8．已知0<θ<eq\f(π,4)，若sin2θ＝m，cos2θ＝n且m≠n，則下列選項(xiàng)中與taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))恒相等的有()A.eq\f(n,1＋m)B.eq\f(m,1＋n)C.eq\f(1－n,m)D.eq\f(1－m,n)三、填空題9．(2020·保定模擬)已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1,2)，則eq\f(sin2α－cos2α,1＋cos2α)＝________.10．已知θ∈(0,π),sinθ+cosθ=3-12,則tanθ11．[向量與三角函數(shù)綜合]已知向量a=(sIn2α,1),b=(cosα,1),若a∥b,0<α<π2,則α=12．(2020·山東省師范大學(xué)附中月考)在△ABC中，設(shè)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，記△ABC的面積為S，且4a2＝b2＋2c2，則eq\f(S,a2)的最大值為_(kāi)_______．四、解答題13．(2020·全國(guó)Ⅱ)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC.(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周長(zhǎng)的最大值．14．(2020·重慶