三角恒等變換及解三角形-2021屆新高考數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)與題型歸納(解析版)

第12講：三角恒等變換及解三角形考點(diǎn)1：三角恒等變形一、三角恒等變換1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin((2)cos((3)tan(α±β)=tan變形式tanα±2.二倍角公式(1)sin2變形式sinα(2)cos2變形式cos2α=(3)tan23.輔助角公式y(tǒng)=asin其中φ所在的象限由a、b的符號確定，φ角的值由tanφ4.化簡中常用1的技巧“1”的代換1=sin2α+cos2α典例精講【典例1】已知x，y∈R，滿足x2+2xy+4y2＝6，則z＝x2+4y2的取值范圍為（）A．[4，12] B．[4，+∞） C．[0，6] D．[4，6]【分析】x2+2xy+4y2＝6變形為（x+y）2+（3y）2＝6，設(shè)x+y=6cosθ，3y＝sinθ，θ∈[0，2π）．代入z＝x2+4y2【解答】解：x2+2xy+4y2＝6變形為（x+y）2+（3y）2＝6，設(shè)x+y=6cosθ，3y=∴y=2sinθ，x=6cosθ∴z＝x2+4y2＝（6cosθ-2sinθ）+4（2sinθ）＝4sin2θ﹣43＝2×（1﹣cos2θ）﹣23sin2θ+6＝8﹣4sin（2θ+π∵sin（2θ+π∴z∈[4，12]．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、倍角公式、兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．【典例2】已知函數(shù)f（x）＝sin（2x-π3），若方程f（x）=13在（0，π）的解為x1，x2（x1＜x2），則sin（x1A．-223 B．-32 【分析】由已知可得x2=5π6-x1，結(jié)合x1＜x2求得x1的范圍，再由sin（x1﹣【解答】解：∵0＜x＜π，∴2x-π3∈（-π又∵x1，x2是sin（2x-π3）=1∴x2∴sin（x1﹣x2）＝sin（2x1-∵x1＜x2，x2∴0＜x1＜5π12，則2x1-π3∈（-∴sin（x1﹣x2）=-2故選：A．【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，考查y＝Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．【典例3】已知sin2α=23，則A．3 B．2 C．3 D．2【分析】由二倍角化簡，sin2α＝2sinαcosα，可得2sinαcosαsi【解答】解：由sin2α＝2sinαcosα，可得2sinαcosαsi∴2tanαta即tan2α﹣3tanα+1＝0．可得tanα+1故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考察了同角三角函數(shù)關(guān)系式和二倍角公式的應(yīng)用，屬于基本知識的考查．【典例4】已知，，則A． B． C． D．【分析】把已知等式兩邊平方，求得，進(jìn)一步得到的值，聯(lián)立求得，，得到，代入得答案．【解答】解：由，，得，，則，，．聯(lián)立，解得，，．．故選：．【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是中檔題．【典例5】已知-π2＜A．-53 B．-255 【分析】2tanβ＝tan2α，∴2tan（β﹣α+α）=2tanα1-tan【解答】解：∵2tanβ＝tan2α，∴2tan（β﹣α+α）=2tanα∴2tan(β-α)+2tanα1-tan(β-α)tanα∴-16+2tanα1+8tanα化簡得tanα＝﹣2，∴α∈（-π∴sinα=-2故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)，屬中檔題．【典例6】若α∈(π2，π)A．-429 B．429 【分析】利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡已知等式可求cosα+sinα=23①，兩邊平方，解得sin2α=-79，可求cosα﹣sinα【解答】解：∵α∈(π2，π)∴3（cos2α﹣sin2α）=2∴3（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）=2∴cosα+sinα=2∴兩邊平方，可得：1+sin2α=29，解得：sin2α∴cosα﹣sinα=-(cosα-sinα∴由①+②可得：cosα=2-46，可得：cos2α＝2cos2α﹣1＝2×（2-46故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．【典例7】已知，，則．【分析】根據(jù)條件得到，，進(jìn)而求得，，再利用兩角和差公式運(yùn)算即可【解答】解：，則有，兩邊平方可得：，則，即有又因?yàn)椋?，，則，（法一）將與聯(lián)立后解得，，則，所以．（法二）因?yàn)?，所以．