第一章 集合與常用邏輯用語（考點串講）-人教B版2019必修第一冊高一數(shù)學考點總結

人教B版(2019)必修第一冊數(shù)學

期中考點大串講串講

01第一章集合與常用邏輯用語考場練兵典例剖析010203目

錄考點透視01考點透視(1)集合中元素的三個特性：________、________、________．(2)元素與集合的關系是______或________，用符號____或____表示．(3)集合的表示法：________、________、________．(4)常見數(shù)集的記法集合非負整數(shù)集(或自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號____N*(或N＋)____________考點1．集合與元素考點2.集合間的基本關系(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中______________都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作________(或B?A)．(2)真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且________，就稱集合A是集合B的真子集，記作________(或B

A)．(3)相等：若A?B，且________，則A＝B．(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.空集是__________的子集，是______________的真子集．考點3集合的基本運算表示運算集合語言圖形語言記法并集____________________________交集____________________________補集____________________________考點4.集合的運算性質(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A．(2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A．(3)A∩(?UA)＝?，

A∪(?UA)＝U，

?U(?UA)＝A．

常用結論1．若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個，非空子集有2n－1個，非空真子集有2n－2個．2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB．3．?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．考點5.命題的概念及結構

充分條件與必要條件命題真命題假命題pq真命題p?q充分條件必要條件充分條件必要條件考點6.充要條件p?qq?pp?q充要條件充要條件充要條件p?q充要條件考點7.全稱量詞與全稱量詞命題所有的任意一個?全稱量詞?x∈M，p(x)考點8.存在量詞與存在量詞命題存在一個至少有一個?存在量詞?x∈M，p(x)考點9.全稱量詞命題的否定?x∈M，綈p(x)存在量詞考點10.存在量詞命題的否定?x∈M，

非p(x)全稱量詞考點11.常見詞語的否定形式原詞語否定詞語原詞語否定詞語是不是至少有一個一個也沒有都是不都是至多有一個至少有兩個大于不大于至少有n個至多有(n－1)個小于不小于至多有n個至少有(n＋1)個任意的某個能不能所有的某些等于不等于02典例透析考點透視考點1

集合的概念B考點透視考點1

集合的概念考點透視反思感悟1．研究集合問題時，首先要明確構成集合的元素是什么，即弄清該集合是數(shù)集、點集，還是其他集合；然后再看集合的構成元素滿足的限制條件是什么，從而準確把握集合的含義．2．利用集合元素的限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)時，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性．考點透視考點2集合間的基本關系【例題2】設集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A?B，則a＝(

)B考點透視考點2集合間的基本關系考點透視反思感悟1．判定兩集合關系的方法(1)化簡集合，從表達式中尋找兩集合的關系．(2)用列舉法、圖示法、數(shù)軸表示各個集合，從元素或圖形中尋找關系．2．已知兩個集合間的關系求參數(shù)時，關鍵是將兩個集合間的關系轉化為元素或區(qū)間端點間的關系，進而求得參數(shù)范圍．注意：(1)合理利用數(shù)軸、Venn圖等直觀分析解決問題．(2)求得參數(shù)后，一定要把端點值代入進行驗證，否則易增解或漏解．考點透視考點3集合的運算【例題3】(2023·全國甲卷)設全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，則?U(M∪N)＝(

)A．{x|x＝3k，k∈Z}B．{x|x＝3k－1，k∈Z}C．{x|x＝3k－2，k∈Z}D．

?考點透視考點3集合的運算A因為U＝{x|x＝3k或x＝3k＋1或x＝3k＋2，k∈Z}，所以?U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故選A．考點透視考點4利用集合的運算求參數(shù)的值(范圍)【例題4】設集合A＝{x|m－3＜x＜2m＋6}，B＝{x|log2x＜2}，若A∪B＝A，則實數(shù)m的取值范圍是(

)A．?

B．[－3，－1]C．(－1，3) D．[－1，3]D考點透視考點4利用集合的運算求參數(shù)的值(范圍)考點透視反思感悟1．進行集合運算時，

首先看集合能否化簡，能化簡的先化簡，再研究其關系并進行運算．2．數(shù)形結合思想的應用(1)離散型數(shù)集或抽象集合間的運算，常借助Venn圖求解；(2)連續(xù)型數(shù)集的運算，常借助數(shù)軸求解，運用數(shù)軸時要特別注意端點是實心還是空心．考點透視考點5充分條件的判斷【例題5】給出下列三組命題：(1)p：兩個三角形相似，q：兩個三角形全等；(2)p：一個四邊形是矩形，q：這個四邊形的對角線相等；(3)p：x＋1＝0，q：(x＋1)(x－2)＝0.試分別指出哪些命題中的p是q的充分條件？(2)因為矩形的對角線相等，所以p?q，所以p是q的充分條件．(3)因為由x＋1＝0可得(x＋1)(x－2)＝0，即p?q，所以p是q的充分條件．考點透視考點6必要條件的判斷解考點透視考點7利用充分條件、必要條件求參數(shù)的取值范圍考點透視考點7利用充分條件、必要條件求參數(shù)的取值范圍考點8.

充要條件的判斷解

(1)因為由x≠0推不出x＋|x|>0，如當x＝－1時，x＋|x|＝0，所以pq，所以p不是q的充要條件．(2)若關于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，則a≠0，所以pq，所以p不是q的充要條件．(3)當c＝0時，函數(shù)y＝ax2＋bx的圖象經過原點；當y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象經過原點時，0＝a×02＋b×0＋c，所以c＝0，所以p?q，所以p是q的充要條件．考點透視考點9.

