2025屆高考數(shù)學二輪復習第一部分第6講專題訓練6數(shù)學文化含解析新人教版

PAGE第一部分第6講專題訓練六數(shù)學文化一、選擇題1．二十四節(jié)氣(The24SolarTerms)是指中國農(nóng)歷中表示季節(jié)變遷的24個特定節(jié)令，是依據(jù)地球在黃道(即地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道)上的位置改變而制定的，每一個節(jié)氣分別相應(yīng)于地球在黃道上每運動15°所到達的肯定位置．依據(jù)上述描述，從秋分到小雪相應(yīng)于地球在黃道上運動的度數(shù)為(A)A．60° B．－75°C．45° D．－60°【解析】從秋分到小雪相應(yīng)于地球在黃道上運動的度數(shù)為4×15°＝60°.故選A．2．(2024·中衛(wèi)一模)中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不犯難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公細致算相還．”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從其次天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地．”，則該人最終一天走的路程為(C)A．24里 B．12里C．6里 D．3里【解析】記每天走的路程里數(shù)為{an}，可知{an}是公比q＝eq\f(1,2)的等比數(shù)列，由S6＝378，得S6＝eq\f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,26))),1－\f(1,2))＝378，解得a1＝192，∴a6＝192×eq\f(1,25)＝6．故選C．3．我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九面一，所得開立方除之，即立圓徑．“開立圓術(shù)”相當于給出了已知球的體積V，求其直徑d的一個近似公式d≈eq\r(3,\f(16,9)V).人們還用過一些類似的近似公式，依據(jù)π＝3.14159…推斷，下列近似公式中最精確的一個是(D)A．d≈eq\r(3,\f(16,9)V) B．d≈eq\r(3,2V)C．d≈eq\r(3,\f(300,157)V) D．d≈eq\r(3,\f(21,11)V)【解析】由球體積公式得d＝eq\r(3,\f(6,π)V)≈eq\r(3,1.90986093V).因為eq\f(16,9)≈1.77777778，eq\f(300,157)≈1.91082803，eq\f(21,11)≈1.90909091．而eq\f(21,11)最接近于eq\f(6,π).所以選D．4．(2024·渭南二模)費馬素數(shù)是法國大數(shù)學家費馬命名的，形如2n＋1(n∈N)的素數(shù)(如：21＋1＝3)為費馬素數(shù)，在不超過30的正偶數(shù)中隨機選取一數(shù)，則它能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的概率是(B)A．eq\f(2,15) B．eq\f(1,5)C．eq\f(4,15) D．eq\f(1,3)【解析】在不超過30的正偶數(shù)中隨機選取一數(shù)，基本領(lǐng)件總數(shù)n＝15，能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的只有8＝3＋5,20＝3＋17,22＝5＋17，共有3個，則它能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的概率是P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).故選B．5．《周髀算經(jīng)》是中國古代的天文學和數(shù)學著作．其中一個問題大意為：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣晷長損益相同(即太陽照耀物體影子的長度增加和削減大小相同)．若冬至晷長一丈三尺五寸，夏至晷長一尺五寸(注：一丈等于十尺，一尺等于十寸)，則夏至之后的那個節(jié)氣(小暑)晷長為(B)A．五寸 B．二尺五寸C．三尺五寸 D．一丈二尺五寸【解析】設(shè)晷長為等差數(shù)列{an}，公差為d，a1＝15，a13＝135，則15＋12d＝135，解得d＝10．∴a2＝15＋10＝25，∴夏至之后的那個節(jié)氣(小暑)晷影長是2尺5寸．故選B．6．(2024·中衛(wèi)二模)加強體育熬煉是青少年生活學習中特別重要的組成部分．