2024初中數(shù)學競賽七年級競賽輔導講義專題10 多變的行程問題含答案

2024初中數(shù)學競賽七年級競賽輔導講義專題10多變的行程問題

閱讀與思考

行程問題的三要素是：距離（5）、速度（I，）、時間（f）,基本關(guān)系是：S=Vt,V=-,t=~.

tV

行程問題按運動方向可分為相遇問題、追及問題；按運動路線可分為直線形問題、環(huán)形句題等.其

中相遇問題、追及問題是最基本的類型，它們的特點與常用的等量關(guān)系如下：

1.相遇問題

其特點是：兩人（或物）從兩地沿同一路線相向而行，而最終相遇，一般地，甲行的路程十乙行的

路程=兩地之間的距離.

2.追及問題

其特點是：兩人（或物）沿同一路線、同一方向運動，由于位置或者出發(fā)時間不同，造成一前一后，

又因為速度的差異使得后者最終能追及前者.一般地快者行的路程一慢者行的路程=兩地之間的距離.

例題與求解

【例1】在公路上，汽車A、B、C分別以80千米/時，70千米/時，50千米/時的速度勻速行駛，

4從甲站開往乙站，同時，8、C從乙站開往甲站.A在與B相遇后兩小時又與C相遇，則甲、乙兩

站相距千米.

（“希望杯”競賽試題）

解題思路：本例為直線上的相遇問題，可依據(jù)時間關(guān)系列方程.

【例2】如圖，某人沿著邊長為90來的正方形，按A-B-C-O-A…方向，甲從4以65

米/分的速度，乙從B以72米/分的速度行走，當乙第一次追上甲時在正方形的（）.

A.A3邊上B.D4邊上C.BC邊上D.CO邊上

（安徽省競賽試題）

解題思路：本例是一個特殊的環(huán)形追及問題，注意甲實際在乙的前面3x90=270（米）處.

【例3】亞州鐵人三項賽在徐州市風光秀麗的云龍湖畔舉行.比賽程序是：運動員先同時下水游泳

15千米到第一換頂點，在第一換頂點整理服裝后，接著騎自行車40千米到第二換項點，再跑步10千

米到終點.下表是亞洲鐵人三項賽女子組（19歲以下）三名運動員在比賽中的成績（游泳成績即游泳所

用時間，其他類推，表內(nèi)時間單位為秒）.

第一換項點第二換項點

運動員號碼游泳成績白行車成績長跑成績

所用時間所用時間

1911997754927403220

19415031105686573652

1951354745351443195

（1）填空（精確到0.01）：

第191號運動員騎自行車的平均速度是__________米/秒；

第194號運動員騎自行車的平均速度是米/秒：

第195號運動員騎自行車的平均速摩是__________米/秒；

（2）如果運動員騎自行車都是勻速的，那么在騎自行車的途中，191號運動員會追上195號或194

號嗎？如果會，那么追上時離第一換項點有多少米（精確到001）?如果不會，為什么？

（3）如果運動員長跑也都是勻速的，那么在長跑途中這三名運動員有可能某人追上某人嗎？為什

么？

（江蘇省徐州市中考試題）

解題思路：從表格中獲取信息，注意速度、時間的比較是解本例的關(guān)鍵.

【例4】一小船由A港到B港順流需行6小時，由B港到A港逆流需行8小時.一天，小船從早

晨6點由A港出發(fā)順流行至B港時，發(fā)現(xiàn)一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小時后找到救生圈，

問：

（1）若小船按水流速度由A港漂流到B港時需多少小時？

（2）救生圈是何時掠人水中的？

（天津市中考試題）

解題思路：要求小船按水流速度由A港漂流到8港時所需時間，需求兩港間的距離及水流速度，考

慮增設(shè)輔助未知數(shù).

【例5】某鄉(xiāng)鎮(zhèn)小學到縣城參觀，規(guī)定汽車從縣城出發(fā)于上午7時到達學校后，接參觀的師生立即

HI發(fā)去縣城，由于汽車在赴校的途中發(fā)生故障，不得不停車修理，學校師生等到7時10分，仍未見汽

車來接，就步行走向縣城.在行進途中遇到了已經(jīng)修理好的汽車，立即上車趕赴縣城，結(jié)果比預定到達

縣城的時間晚了半小時，如果汽車的速度是步行速度的6倍，汽車在途中排除故障花了多少時間？

（山東省中考試題）

解題思路：從題中比原定時間晚到半小時入手，選好未知量，找出汽車所用時間與師生步趕所用時

間之間的關(guān)系.依時間、速度和路程之間的關(guān)系列出方程.

