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第04講數(shù)列求和(精講)目錄第一部分:知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分:課前自我評(píng)估測(cè)試第三部分:典型例題剖析題型一:裂項(xiàng)相消求和法題型二:錯(cuò)位相減求和法題型三:分組求和法題型四:倒序相加求和法第四部分:高考真題感悟第一部分:知第一部分:知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶1.公式法(1)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式;(2)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式2.裂項(xiàng)相消求和法:裂項(xiàng)相消求和法就是把數(shù)列的各項(xiàng)變?yōu)閮身?xiàng)之差,使得相加求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消,前項(xiàng)和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和,從而求出數(shù)列的前項(xiàng)和.①②③④⑤3.錯(cuò)位相減求和法:錯(cuò)位相減法求和:如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的,那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用此法來(lái)求.倍錯(cuò)位相減法:若數(shù)列的通項(xiàng)公式,其中、中一個(gè)是等差數(shù)列,另一個(gè)是等比數(shù)列,求和時(shí)一般可在已知和式的兩邊都乘以組成這個(gè)數(shù)列的等比數(shù)列的公比,然后再將所得新和式與原和式相減,轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和.這種方法叫倍錯(cuò)位相減法.4.分組求和法:如果一個(gè)數(shù)列可寫成的形式,而數(shù)列,是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為能夠求和的數(shù)列,那么可用分組求和法.5.倒序相加求和法:即如果一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)中,距首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和都相等,則可使用倒序相加法求數(shù)列的前項(xiàng)和.第二部分:課前自我評(píng)估測(cè)試第二部分:課前自我評(píng)估測(cè)試1.(2022·福建·廈門一中高二階段練習(xí))若數(shù)列滿足,則的前2022項(xiàng)和為(

)A. B. C. D.2.(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)(文))若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+2n-1,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為(

)A.2n+n2-1 B.2n+1+n2-1C.2n+n-2 D.2n+1+n2-23.(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)(文))設(shè),A.4 B.5 C.6 D.104.(2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí))求和:.第三部分:典型例題剖析第三部分:典型例題剖析題型一:裂項(xiàng)相消求和法例題1.(2022·浙江省淳安中學(xué)高二期中)數(shù)列的前2022項(xiàng)和為(

)A. B. C. D.例題2.(2022·河南安陽(yáng)·高二階段練習(xí)(理))已知是遞增的等差數(shù)列,,且,,成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求證:.例題3.(2022·遼寧·沈陽(yáng)市第八十三中學(xué)高二階段練習(xí))已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,,.(1)求、;(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和,求滿足的最小正整數(shù).例題4.(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足:,且成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)令,求證:數(shù)列的前項(xiàng)和.例題5.(2022·河南濮陽(yáng)·高二期末(文))已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,,且,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)已知是,的等比中項(xiàng),求數(shù)列的前項(xiàng)和.例題6.(2022·海南華僑中學(xué)高二期中)設(shè)等比數(shù)列滿足,.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)若,記數(shù)列的前項(xiàng)和為,求的取值范圍.題型二:錯(cuò)位相減求和法例題1.(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))(

)A. B. C. D.例題32.(2022·青海玉樹·高三階段練習(xí)(理))已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列為等比數(shù)列,且,.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.例題3.(2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列,的前項(xiàng)和分別為,,且,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求證:當(dāng)時(shí),.例題4.(2022·寧夏·銀川一中模擬預(yù)測(cè)(文))已知數(shù)列是等差數(shù)列,是等比數(shù)列,且,,,.(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,求.例題5.(2022·遼寧·建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.題型三:分組求和法例題1.(2022·新疆克孜勒蘇·高一期中)數(shù)列,,,,...,,的前項(xiàng)和的值等于(

)A. B.C. D.例題2.(2022·遼寧·沈陽(yáng)市第五十六中學(xué)高二階段練習(xí))數(shù)列{}中,,前和為,則為(

)A.12 B.16 C.10 D.12例題3.(2022·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(文))設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,則_________.例題4.(2022·遼寧·鞍山市華育高級(jí)中學(xué)高二期中)已知數(shù)列是等差數(shù)列,是等比數(shù)列,,,,.(1)求、的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.例題5.(2022·湖北·安陸第一高中高二階段練習(xí))已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列,滿足,,是與的等差中項(xiàng).(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)若,是數(shù)列的前項(xiàng)和,求.例題6.(2022·重慶八中模擬預(yù)測(cè))在等比數(shù)列中,分別是下表第一,第二,第三行中的某一個(gè)數(shù),且中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行341第二行865第三行91216(1)寫出,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項(xiàng)和.題型四:倒序相加求和法例題1.(2022·江西·南城縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)(文))德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名,被譽(yù)為數(shù)學(xué)屆的王子.在其年幼時(shí),對(duì)的求和運(yùn)算中,提出了倒序相加法的原理,該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成;因此,此方法也稱之為高斯算法.現(xiàn)有函數(shù),則等于(

)A. B. C. D.例題2.(2022·江西九江·高二期末(文))德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一,有“數(shù)學(xué)王子”之稱,在歷史上有很大的影響.他幼年時(shí)就表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天才,10歲時(shí),他在進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí),就提出了倒序相加法的原理,該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成,因此,此方法也稱之為高斯算法.已知數(shù)列,則(

)A.96 B.97 C.98 D.99例題3.(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù)滿足,若數(shù)列滿足,則數(shù)列的前20項(xiàng)和為(

)A.100 B.105 C.110 D.115例題4.(2022·遼寧·沈陽(yáng)市第一二〇中學(xué)高二期中)已知定義在上的函數(shù),則___________.例題5.(2022·黑龍江·鶴崗一中高二階段練習(xí))已知函數(shù),數(shù)列為等比數(shù)列,,,則______.例題6.(2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí))已知,求.例題7.(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù),數(shù)列的前項(xiàng)和為,點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上,函數(shù).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求的值;(3)令,求數(shù)列的前2020項(xiàng)和.第四部分:高

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