某學生做引體向上運動，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時，若兩只胳膊的夾角為60°，每只胳膊的拉力大小均為400N，則該學生的體重(單位：kg)約為(B)(參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為g＝10m/s2，eq\r(3)≈1.732)A．63 B．69C．75 D．81【解析】由題意知，|eq\o(F1,\s\up6(→))|＝|eq\o(F2,\s\up6(→))|＝400，夾角θ＝60°，所以eq\o(G,\s\up6(→))＋eq\o(F1,\s\up6(→))＋eq\o(F2,\s\up6(→))＝0，即eq\o(G,\s\up6(→))＝－(eq\o(F1,\s\up6(→))＋eq\o(F2,\s\up6(→)))；所以eq\o(G,\s\up6(→))2＝(eq\o(F1,\s\up6(→))＋eq\o(F2,\s\up6(→)))2＝4002＋2×400×400×cos60°＋4002＝3×4002；|eq\o(G,\s\up6(→))|＝400eq\r(3)(N)，則該學生的體重(單位：kg)約為40eq\r(3)＝40×1.732≈69(kg)，故選B．7．(2024·內(nèi)江三模)劉徽是我國魏晉時期的數(shù)學家，在其撰寫的《九章算術(shù)注》中首創(chuàng)“割圓術(shù)”，所謂“割圓術(shù)”，就是用圓內(nèi)接正多邊形的面積去無限靠近圓的面積并以此求取圓周率的方法．如圖所示，正十二邊形的中心為圓心O，圓O的半徑為2．現(xiàn)隨機向圓O內(nèi)投放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二邊形內(nèi)(a，b∈N*，b<a)，則圓周率的近似值是(B)A．eq\f(3b,a) B．eq\f(3a,b)C．eq\f(a,b) D．eq\f(b,a)【解析】由幾何概型中的面積型可得eq\f(S正十二邊形,S圓)＝eq\f(b,a)，所以eq\f(12×\f(1,2)×2×2×sin30°,4π)＝eq\f(b,a)，即π＝eq\f(3a,b).故選B．8．(2024·湛江二模)我國南北朝時期的數(shù)學家祖暅提出了計算幾何體體積的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”．意思是兩個同高的幾何體，假如在等高處的截面積都相等，那么這兩個幾何體的體積相等．現(xiàn)有某幾何體和一個圓錐滿意祖暅原理的條件，若該圓錐的側(cè)面綻開圖是半徑為3的圓的三分之一，則該幾何體的體積為(A)A．eq\f(2\r(2),3)π B．eq\f(4\r(2),3)πC．4eq\r(2)π D．eq\f(8,3)π【解析】由題意可知，幾何體的體積等于圓錐的體積，∵圓錐的側(cè)面綻開圖恰為一個半徑為3的圓的三分之一，∴圓錐的底面周長為eq\f(2π×3,3)＝2π，故圓錐的底面半徑為1，圓錐的高為2eq\r(2).∴圓錐的體積V＝eq\f(1,3)×π×12×2eq\r(2)＝eq\f(2\r(2),3)π.從而所求幾何體的體積為V＝eq\f(2\r(2),3)π.9．(2024·南寧一模)元朝聞名數(shù)學家朱世杰在《四元玉鑒》中有一首詩：“我有一壺酒，攜著游春走，遇店添一倍，逢友飲一斗，店友經(jīng)三處，沒了壺中酒，借問此壺中，當原多少酒？”用程序框圖表達如圖所示．若將“沒了壺中酒”改為“剩余原壺中eq\f(1,3)的酒量”，即輸出值是輸入值的eq\f(1,3)，則輸入的x＝(C)A．eq\f(3,5) B．eq\f(9,11)C．eq\f(21,23) D．eq\f(45,47)【解析】i＝1時，x＝2x－1；i＝2時，x＝2(2x－1)－1＝4x－3；i＝3時，x＝2(4x－3)－1＝8x－7；i＝4時，退出循環(huán)．此時，8x－7＝eq\f(1,3)x，解得x＝eq\f(21,23).故選C．10．(2024·咸陽模擬)我國古代《九章算術(shù)》將上下兩個平行平面為矩形的六面體稱為芻童．如圖是一個芻童的三視圖，其中正視圖及側(cè)視圖均為等腰梯形，兩底的長分別為2和6，高為2，則該芻童的表面積為(B)A．32eq\r(2) B．40＋32eq\r(2)C．eq\f(104,3) D．72【解析】依據(jù)幾何體的三視圖畫出直觀圖，如圖所示；所以該幾何體的表面積為：S＝6×6＋2×2＋4×eq\f(1,2)×(2＋6)×2eq\r(2)＝40＋32eq\r(2)故選B．11．(2024·濱州二模)趙爽是我國古代數(shù)學家、天文學家，大約在公元222年，趙爽為《周碑算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的)．