【例6】甲、乙兩人分別從A,8兩地同時出發(fā)，在距離8地6千米處相遇，相遇后兩人又繼續(xù)

按原方向、原速度前進，當他們分別到達8地、A地后，立刻返回，又在距A地4千米處相遇，求4,

8兩地相距多少千米？

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

解題思路：本例有多種解法，可借助圖形輔助分析.

能力訓練

A級

1.某人以4千米/小時的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/小時的速度從乙地返回甲地，那

么某人往返一次的平均速度是千米/小時.

2.汽車以每小時72千米的速度筆直地開向寂靜的山谷，駕駛員按一聲喇叭，4秒后聽到回響，已

知聲音的速度是每秒340米，聽到回響時汽車離山谷的距離是__________米.

（江蘇省競賽試題）

3.甲、乙兩地相距70千米，有兩輛汽車同時從兩地相向出發(fā)，并連續(xù)往返于甲、乙兩地，從甲地

開出的為第一?輛汽車，每小時行30千米，從乙地開出的為第二輛汽車，每小時行40千米.當從甲地開

出的第一輛汽車第二次從甲地出發(fā)后與第二輛汽車相遇，這兩輛汽車分別行駛了千米和

__________千米.

（武漢市選拔賽試題）

4.上午9時整，時計與分針成直角，那么下一次時針與分針成直角的時間是（）.

58

A.9時30分B.10時5分C.10時5—分D.9時32—分

1111

（“希望杯”競賽試題）

5.甲、乙兩人同時從4地到8地，如果乙的速度y保持不變，而甲先用2u的速度到達中點，再用

1

7u的速度到達B地，則下列結(jié)論中正確的是（).

A.甲、乙同時到達B地B.甲先到8地

C.乙先到8地D.無法確定誰先到

6.甲與乙比賽登樓，他倆從36層的長江大廈底層出發(fā)，當甲到達6樓時，乙剛到達5樓，按此速

度，當甲到達頂層時，乙可到達（）.

A.31層B.30層C.29層D.28層

7.如圖，甲、乙兩動點分別從正方形A3CO的頂點A,C同時沿正方形的邊開始移動.甲點依順

時針方向環(huán)行，乙點依逆時針方向環(huán)行，若乙的速度是甲的速度的4倍，則它們的第2007次相遇在邊

（）上.

A.ABB.BCC.CDD.DA

（湖北省黃岡市競賽試題）

8.甲、乙兩列火車同時從相距120千米的兩地相向行駛，甲速為每小時84千米，乙速為每小時60

千米，則當兩車相距24千米時行駛的時間為（）.

A.40分鐘B.1小時C.1小時或20分鐘D.40分鐘或1小時

9.有一個只允許單向通過的窄道口，通常情況下，每分鐘可以通過9人，一天王老師到達道口時，

發(fā)現(xiàn)由于擁擠，每分鐘只能有3人通過道口，此時自己前面還有36人等待通過（假定先到的先過，王

老師過道口的時間忽略不計）.通過道口后，還需7分鐘到達學校：

（1）此時，若繞道而行，要15分鐘到達學校，從節(jié)省時間考慮，王老師應繞道去學校，還是選擇

通過擁擠的道口去學校？

（2）若在王老師等人的維持下，幾分鐘后，秩序恢復正常（維持秩序期間，每分鐘仍有3人通過

道口），結(jié)果王老師比擁擠的情況下提前了6分鐘通過進口，求維持秩序的時間.

（江西省中考試題）

6.某商場有一部自動扶梯勻速由下而_L運動，甲、乙二人都急于，樓辦事，囚此在乘扶梯的同時

勻速登梯，甲登了55級后到達樓上，乙登梯速度是甲的2倍（單位時間內(nèi)乙登樓級數(shù)是甲的2倍），他

登了60級后到達樓上，那么，由樓下到樓上的自動扶梯級數(shù)為.