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查兩角和差的三角函數(shù)的求值，涉及方程思想，屬于中檔題【典例8】已知，是函數(shù)在，上的兩個(gè)零點(diǎn)，則A． B． C． D．0【分析】利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，同角的三角函數(shù)的關(guān)系以及兩角和差的三角公式分別進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：解法一：依題意，，故，由，得，且，所以，是方程的兩個(gè)異根．同理可證，，為方程的兩個(gè)異根．可以得到，理由如下：假設(shè)，則，又，，，則，這與已知相悖，故．從而，為方程的兩個(gè)異根，故．同理可求，所以．解法二：令，得．令，即，則，即為與直線在，上交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖象可知，，故，又，所以．解法三：依題意，不妨設(shè)，則點(diǎn)，為直線與單位圓的兩個(gè)交點(diǎn)，如圖所示．取中點(diǎn)為，則，記．則，所以，．另一方面，，，故，從而．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查三角函數(shù)值的計(jì)算，利用函數(shù)與方程的關(guān)系，以及利用三角函數(shù)輔助角公式，同角關(guān)系以及兩角和差的三角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．難度中等．

考點(diǎn)2：解三角形一、三角形當(dāng)中的角與角之間的關(guān)系1.A+B+C=π2.sinA3.cosA4.tanA二、正弦定理1.正弦定理：asinA=2.正弦定理變形式：(1)sinA=a2R(2)a:b:c=3.正弦定理的應(yīng)用(1)已知兩角和任意一邊，求另一角和其它的兩條邊(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其中的對角三、余弦定理1.余弦定理：a2b2c22.余弦定理變形式：cosAcosBcosC3.余弦定理的應(yīng)用(1)已知三邊，求各角(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三個(gè)邊和其它的兩個(gè)角(3)已知兩邊和其中一邊的對角，求其它的角和邊．四、面積公式1.SΔ=12aha=12bhb2.S3.S4.SΔ=

典例精講【典例1】在△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c．已知b=35，c=62，tan（A+π4）＝2，則A．15 B．35 C．3 D．【分析】先根據(jù)已知可得cosA的值，再根據(jù)余弦定理可得a．【解答】解：由tan（A+π4）=tanA+11-tanA=2，解得tanA由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝45+72﹣3610×∴a＝3．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了余弦定理，屬中檔題．【典例2】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，且BD＝2DC，∠DAC＝30°，AD＝2，△ABC的面積為33，則線段ABA．3 B．22 C．23 【分析】由已知可求△ADC的面積為3，利用三角形的面積公式可求AC＝23，根據(jù)余弦定理在△ACD中可求CD＝2，由已知可求∠C＝30°，BD＝4，在△ABC中，根據(jù)余弦定理即可解得AB的值．【解答】解：∵BD＝2DC，∠DAC＝30°，AD＝2，△ABC的面積為33∴△ADC的面積為3，可得：12∴解得：AC＝23，∵△ACD中，CD2＝12+4﹣2×23∴解得CD＝2，∵∠DAC＝30°，AD＝2，BD＝2DC，∴∠C＝30°，BD＝4，∴在△ABC中，AB2＝（23）2+62﹣2×23×6×cos30°＝12，解得：AB＝2故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形的面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，注重考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化的思想方法，本題的難點(diǎn)在于將△ABC的面積轉(zhuǎn)化為△ADC的面積，這樣才能把已知條件轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中，再根據(jù)正弦定理，余弦定理得出相應(yīng)的邊長，屬于中檔題．【典例3】在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c若sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝﹣sinBsinC，cb=12A．2 B．12 C．