數(shù)學-甘肅省永昌縣第一高級中學2024-2025學年高二上學期期中考試試題和答案

考生注意:1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分,考試時間120分鐘。2.答題前,考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚。3.考生作答時,請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑;非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效,在試題卷、草稿紙上作答無效。4.本卷命題范圍:湘教版選擇性必修第一冊第1章~第3章第1節(jié)。一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.直線l:2父—3y十1=0和直線m:3父十2y—1=0的位置關(guān)系為A.垂直B.平行C.重合D.相交但不垂直2.已知a是4與6的等差中項'b是—1與—64的等比中項'則a十b=A.13B.—3C.3或—13D.—3或133.兩平行直線l1:2父十4y十1=0'l2:父十2y—2=0之間的距離為 4.已知圓C1:(父—2)2十(y十3)2=16與圓C2:父2十(y—2)2=10相交于A'B兩點'則直線AB的方程為5.若曲線十表示橢圓'則實數(shù)t的取值范圍是A.(2'4)B.(2'3)U(3'4)C.(—∞'2)U(4'十∞)D.(4'十∞)6.已知點P是圓C:父2十y2—4父十6y十12=0上的動點'則點P到直線4父—3y—2=0距離的最小值是A.4B.3C.2D.1【高二期中考試卷●數(shù)學第1頁(共4頁)】25—T—267B7.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn'若S3=4'則S9的最小值為A.6B.5C.4D.38.某市舉辦青少年機器人大賽'組委會設(shè)計了一個正方形場地ABCD(邊長為8米)如圖所示'E'F'G分別是AB'BC'CD的中點'在場地ABCD中設(shè)置了一個半徑為米的圓H'圓H與直線AB相切于點E.比賽中'機器人從F點出發(fā)'經(jīng)過線段AG上一點'然后再到達圓H'則機器人走過的最短路程是二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得。分。9.已知直線l:2父—3Y十1=0'則A.l不過原點B.l在父軸上的截距為C.l的斜率為D.l與坐標軸圍成的三角形的面積為310.已知F1'F2分別是橢圓十的左、右焦點'點P在M上'且PF1=4'sin上F1PF2=的值可能為A.\5B.2C.\3D.\211.已知圓C:(父—2)2十(Y十4)2=9'過點P(—1'5)作圓C的兩條切線PA'PB'切點分別是A'B'則A.|PA|=9B.直線PA'PB的方程為4父十3Y—11=0和4父—3Y十16=0C.四邊形PACB的面積為27三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。12.以點(—1'1)為圓心'且經(jīng)過點A(3'4)的圓的方程是.13.已知數(shù)列{an}的首項為14'且an十1=an十2n十5(n∈N十)'則的最小值為.14.設(shè)F1'F2分別為橢圓十的左、右焦點'過點F1且傾斜角為60。的直線與橢圓C交于A'B兩點'若AB=3F1B'則橢圓C的離心率為.【高二期中考試卷●數(shù)學第2頁(共4頁)】25—T—267B四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.(本小題滿分13分)已知數(shù)列{an}是首項為1的等差數(shù)列'數(shù)列{bn}是公比為3的等比數(shù)列'且a2十b3=30'b2=a4十2.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;(2)求數(shù)列{an十bn}的前n項和Tn.16.(本小題滿分15分)已知A(1'6)'B(—4'7)'C(0'1)'△ABC的外接圓為圓M.(1)求圓M的方程;(2)已知直線l:\3父—y十2\3=0與圓M交于E'F兩點'求△AEF的面積.17.(本小題滿分15分)已知數(shù)列{an}的首項且滿足an十1=(1)求數(shù)列{an}的通項公式;記'求的前n項和sn.【高二期中考試卷.數(shù)學第3頁(共4頁)】25—T—267B18.