（北京市競賽試題）

7.甲、乙兩同學從400米的環(huán)形跑道上的某一點背向出發(fā)，分別以每秒2米和每秒3米的速度慢

跑.6秒鐘后，一只小狗從甲處以每秒6米的速度向乙跑，遇到乙后，又從乙處以每秒6米的速度向甲

跑，如此往返直至甲、乙第一次相遇，那么小狗共跑了米.

8.某風景區(qū)的旅游線路如右圖所示，其中A為入口處，B,C,。為風景點，E為三岔路的交匯

點，圖中所給的數(shù)據(jù)為相應兩點間的路程（單位：千米）.某游客從A處出發(fā)，以每小時2千米的速度

步行游覽，每到一個景點逗留的時間均為半小時.

（1）若該游客沿跨線“A-。一。一E-A”游覽回到A處，共用去3小時，求C,E兩點間

的路程.

（2）若該游客從A處出發(fā)，打算在最短時間內(nèi)游完三個景點并返回A處（仍按上述步行速度和在

景點的逗留時間，不考慮其他因素），請你為他設(shè)計一個步行路線，并對路線設(shè)計的合理性予以說明.

（江蘇省競賽試題）

9.某人沿電車路行走，每12分鐘有一輛電車從后面追上，每4分鐘有一輛電車迎面開來，假定此

人和電車都是勻速前進，則電車是每隔多少分鐘從起點站開出一輛？

（湖北省黃岡市競賽試題）

10.如圖，甲、乙兩人分別在A,8兩地同時相向而行，于E1處相遇后，甲繼續(xù)向3地行走，乙

則休息了14分鐘，再繼續(xù)向A地行走，甲和乙到達B和A后立即折返，仍在E處相遇，己如甲每分鐘

行走60米，乙每分鐘行走80米，則A和8兩地相距多少千米？

AEB

?__________?_______________?

甲一一乙

（“華羅庚金杯”競賽試題）專題10多變的行程問題

例11950提示:設(shè)甲乙兩站相距S千米，則=一+2=——，解得S=1950千米

80+7080+50

例2B提示:乙第一次追上甲用了」分鐘.72x4"=7x36（）+2?x9（）

777

例3⑴8.127.037.48

（2）191號能追上194號,這時離第一換項點有24037.96米⑼號不會追上195號

（3）從笫二換項點出發(fā)時,195號比191號提前216秒,口長跑速度比191號快，所以195號在長跑

時始終在191號前面，而191號在長跑時始終在194前面，故在長跑時，誰也追不上誰.

例4⑴設(shè)小船在靜水中的速度為a,水流的速度為力,由題意，得6m+〃尸8小”解得a=7A.故小船按水流

速度由

“6（67+/?）6（7Z?+Z?）48b/cIQ

A港漂流到B港所需的時間為二-----=---------=——=48小時

hhb

（2）設(shè)小船行駛x小時后救生圈掉入水中，則小船找到救生圈即小船與救生圈相遇，他們行駛的路

程如圖所示：

.

:效明■j---------------61小船J

（il）XA，--------

rfr）XI

由題意得（67+1）匕+小6岡=（6/）（白+〃）,將〃=7〃代入上式，解得x=5故救生圈是在上午II點掉入水中的.

例5如圖，設(shè)點A為縣城所在地，點B為學校所在地，但C為師生途中與汽車相遇之處.汽車晚到的的半

小時一方面是因晚出發(fā)了10分鐘,另一方面是從B到C由于步行代替乘車而多花了20分鐘.若設(shè)汽車從

C到B需要X分鐘，則師生從B到C應花（盧20）分鐘，由于汽車日C到B與師生從B到C的路程相等由時

間與速度成反比可得」一=」解得I

x+206

??B

C

故排除故障花的時間為4x2+30=38分鐘

例6解法一:第一次相遇時，甲乙兩人所走的路程之和，正好是A4兩地相距的路程，即當甲乙合走完44

間的全部路程

（甲M四（乙）

時，乙走了6千米.第二次相遇時，兩人合走的路程恰為兩地間距離的3倍（如圖，圖中實線表示甲走的

路程，虛線表示乙走的路程），因此，這時乙走的路程應為6x3=18千米.考慮到乙從B地走到A地后

又返回了4千米，所以A,B兩地間的距離為18-4=14千米.