2+23【分析】由條件利用正弦定理可得b2+c2﹣a2＝﹣bc，再由余弦定理可得cosA=-12，可得A＝60°，利用正弦函數(shù)，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式從而求得tan【解答】解：在△ABC中，由sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝﹣sinBsinC，利用正弦定理可得：a2﹣b2﹣c2＝﹣bc，再由余弦定理可得：cosA=b∴A＝60°，∵cb=12+3，由正弦定理可得：sin可得：sin（2π3-B）＝sinB（12+3），32cosB+12sin∴可得：tanB=1故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)的值求角．【典例4】如圖所示，在一個(gè)坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25m的建筑物CD，為了測量該山坡相對于水平地面的坡角θ，在山坡的A處測得∠DAC＝15°，沿山坡前進(jìn)50m到達(dá)B處，又測得∠DBC＝45°，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cosθ＝3-1【分析】先在△ADB中用正弦定理求得BD，再在△DBC中用正弦定理求得sin∠DCB，然后根據(jù)∠DCB＝θ+π【解答】解：∵∠DAC＝15°，∠DBC＝45°，∴∠ADB＝30°，在△ADB中，由正弦定理得：ABsin∠ADB=BDsin∠DAB，∴BD在△DBC中，CD＝25，∠DBC＝45°，BD＝25（6-2），由正弦定理BDsin∠DCB=∴sin（θ+π2）=3故答案為：3-1【點(diǎn)評】本題考查了正弦定理以及誘導(dǎo)公式，屬中檔題．【典例5】如圖所示，為了測量，處島嶼的距離，小明在處觀測，，分別在處的北偏西、北偏東方向，再往正東方向行駛40海里至處，觀測在處的正北方向，在處的北偏西方向，則，兩處島嶼間的距離為A．海里 B．海里 C．海里 D．40海里【分析】分別在和中利用正弦定理計(jì)算，，再在中利用余弦定理計(jì)算．【解答】解：連接，由題意可知，，，，，，，在中，由正弦定理得，，在中，，，．在中，由余弦定理得．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了解三角形的應(yīng)用，合理選擇三角形，利用正余弦定理計(jì)算是關(guān)鍵，屬于中檔題．【典例6】已知的三邊分別為，，，若滿足，則面積的最大值為A． B． C． D．【分析】由三角形面積公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦定理可求，進(jìn)而利用基本不等式，從而可求，從而利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求最值．【解答】解：由三角形面積公式可得：，可得：，，，可得：，解得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，當(dāng)時(shí)，取得最大值，的最大值為．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形面積公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦定理，基本不等式，二次函數(shù)的最值的綜合應(yīng)用，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化思想，難度中等．【典例7】的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知，則的周長的最大值是A． B． C． D．【分析】由已知利用余弦定理可求，利用和的值，根據(jù)正弦定理表示出和，代入三角形的周長中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可得到周長的最大值．【解答】解：，由正弦定理可得：，，，，由，結(jié)合正弦定理得：，，，則，可知周長的最大值為．故選：．【點(diǎn)評】此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用正弦、余弦定理化簡求值，靈活運(yùn)用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡求值，掌握正弦函數(shù)的值域，是一道中檔題．