(本小題滿分17分)已知圓C過M(—1'3)'N(1'1)兩點'且圓心C在直線2父十Y—5=0上.(1)求圓C的方程;(2)設(shè)直線Y=k父十3與圓C交于A'B兩點'在直線Y=3上是否存在定點D'使得直線AD'BD的傾斜角互補?若存在'求出點D的坐標;若不存在'說明理由.19.(本小題滿分17分)已知橢圓十的左頂點、上頂點分別為A'B'離心率為'△oAB(o為坐標原點)的面積為1.(1)求橢圓E的方程;(2)已知過點C(3'0)的直線l交橢圓E于P'Q兩點(點P'Q不在Y軸上)'直線BP'BQ分別交父軸于點M'N'若'且m十n=求直線l的方程.【高二期中考試卷●數(shù)學第4頁(共4頁)】25—T—267B1.A直線l:2父—3y十1=0和直線m:3父十2y—1=0的斜率分別為'—'因為×(—=—1'所以l丄m.故選A.'8'所以a十b=—3或a十b=13.故選D.3.B由題意可知l2:父十2y—2=0可以化為2父十4y—4=0'所以兩平行直線l1'l2之間的距離d=|1—(—4)|\22十424.A圓C1'圓C2的方程可以化為父2十y2—4父十6y—3=0'父2十y2—4y—6=0'將兩圓方程相減'得4父—10y—3=0'即直線AB的方程為4父—10y—3=0.故選A.5.B若曲線t22十=1表示橢圓'則t'解得2<t<4且t≠3'所以實數(shù)t的取值范圍是(2'3)U(3'4).故選B.6.C因為圓C:父2十y2—4父十6y十12=0可化為(父—2)2十(y十3)2=1'所以圓心坐標為C(2'—3)'半徑r=1'因為圓心C到直線4父—3y—2=0的距離d=|4×2—3×(—3)—2|=3>1'所以直線4父—3y—2=0與圓C\42十(—3)2相離'所以點P到直線4父—3y—2=0距離的最小值是3—1=2.故選C.7.D由題意知S3'S6—S3'S9—S6成等比數(shù)列'所以(S6—S3)2=S3(S9—S6)'即(S6—4)2=4(S9—S6)'所以S9=(S—4S6十16)=[(S6—2)2十12]'當S6=2時'S9取得最小值3.故選D.8.A如圖'以點A為原點'以AB'AD分別為父軸'y軸建立平面直角坐標系'則由題意'得A(0'0)'E(4'0)'F(8'4)'G(4'8)'所以AG:y=2父'因為圓H與直線AB相切于點E且半徑為'所以圓H的方程為(父—4)2十(y—2='設(shè)點F關(guān)于直線AG的對稱點為'則'解得'連接F’H'線段F’H分別與AG'圓H交于點M'N'當機器人走過的路線是線段FM'MN時'路程最短'又|FM|十|MN|=|F’N|=|F’H|—所以機器人走過的最短路程是7\—9米.故選A.9.AC因為2×0—3×0十1≠0'所以l不過原點'所以A正確;令y=0'得父=—'所以l在父軸上的截距為—'所以B錯誤;把2父—3y十1=0化為y=父十'所以l的斜率為'所以C正確;把2父—3y十1=0化為—父1十=1'所以直線l與坐標軸圍成的三角形的面積為×—×='所以D錯誤.23【高二期中考試卷.數(shù)學參考答案第1頁(共4頁)】25—T—267B故選AC.10.AC由PF1十PF2=2a=6'PF1=4'得PF2=2.F1F22=4c2= 4(a2—b2)=4(9—b2)'由Sin上F1PF2=\5'得cOS上F1PF2=±.在△F1PF2中'由余弦定理得F1F22=PF12十PF22—2PF1PF2cOS上F1PF2'得b2=5或b2=3'所以b=\或\.故選AC. 11.ACD圓C的圓心為C(2'—4)'半徑為r=3'因為PA丄AC'|PC|=\(—1—2)2十(5十4)2=3\'所以 |PA|=\|PC|2—r2=\=9'故A正確;過P(—1'5)且斜率不存在的直線方程為l1:父=—1'圓心C到直線l1的距離d=3=r'故l1與圓C相切'設(shè)過點P(—1'5)且斜率存在的直線方程為l2:y—5=k(父十1)'即k父y十5十k=0'若l2與圓C相切'則d=|2k2k|=r=3'即k=—'即l2:4父十3y—11=0'所以直線PA'PB的方程為父=—1和4父十3y—11=0'故B錯誤;因為△PAC與△PBC是全等的直角三角形'所以四邊形PACB的面積為2S△PAC=2×|PA|.|AC|=9×3=27'故C正確;因為PC丄AB'所以四邊形PACB的面積為|PC|.|AB|=3\210|AB|=27'解得|AB|=9\510'故D正確.故選ACD. 