解法二:甲、乙兩人同時出發(fā)，相向而行，到相遇時兩人所走時間相等，又因為兩人都做勻速運動，應有:

兩人速度之比等于他們所走路程之比，且相同時間走過的路程亦成正比例.到第一次相遇，甲走了（全程

-6）千米，乙走了6千米;到第二次相遇，甲走了（2x全程-4）千米，乙走了（全程+4）千米.

設(shè)全程為S,則可列方程無9二蘭二士.

6S+4

解得加=14,S2=0（舍去）.

故A,B兩地相距14千米.

解法三:設(shè)全程為S千米，甲、乙兩人速度分別為h為v,

工色①

則1%%

J2s-4S+4小

------=------②

匕打

①?②得-9=)一,解得S=14或5=0(舍去)

2S-4S+4

故A.B兩地相距14千米.

A級

1.4.82.640

3.150200提示：設(shè)第一輛車行駛了(140十X)千米，則第二輛車行駛了

(l40+x)xg=140+(46|+qJ千米，由題意得

A+f46-+-x|=70,解得x=10.

I33J

4D提示:因為分針每分鐘轉(zhuǎn)6°,時針每分鐘轉(zhuǎn)(g),設(shè)兩針從上午9時開始，工分鐘后兩針成直角，

由題意知61+90+(90-，二|二360解得工=32色.

I2)11

QVs

5C6.C提示：-=—=7.C8.D

S乙V乙4

9.(1)因至+7=19>15，故王老師應選擇繞道去學校.

3

⑵設(shè)維持秩序時間為t,則+葛3)=6,解得t=3(分鐘).

10.設(shè)此人從家里出發(fā)到火車開車的時間為X小時，由題意得30(x15、(15、

--=18x+—,解得x=l.

60)(60)

'15](15)

30xx----30x1--

、60；160J

此人打算在火車前10分鐘到達火車站，騎摩托車的速度應為——_10=_10=271

X

.60—60

時.

11.設(shè)火車的速度為X米/秒，由題意得(?1)x22=(x-3)x26,解得k14.

故火車的車身長為(14-1)x22=286米.

B級

b+a

1------

b-a

27.5提示：先求出甲、乙兩車速度和為料=20米/秒.

10

9()

3.20或3

3

4.D提示:設(shè)三個等長路段的路程均為S,則平均速度為

3S

SSS

——F---1----

H%匕

5D提示:考慮兩船同時先順水航行的情形，設(shè)想乙船在靜水中的速度接近水流的速度，則它將遲遲難以

返航.而甲先返回A港，類似的可考慮兩船同時先逆水航行的情形.

6667.444

8(l)CE=0.6千米.(2)基本的行走路線有兩條:一是A—D—C—B—ETA(或A—E-B—C-D—A)，總時

間為4小時;二是A—D—C—ETB—E—A(或E-C-D-A),總時間為3.9小時.

9設(shè)電車速度為九人速為X,目車每隔，分鐘開出一輛，則每兩輛電車之間的距離W，對于迎面來的電

車，這個距離是人與電車共同走4分鐘完成的，對于后面追上的電車，兩輛電車之間的距離是電車在12

分鐘追上起始時的距離，由題意得4u+4x=i〃=12u-12x,解得仁6分鐘.

+4x7Y

10.AE:BE=60:80=3:4,設(shè)AE=3乂BE=4x,從而AB=7x(米).由題意得一----=—~~—+14,解得

6080

x=240,故AB=7戶7x240=1680米.

專題11設(shè)元的技巧

閱讀與思考

應用數(shù)學知識和方法解決實際問題是學習數(shù)學的重要目的之一.應用題聯(lián)系實際，

反映現(xiàn)實生活中的數(shù)量關(guān)系，通過解應用題可以培養(yǎng)運用數(shù)學知識去分析和解決問題的能

力.

列方程解應用題，一般有審題、設(shè)元、布列方程、解方程、作答等幾個步驟.恰當

地設(shè)元是列方程解應用題的關(guān)鍵步驟之一，常見的設(shè)元技巧有：

1.直接設(shè)元

題目要求什么量，就設(shè)什么量為未知數(shù)，或有幾個要求的量，而設(shè)其中的某一個量

為未知數(shù).

2.間接設(shè)元

即所沒的不是所求的，適當?shù)剡x擇與題目要求的未知數(shù)有關(guān)的某個量為未知數(shù)，則

易找出符合題意的數(shù)量關(guān)系，從而列出方程.