綜合練習(xí)一．選擇題（共5小題）1．已知函數(shù)，若直線是曲線的一條對稱軸，則．【分析】引入輔助角，根據(jù)對稱性的性質(zhì)可得，，從而，，結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角公式即可求解．【解答】解：，的一條對稱軸方程是，，，．，．，，，．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，突出考查其對稱性，考查分析、運(yùn)算能力，屬于中檔題．2．若關(guān)于x的方程（sinx+cosx）2+cos2x＝m在區(qū)間[0，π）上有兩個(gè)根x1，x2，且|x1﹣x2|≥π4，則實(shí)數(shù)A．[0，2） B．[0，2] C．[1，2+1] D．[1，2【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果．【解答】解：關(guān)于x的方程（sinx+cosx）2+cos2x＝m在區(qū)間[0，π）上有兩個(gè)根x1，x2，方程即sin2x+cos2x＝m﹣1，即sin（2x+π4）∴sin（2x+π4）=m-12在區(qū)間[0，π）上有兩個(gè)根x1，x2，且|x1﹣x∵x∈[0，π），∴2x+π4∈[π4，9π求得0≤m≤2，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．3．《周髀算經(jīng)》中給出了弦圖，所謂弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大的正方形，若圖中直角三角形的一個(gè)銳角為α，且小正方形與大正方形面積之比為9：25，則sin2α的值為（）A．49 B．59 C．916【分析】由題意利用直角三角形中的邊角關(guān)系可得5sinα﹣5cosα＝3，兩邊平方并利用二倍角的正弦公式，求得sin2α的值．【解答】解：∵小正方形與大正方形面積之比為9：25，設(shè)小正方形的邊長為3，則大正方形邊長為5，由題意可得，小直角三角形的三邊分別為5cosα，5sinα，5，∵4個(gè)小直角三角形全等，故有5cosα+3＝5sinα，即5sinα﹣5cosα＝3，平方可得sin2α=16故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查直角三角形中的邊角關(guān)系，二倍角的正弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．4．在中，角，，所對的邊分別為，，，表示的面積，若，，則A． B． C． D．【分析】由正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知等式可得，結(jié)合的范圍可求，由余弦定理、三角形面積公式可求，結(jié)合范圍，可求的值，根據(jù)三角形面積公式可求的值．【解答】解：由正弦定理及，得，可得：，可得：，因?yàn)?，所以；由余弦定理、三角形面積公式及，得，整理得，又，所以，故．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查正、余弦定理、兩角和的正弦函數(shù)公式、三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．5．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a＝3，c＝23，bsinA=acos(B+πA．1 B．2 C．3 D．5【分析】由正弦定理得bsinA＝asinB，與bsinA＝acos（B+π6），由此能求出B．由余弦定理即可解得【解答】解：在△ABC中，由正弦定理得：asinA=bsinB，得bsinA＝又bsinA＝acos（B+π∴asinB＝acos（B+π6），即sinB＝cos（B+π6）＝cosBcosπ6-sinBsinπ∴tanB=3又B∈（0，π），∴B=π∵在△ABC中，a＝3，c＝23，由余弦定理得b=a故選：C．【點(diǎn)評】本題考查角的求法，考查兩角差的余弦值的求法，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．二．填空題（共4小題）6．已知sin2（α+π6）+cos2（α-π3）=32【分析】根據(jù)α-π2=【解答】解：由sin2（α+π6）+cos2（α-π3）=32得sin2（α+π得sin2（α+π6）+sin2（α+π得sin2（α+π6）=34，得sin（α∵α∈（0，π），∴α+π6∈（π6∴α+π6=α=π6或α故答案為：π6或π【點(diǎn)評】本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)，屬中檔題．7．在△ABC中，若tanA+tanB+tanAtanB＝1，則cos2A+cos2B的范圍為（32，2【分析】將已知條件切化弦可得A+B=π4，B=π4-A，再把cos2A+cos2B化成1【解答】解：由tanA+tanB+tanAtanB＝1得sinAcosA得sin（A+B）＝cos（A+B），得tan（A+B）＝1，∵0＜A+B＜π，∴A+B=π4，∴B=π4-∴cos2A+cos2B＝cos2A+cos2（π4-A）=1+cos2A2+1+cos(π＝1+22sin（2A∵0＜A＜π4，∴2A+π4∈（π4，3π4cos2A+cos2B的范圍為（32，2故答案為：（32，2【點(diǎn)評】本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)，屬中檔題．8．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a=3，3+bc=sinC+sinAsinC+sinA-sinB，則