類比“趙爽弦圖”，可類似地構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，設(shè)AD＝2BD，若在大等邊三角形中隨機取一點，則此點取自小等邊三角形的概率是(A)A．eq\f(1,7) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(4,13)【解析】設(shè)BD＝x，因為△ABC是由3個全等的三角形與中間的等邊三角形構(gòu)成，所以AD＝2x，∠ADB＝120°，由余弦定理可知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos120°，代入可得AB2＝(2x)2＋x2－2×2x·xcos120°，化簡得AB2＝7x2，由三角形面積公式可得S△ABC＝eq\f(\r(3),4)AB2＝eq\f(7\r(3)x2,4)，同理S△DEF＝eq\f(\r(3),4)FD2＝eq\f(\r(3)x2,4)，所以由幾何概型面積類型的概率可得eq\f(S△DEF,S△ABC)＝eq\f(\f(\r(3)x2,4),\f(7\r(3)x2,4))＝eq\f(1,7).故選A．12．(2024·廈門一模)1618年德國物理學家開普勒在《宇宙諧和論》上提出：繞以太陽為焦點的橢圓軌道運行的全部行星，其各自橢圓軌道半長軸長(單位：米)的立方(a3)與它的公轉(zhuǎn)周期(單位：秒)的平方(T2)之比是一個常量，即eq\f(a3,T2)＝k，k＝eq\f(GM,4π2)(其中k為開普勒常數(shù)，M為中心天體質(zhì)量，G為引力常量)．已知地球軌道的半長軸長約為1.5億千米，地球的運行周期約為1年，距離太陽最遠的冥王星軌道的半長軸長約為60億千米，則冥王星的運行周期約為(C)A．150年 B．200年C．250年 D．300年【解析】設(shè)地球的運行周期為T1，半長軸長為a1，冥王星的運行周期為T2，冥王星軌道的半長軸長為a2，由題意可得eq\f(a3,T2)＝k，所以eq\f(a\o\al(3,1),T\o\al(2,1))＝eq\f(a\o\al(3,2),T\o\al(2,2))，由題意可得Teq\o\al(2,2)＝eq\f(603,1.53)×12，所以T2＝80eq\r(10)≈250年，故選C．二、填空題13．《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列．上面4節(jié)的容積共為3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為__eq\f(67,66)__升．【解析】設(shè)該數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，依題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66)))，則a5＝a1＋4d＝eq\f(13,22)＋4×eq\f(7,66)＝eq\f(67,66).14．第24屆國際數(shù)學家大會會標是以我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)進行設(shè)計的．如圖，會標是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形．假如小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較大的銳角為θ，那么tan(θ＋eq\f(π,4))＝__－7__.【解析】依題意得大、小正方形的邊長分別是5,1，于是有5sinθ－5cosθ＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,2)))，即有sinθ－cosθ＝eq\f(1,5).從而(sinθ＋cosθ)2＝2－(sinθ－cosθ)2＝eq\f(49,25)，則sinθ＋cosθ＝eq\f(7,5)，因此sinθ＝eq\f(4,5)，cosθ＝eq\f(3,5)，tanθ＝eq\f(4,3)，故taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(tanθ＋1,1－tanθ)＝－7．15．設(shè)a＞0，b＞0，則eq\f(2ab,a＋b)為a，b的調(diào)和平均數(shù)．如圖，C為線段AB上的點，AC＝a，CB＝b，O為AB的中點，以AB為直徑作半圓．過點C作AB的垂線交半圓于D，連接OD，AD，BD．過點C作OD的垂線，垂足為E.則圖中線段OD的長度是a，b的算術(shù)平均數(shù)，線段CD的長度是a，b的幾何平均數(shù)，線段__DE__的長度是a，b的調(diào)和平均數(shù)．【解析】因為Rt△DEC∽Rt△DCO，所以eq\f(DE,CD)＝eq\f(CD,OD)，從而DE＝eq\f(CD2,OD).依題意可得OD＝eq\f(a＋b,2)，C