3.輔助設(shè)元

有些應用題中隱含一些未知的常量，這些量對于求解無直接聯(lián)系，但如果不指明這

些量的存在，則難求其解，因而需把這些未知的常量設(shè)為參數(shù)，作為橋梁幫助思考，這就

是輔助設(shè)元.

4.整體設(shè)元

有些應用題未知量太多而已知關(guān)系又少，如果在未知數(shù)的某一部分存在一個整體

關(guān)系，可設(shè)這一部分為一個未知數(shù)，這樣就減少了設(shè)元的個數(shù)，這就是整體設(shè)元.

例題與求解

［例1］某編輯用0?9這10個數(shù)字給一本書的各頁標上頁碼，若共寫了636個數(shù)

字，則該書有一頁.

解題思路：依題意可知該書頁碼的數(shù)字組成有三種：一個數(shù)字、兩個數(shù)字、三個

數(shù)字.一共有636個數(shù)字，可設(shè)直接未知數(shù)，列方程求解.

找出能夠表示應用題全部含義的一個相等關(guān)系是列方程解應用題又一關(guān)鍵.尋找

相等關(guān)系常用方法有：

①從關(guān)鍵詞中尋找相等關(guān)系；

②利用基本公式尋找相等關(guān)系；

③利用不變量尋找相等關(guān)系；

④對一種“量”，從不同的角度進行表述（即計算兩次），形成一種相等關(guān)系.

行程問題、工程問題、勞力分配問題、濃度問題、數(shù)字問題等是列方程解應用題

的基本類型，此外，還有趣味問題（如年齡、時鐘等）、經(jīng)濟問題（如銀行存款、銷售利潤

等），盡管形式多變，但是解題實質(zhì)未變，需要我們用數(shù)學觀點，理清數(shù)量關(guān)系，恰當設(shè)未

知數(shù)，準確列方程.

【例2】某服裝廠生產(chǎn)某種定型冬裝，9月份銷售冬裝的利潤（每件冬裝的利潤=

出廠價一成本）是出廠價的25%,10月份將每件冬裝的出廠價調(diào)低10%（每件冬裝的成本

不變），銷售件數(shù)比9月份增加80%,那么該廠10月份銷售這種冬裝的利潤總額比9月份

的利潤總額增長（）。

A.2%B.8%C.40.0%D.62%

（江蘇省競賽試題）

解題思路：設(shè)出與總額相關(guān)的量：出廠價、銷售件數(shù).

解決以實際生活為情景的應用題時，需要具備一定的優(yōu)化意識和估算決策能力.

［例3］某音樂廳決定月初在暑假期間舉辦學生專場音樂會，入場券分為團體票

和零售票，其中團體票占總票數(shù)的二，若提前購票，則給予不同程度的優(yōu)惠，在五月份內(nèi)，

3

團體票每張12元，共售出團體票數(shù)的|；零售票每張16元，共售出零售票數(shù)的一半，如

果在六月份內(nèi)，團體票按每張16元出售，并計劃在六月份內(nèi)售出全部余票，那么零售票應

按每張多少元定價才能使這兩個月的票款收入持平？

（北京市東城區(qū)中考試題）

解題思路：票款與票數(shù)、票價有關(guān)，故既要用字母表示六月份零售價，乂要用字

母表示總票數(shù).

與商品利潤相關(guān)的基本知識：

①利潤率=X100%；

進貨價

②利潤=售出價一進貨價；

③售出價=利潤+進貨價=進貸價X（1+利澗率）.

［例4］為了加強公民的節(jié)水意識，合理利用水資源，某市采用價格調(diào)控的手段達到

節(jié)水的目的，該市自來水收費價格見價目表.

價目表

每月用水量單價

不超過6/的部分2元//

超過3—不超出10—的部

4元/背

分

超出10萬的部分8元//

注：水費按月結(jié)算.

若某居民1月份用水8人則應收水費2X6+4X（8-6）=20（元）.

（1）若該戶居民2月份用水12.5則應收水費元.

（2）若該戶居民3,4月份共用水15/6月份用水量超過3月份），共交水費44元，

則該居民3,4月份各用水多少立方米？

（江蘇省揚州市中考試題）

解題思路：第（1）問須分段計費；第⑵問設(shè)3月扮用水量為x/,則4月份用水量為

（15-x）/,分兩種情況進行討論.