2十(y—1)2=25由題意'知所求圓的圓心是(—1'1)'半徑為r=\(—13)2十(14)2=5'故所求圓的方程為(父十1)2十(y—1)2=25.13.10當n≥2時'由an十1=an十2n十5'得a2—a1=7'a3—a2=9'…'an—an—1=2n十3'將以上各式左右分別相加'得an—a1=7十9十…十2n十3=(n—1)(十2n十3)=n2十4n—5'所以an=n2十4n十9(n≥2)'又a1=14滿足上式'所以an=n2十4n十9'=n十十4≥2\十4=10'當且僅當n='即n=3時等號成立'故的最小值為10.14.設(shè)F1B=m'由|AB|=3|F1B|'得AF1=2m'由橢圓的定義知BF2=2a—m'AF2=2a—2m'在△AF1F2中'(2a—2m)2=(2m)2十(2c)2—2×2m×2c×'整理得c2—mc=a2—2am①'在△BF1F2中'(2a—m)2=m2十(2c)2—2×m×2c×(—'整理得c2十mc=a2—am②'由②—①'得mc=am'則='故橢圓C的離心率為.15.解:(1)由題意'設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d'由a2十b3=30'b2=a4十2'得1十d十b1×32=30'b1×3=1十3d十2'解得d=2'b1=3.………………3分所以an=1十2(n—1)=2n—1'bn=3×3n—1=3n.…………6分(2)由(1)知an十bn=2n—1十3n'設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為An'則An=(1十2—1)n=n2;…………………9分設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Bn'則Bn==(3n—1).…………12分所以數(shù)列{an十bn}的前n項和Tn=An十Bn=n2十(3n—1).…………13分【高二期中考試卷.數(shù)學參考答案第2頁(共4頁)】25—T—267B(12十62十D十6E十F=0'16.解:(1)設(shè)圓M的方程為父2十y2十D父十Ey十F=0'則〈(—4)2十72十(—4)D十7E十F=0'……………3分(02十12十E十F=0'(D=4'解得〈E=—8'所以圓M的方程為父2十y2十4父—8y十7=0.……………6分(F=7'(2)由父2十y2十4父—8y十7=0'得(父十2)2十(y—4)2=13'所以圓M的圓心為M(—2'4)'半徑r=\'……………………………8分\(\3)2十(—1)2\(\3)十(—1)圓心M到直線l的距離為d1=|—2\3—4十2\3|\(\3)2十(—1)2\(\3)十(—1)又點A到直線l的距離為d2=|\3—十2\3|2=6—\3'……………13分所以△AEF的面積為|EF|.d2=×6×6—\3=18—29\3.……15分17.解:(1)由題意知an≠0'所以由an十1=1an'得a1=1an=十5'所以a1—=5'…………2分又=3'所以是首項為3'公差為5的等差數(shù)列'…………………4分所以=3十5(n—1)=5n—2'即an=2.………………6分(2)由(1)'得bn==(5n—2).2n'………………………8分所以sn=3×21十8×22十13×23十…十(5n—2).2n①'2sn=3×22十8×23十13×24十…十(5n—2).2n十1②'①—②'得—sn=3×21十5(22十23十…十2n)—(5n—2).2n十1=6十5×—(5n—2).2n十1=(7—5n).2n十1—14'……………13分所以sn=(5n—7).2n十1十14.……………15分18.解:(1)由題意得MN的中點E的坐標為(0'2)'直線MN的斜率為—1'………………1分因為CE丄MN'所以直線CE的斜率為1'所以直線CE的方程為y—2=父'即y=父十2'……………3分解方程組y=父十2'y=父十2'2父十y—5=0父=1'故C(1'3)'y=3'…………5分 所以圓C的半徑r=CM=\(1十1)2十(3—3)2=2'所以圓C的方程為(父—1)2十(y—3)2=4.…………………7分(2)由y=K父十3'(父1)2十(y—3)2消去y整理得(1十K2)父2—2父—3=0.……9分=4設(shè)D(t'3)'則KAD=—'KBD=—(KAD'KBD分別為直線AD'BD的斜率).【高二期中考試卷.數(shù)學參考答案第3頁(共4頁)】25—T—267B因為直線AD'BD的傾斜角互補'…………13分所以kAD十kBD=0'即—十—=0'即(y1—3)(父2—t)十(y2—3)(父1—t)=0'十父2)=0'將(*)式代入得—12—12=0'k1(2)=0對任意實數(shù)k恒成立'故t十3=0'解得t=—3'故點D的坐標為(—3'3).所以在直線y=3上存在定點D(—3'3)滿足條件.………17分19.解:(1)因為橢圓E的離心率為\'所以=\'c=\a'b=\=a'………