充要條件的證明證明假設p：方程ax2＋bx＋c＝0有一個根是1，q：a＋b＋c＝0.①證明p?q，即證明必要性．∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一個根，∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.

【例題9】(2024·江蘇連云港灌南高級中學高一上第二次月考)求證：關于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根是1的充要條件是a＋b＋c＝0.②證明q?p，即證明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0，∴(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一個根．故關于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根是1的充要條件是a＋b＋c＝0.考點透視考點10.

探求充要條件【例題10】求關于x的方程x2－2mx＋m2－m＋3＝0的兩根都大于2的充要條件．考點透視考點11.

全稱量詞命題與存在量詞命題的識別【例題11】判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并用符號“?”或“?”表示下列命題：(1)圓內接四邊形的對角互補；(2)存在實數(shù)x，滿足x2≥2；(3)有些平行四邊形的對角線不互相垂直；(4)存在實數(shù)a，使函數(shù)y＝ax＋b的值隨x的增大而增大．解：(1)是全稱量詞命題，表示為?圓內接四邊形，其對角互補．(2)是存在量詞命題，表示為?x∈R，x2≥2.(3)是存在量詞命題，表示為?平行四邊形，其對角線不互相垂直．(4)是存在量詞命題，表示為?a∈R，函數(shù)y＝ax＋b的值隨x的增大而增大．考點透視考點12.

全稱量詞命題與存在量詞,命題的真假判斷【例題12】判斷下列命題的真假：(1)任何實數(shù)都有平方根；(2)存在有理數(shù)x，使x2－2＝0；(3)?x∈R，x2－x＋1>0；(4)?x∈Z，3x＋4＝5.考點透視考點13.

含有量詞的命題的應用【例題13】已知命題p：存在x∈R，x2＋3x＋a＝0.若p為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是______________．答案解析考點透視考點14.

全稱量詞命題的否定【例題14】寫出下列命題的否定，并判斷其否定的真假．(1)不論m取何實數(shù)，方程x2＋x－m＝0必有實數(shù)根；(2)等圓的面積相等；(3)每個三角形至少有兩個銳角．考點透視考點14.

全稱量詞命題的否定考點透視考點15存在量詞命題的否定考點透視考點15存在量詞命題的否定考點透視考點16含有量詞命題的否定的應用【例題16】命題“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命題，求實數(shù)a的取值范圍．解：因為命題“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命題，所以此命題的否定“對任意x>a，使得2x＋a≥3”是真命題，因為對任意x>a有2x＋a>3a，所以3a≥3，解得a≥1.所以實數(shù)a的取值范圍為{a|a≥1}．解03考場練兵1．已知a∈{0，1，2，3}，且a?{1，2，3}，則a的值為(

)A．0 B．1C．2 D．3解析：因為a∈{0，1，2，3}，且a?{1，2，3}，所以a的值為0.故選A.3．由大于－3且小于11的偶數(shù)所組成的集合是(

)A．{x|－3<x<11，x∈Z}B．{x|－3<x<11}C．{x|－3<x<11，x＝2k}D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}解析：由題意可知，滿足題設條件的只有D.4．若集合A＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，B＝{x∈R|x＋5>0}，則集合A與B的關系是(

)A．A∈B B．A?BC．B?A D．A＝B解析：∵A＝{y|y≥1}，B＝{x|x>－5}，∴A?B.故選B.5．(2024·江蘇連云港灌南高級中學高一上第二次月考)集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合A滿足A?B，A?C，則滿足條件的集合A的個數(shù)是(

)A．8 B．2C．4 D．1解析：因為A?B，A?C，所以集合A是{a，b}的子集，所以這樣的集合A共有22＝4個．6.(2024·遼寧六校協(xié)作體高一上期中)設集合A＝{1，2}，則滿足A∪B＝{1，2，3}的集合B的個數(shù)是(

)A．1 B．3C．4 D．8解析：因為A＝{1，2}，A∪B＝{1，2，3}，所以B＝{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}．故選C.7．(2024·?？谑械谝恢袑W高一上期中)設集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，則(?RS)∪T＝(

)A．{x|－2<x≤1} B．{x|x≤－4}C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}解析：因為S＝{x|x>－2}，所以?RS＝{x|x≤-2}，又T＝{x|－4≤x≤1}，所以(?RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．8．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，命題“?x∈A，x2－a≤0”是真命題的一個充分不必要條件是(

)A．a≥4 B．a≤4C．a≥5 D．a≤5解析：當該命題是真命題時，只需a≥(x2)max，因為x∈A＝{x|1≤x≤2}，又y＝x2在1≤x≤2上的最大值是4，所以a≥4.因為a≥4a≥5，a≥5?a≥4，故選C.9．已知p：(a＋b)(a－b)＝0，q：a＝b，則p是q的(

)A．充分條件B．必要條件C．既是充分條件也是必要條件D．既不是充分條件也不是必要條件10．(多選)已知集合A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|－2≤x≤2}，則下列關系式正確的是

(

)A．A∩B＝?B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}C．A∪(?RB)＝{x|x≤－1，或x>2}D．A∩(?RB)＝{x|2<x≤3}解析：∵A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|－2≤x≤2}，∴A∩B＝{x|－1<x≤3}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－1<x≤2}，故A不正確；A∪B＝{x|－1<x≤3}∪{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x≤3}，故B正確；∵?RB＝{x|x<－2，或x>2}，∴A∪(?RB)＝{x|－1<x≤3}∪