【例5】4屬。三個微型機器人圍繞一個圓形軌道高速運動，它們順時針同時同

地出發(fā)后，力在2秒鐘時追上8,2.5秒鐘時追上C,當。追上8時，C和8的運動路程之

匕是3：2,問第1分鐘時，力圍繞這個圓形軌道運動了多少圈？

（“華羅庚金杯”競賽試題）

解題思路：要充分運用問題中的等量關(guān)系，需設(shè)出48C三個微型機器人的速

度、圓形軌道長等多個未知數(shù).

【例6】有一片牧場，草每天都在勻速地生長（即草每天增長的量相等），如果放

牧24頭牛，則6天吃完牧草；如果放牧21頭牛，則B天吃完牧草.設(shè)每頭牛每天吃草的

星是相等的，問：

（1）如果放牧16頭牛，幾天可以吃完牧草？

（2）要使牧草永遠吃不完，至多放牧幾頭牛？

（全國數(shù)學通訊賽試題）

解題思路：此題可采取設(shè)定多個間接未知數(shù)的解決方法.

能力訓練

A組

1.光明中學七年級一、二、三班，向希望學校共捐書385本，一班與二班捐書的本數(shù)

之比為4：3,一班與三班捐書的本數(shù)之比為6：7,那么二班捐書______本.

（北京市“迎春杯”競賽試題）

2.一個六位數(shù)1abcde的3倍等于abedel,則這個六位數(shù)為.

（黑龍江省競賽試題）

3.某種電器產(chǎn)品，每件若以原定價的9.5折銷售，可獲利150元，若以原定價的7.5

折銷售，則虧損50元.該種商品每件的進價為元.

（“希望杯”競賽試題）

4.某出租汽車的車費是這樣計算的：路程在4公里以內(nèi)（含4公里）為10.40元；達

到4公里以后，每增加1公里加1.60元；達到15公里后，每增加1公里加2.40元.增

加不足1公里時按四舍五人計算.則乘坐15公里該種出租車應交車費一元.某乘客乘坐

該種出租車交了車費95.20元，則這個乘客乘該出租車行駛的路程為公里.（精確

到兩位小數(shù)）

（“希望杯”邀請賽試題）

5.甲、乙兩種茶葉，以（重量比）相混合制成一種混合茶，甲種茶葉的價格每千

克50元，乙種茶葉的價格每千克40元，現(xiàn)在甲種茶葉的價格上調(diào)了10版乙種茶葉的價

格下調(diào)了10%,但混合茶的價格不變，則等于（）.

A.1:1B.5:4C.4:5D.5:6

（北京市競賽試題）

6.某城市按以下規(guī)定收取每月煤氣費：用煤氣如果不超過60立方米.按每立方米0.8

元收費；如果超過60立方米，超過部分接每立方米1.2元收費.己知某用戶4月份的煤氣

費平均每立方米0.88元，那么，4月份這用戶應交煤氣費（）.

A.60元B.66元C.75元D.78元

（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）

7.植樹節(jié)時，某班平均每人植樹6棵，如果只由女同學完成，每人應植樹15棵；如

果只由男同學完成，每人應植樹（）棵.

A.9B.10C.12D.14

（四川省競賽試題）

8.某服裝商販同時賣出兩套服裝，每套均賣168元，以成本計算，其中一套盈利20%,

另一套虧本20%則這次出售中商販（）.

A.不賺不賠B.賺37.2元C.賺14元D.賠14元

9.從兩塊重量分別為6千克和4千克且含銀的百分數(shù)不同的合金上切下重量相等的兩

塊，把所切下的每塊分別和另一塊切剩的合金放在一起，熔煉后，兩塊合金的含銀的百分

數(shù)相同，求所切下的合金的重量是多少？

10.陳老師為學校購買運動會的獎品后，回學校向后勤處王老師交賬說：“我買了兩種

書，共105本，單價分別為8元和12元，買書前我領(lǐng)了15。。元，現(xiàn)在還余418元，”王老

師算了一下，說：“你肯定弄錯了

（1）王老師為什么說他弄錯了？試用方程的知識加以解釋；

（2）陳老師連忙拿出購物發(fā)票，發(fā)現(xiàn)的確弄錯了，因為他還買了一個筆記本，但筆記本

的單價已模糊不清，只能辨認出應是小于10的整數(shù)，筆記本的單價可能為多少元？

（四川省資陽市中考試題）

B級

1.一幢樓房內(nèi)住有6家住戶，分別姓趙、錢、孫、李、周、吳，這幢樓住戶共訂有人

B,C,D,E,尸六種報紙，每戶至少訂了一種報紙，已知趙、錢、孫、李、周分別訂了其

中2,2,4,3,5種報紙.而4B,QD,￡五種報紙在這幢樓里分別有1,4,2,2,2家

訂戶，那么吳姓住戶訂有一種報紙，報紙產(chǎn)在這幢樓里有一家訂戶.

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

2.某人購買鋼筆和圓珠筆各若干支，鋼筆的價格是圓珠筆價格的2倍，付款時，發(fā)現(xiàn)

所買兩種筆的數(shù)量是顛倒了，因此，比計劃支出增加了50%,則此人原計劃購買鋼筆與圓

珠筆數(shù)量的比為.

（天津市競賽試題）

3.為使某項工程提前20天完成任務，需將原定工作效率提高25%,則原計劃完成這

項工程需要_______天.

（“希望杯”邀請賽試題）

4.右邊算式中，每個漢字代表1個數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，已知“神”一

。,那么被乘數(shù)是.

神舟十號飛天

x神

飛天神舟五號

5.一艘輪船從月港到6港順水航行，需6小時，從6港到力港逆水需8小時，若在

靜水條件下，從力港到6港需（）小時.

A.7B.7-C.6-D.6-

272

（五城市聯(lián)賽試題）

6.某商品連續(xù)兩次提價10%,又提價5樂要恢復原價，至少應降價X％（x為整數(shù)），則

4=（）.

A.20B.21C.22D.23

7.如圖，是一塊在電腦屏幕上出現(xiàn)的矩形色塊圖，由6個不同顏色的正方形組成，已

知中間最小的一個正方形的邊長為1,那么這個長方形色塊圖的面積為多少？

（山東省濟南市中考試題）

8.自行車輪胎，安裝在后輪上，只能行駛3000就就要報廢，安裝在前輪上，則行駛

5000筋才報廢.為使一對輪胎能在行駛盡可能多的路程后才報廢，在自行車行駛一定路

程后，就將前后輪調(diào)整，這樣安裝在自行車上的一對輪胎最多可行駛多少千米？

（《時代學習報》數(shù)學文化節(jié)試題）

9.山腳下有一池塘，ill泉以固定的流量（即單位時間里流入池中的水量相同）不停地

向池塘內(nèi)流淌，現(xiàn)池塘中有一定深度的水，若用一臺.4型抽水機，1小時后正好能把池塘

中的水抽憲，若用兩臺力型抽水機20分鐘正好把池塘中水抽完。問若用三臺/型抽水機同

時抽水，則需要多長時間恰好把池塘中的水抽完？

（江蘇省競賽試題）

專題11設(shè)元的技巧

例1248提示:設(shè)該書有X頁，則可列方程（x-99）x3+90x2+9=636,解得x=248頁.

例2B提示:設(shè)9月份每件冬裝的出廠價為x元，9月份銷售冬裝m件，則

0.15xx1.8〃?一0.2547〃

---------------------------------=0/0?

0.25x〃z

例3設(shè)總票數(shù)為。張，六月份零售票應按每張1元定價，

748641

則一a+—a——a+—ax,解得x=19.2元.

53156

例4（1）應收水費2、6+4乂（10-6）+8、（12.5—10）=48元.

⑵設(shè)三月份用水量為x",則四月份用水量為(i5?x)nr?.若x<6,15-x<10時，則

2x+[2x64-4(15-x-6)]=44,解得，x=2(舍去)；若x<6,15-x>10時，則

2X+[2X6+4X4+8(15-A:-I0)]=44,解得x=4；

若x>6,由題意知x<10,則15-xvlO,則2x6-4x(x-6)+12x6+4(15—工-〃)]=44,無解.

所以三月份用水4加3,四月份用水ll//.例542圈提示：設(shè)4,B,C三個微型機器人的速度分

S55

-s__s_

-2,2

別為u,v和圓形軌道周長是S,『

w,-VM2-2.5

3S

有

代

中

又

-入757S

22---V

②.解①和②，得得〃=To,Iox60=42S.

故第一分鐘時，A圍繞這個圓形軌道運動了42圈.

例6(1)設(shè)牧場原有草量為〃，每天生長出的草量為兒每頭牛每天吃草量為c,16頭牛x天吃完草，由

題意得：

。+68=24x6c?①

?〃+80=21x8c②.

a+bx=16ct③

②一①得〃=12。④，

③一②得(x—8)b=(16.r-168)c⑤，

將④代人⑤得(”―8)?12c=(16x-168)c,解得x=18.

(2)設(shè)至多放牧)，頭牛，牧草才永遠吃不完，則有c)W),即每天吃的草不能多于生長的草，)4=12.

A級

199

2.142857提示：設(shè)abcde=%,則3(100000+x)=/0x+l,解得％=42857.故這個六位數(shù)為142857.

9575

3800提示：設(shè)該商品的原定價為x元，由題意有：TQX—I50=TT-X4-50,解得X=1000.

故該商品每件的進價為1OOOx-j^+50=8007E.

430.4043提示：(1)注意，到15千米時剛好跳表，所以要加上2.4元，不要漏了.(2)設(shè)所行路程

為x公里，則2.40x。-15)+28.00=95.20.

5.C6.B

7.B提示：設(shè)分別有男、女同學x,y人,則15y=6(x+y),x=|y.則男同學完成每人應植樹6(x+yHx

=10棵.

8.D

/>X+(/Lx)a

9.設(shè)所切下的合金重量為x千克，重6千克，4千克的合金含銀的百分數(shù)分別為〃，伙a處),

6

at+(4—x)6

=4解得x=2.4.

10.(1)設(shè)單價為8元的課外書為x本，由8x+l2(IO5-x)=1500-418,解得x=44.5(不合題意)，所

以陳老師肯定弄錯了.

⑵設(shè)單價為8元的課外書為)，本，筆記本的單價為。元，則8)，+(105—)，)xl2=1500—418—〃,即178

+o=4.y,178+a應被4整除，?=2,4,6,8,經(jīng)討論。=2或6.

B級

I.16提示：設(shè)吳姓住戶訂有工種報紙，報紙尸在這幢樓里有)，家訂戶，其中x,y為啟1,.怯6的

整數(shù)，由題意得2+2+4+3+5+x=1+4+2+2+2+y,解得x=l,y=6.

2.1：4提示：設(shè)原計劃賄買鋼筆x支，圓珠筆)，支，圓珠筆的價格為k元，由題意得(2kx+ky)x(l

+50%)=2心，+丘，解得y=4x.

3.100

4.307692提示：設(shè)“神舟十號”=A,“飛天”=4則3x(1004+8)=100004+A,得234=769&又

(23,769)=1,故/3=23〃，A=769〃，〃為自然數(shù)且29".經(jīng)討論〃=4可行，從而4=3076,5

=92.

5.C提示：設(shè)A港到8港路程為5,靜水速度和水流速度分別為V船，V水.則

SSI

v=6……①，v，-/=8……②，則6(丫制+丫水)=8(丫儡一"水)，得丫嫡=7丫水.把V水=:yV

船代入①中'得—=6,故*=6*

%+飆47

6.C

7.143提示：設(shè)C,。的邊長為X,貝ijE,F,6的邊長分別為％十1,x十2,2x~1,由題意得(x+1)

+(x+2)=x+(2.x—1),解得x=4.也可用x+3表示出8的邊長，則X+3=2A—1,更易求得X

=4.

8.設(shè)自行車行駛了xkm后，互換前、后輪胎再行駛，致使兩只輪胎同時報廢，因此，前輪胎還可行駛

3

(5000—x)km.后輪胎還可行駛(3000—x)km.當前后輪胎互換后，還可行駛，并有(5000—x)x§=(3000

-A)X|.解此方程，有《一,)x=2000,解得X=1875.這就是說，當自行車行駛了1875km后，互

換前后輪胎，這樣還可行駛(5(X)0—1875)x,=1875km.故最多可行駛3750km.

9.設(shè)流水的速度為工米3/分，池塘原有水)，米3,每臺A型抽水機抽水效率為Z米3/分，三臺A型抽

水機需t分鐘把池塘中水抽完，由題意得

>'+60.v=60z①

<>'+20.v=40z②.

.y+/x=3/2③

②一①，得z-=2-x…④

③一②，得(20-t)x=(40-3/)