2024初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽七年級(jí)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義專題10 多變的行程問(wèn)題含答案

2024初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽七年級(jí)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義專題10多變的行程問(wèn)題

閱讀與思考

行程問(wèn)題的三要素是：距離（5）、速度（I，）、時(shí)間（f）,基本關(guān)系是：S=Vt,V=-,t=~.

tV

行程問(wèn)題按運(yùn)動(dòng)方向可分為相遇問(wèn)題、追及問(wèn)題；按運(yùn)動(dòng)路線可分為直線形問(wèn)題、環(huán)形句題等.其

中相遇問(wèn)題、追及問(wèn)題是最基本的類型，它們的特點(diǎn)與常用的等量關(guān)系如下：

1.相遇問(wèn)題

其特點(diǎn)是：兩人（或物）從兩地沿同一路線相向而行，而最終相遇，一般地，甲行的路程十乙行的

路程=兩地之間的距離.

2.追及問(wèn)題

其特點(diǎn)是：兩人（或物）沿同一路線、同一方向運(yùn)動(dòng)，由于位置或者出發(fā)時(shí)間不同，造成一前一后，

又因?yàn)樗俣鹊牟町愂沟煤笳咦罱K能追及前者.一般地快者行的路程一慢者行的路程=兩地之間的距離.

例題與求解

【例1】在公路上，汽車A、B、C分別以80千米/時(shí)，70千米/時(shí)，50千米/時(shí)的速度勻速行駛，

4從甲站開(kāi)往乙站，同時(shí)，8、C從乙站開(kāi)往甲站.A在與B相遇后兩小時(shí)又與C相遇，則甲、乙兩

站相距千米.

（“希望杯”競(jìng)賽試題）

解題思路：本例為直線上的相遇問(wèn)題，可依據(jù)時(shí)間關(guān)系列方程.

【例2】如圖，某人沿著邊長(zhǎng)為90來(lái)的正方形，按A-B-C-O-A…方向，甲從4以65

米/分的速度，乙從B以72米/分的速度行走，當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)在正方形的（）.

A.A3邊上B.D4邊上C.BC邊上D.CO邊上

（安徽省競(jìng)賽試題）

解題思路：本例是一個(gè)特殊的環(huán)形追及問(wèn)題，注意甲實(shí)際在乙的前面3x90=270（米）處.

【例3】亞州鐵人三項(xiàng)賽在徐州市風(fēng)光秀麗的云龍湖畔舉行.比賽程序是：運(yùn)動(dòng)員先同時(shí)下水游泳

15千米到第一換頂點(diǎn)，在第一換頂點(diǎn)整理服裝后，接著騎自行車40千米到第二換項(xiàng)點(diǎn)，再跑步10千

米到終點(diǎn).下表是亞洲鐵人三項(xiàng)賽女子組（19歲以下）三名運(yùn)動(dòng)員在比賽中的成績(jī)（游泳成績(jī)即游泳所

用時(shí)間，其他類推，表內(nèi)時(shí)間單位為秒）.

第一換項(xiàng)點(diǎn)第二換項(xiàng)點(diǎn)

運(yùn)動(dòng)員號(hào)碼游泳成績(jī)白行車成績(jī)長(zhǎng)跑成績(jī)

所用時(shí)間所用時(shí)間

1911997754927403220

19415031105686573652

1951354745351443195

（1）填空（精確到0.01）：

第191號(hào)運(yùn)動(dòng)員騎自行車的平均速度是__________米/秒；

第194號(hào)運(yùn)動(dòng)員騎自行車的平均速度是米/秒：

第195號(hào)運(yùn)動(dòng)員騎自行車的平均速摩是__________米/秒；

（2）如果運(yùn)動(dòng)員騎自行車都是勻速的，那么在騎自行車的途中，191號(hào)運(yùn)動(dòng)員會(huì)追上195號(hào)或194

號(hào)嗎？如果會(huì)，那么追上時(shí)離第一換項(xiàng)點(diǎn)有多少米（精確到001）?如果不會(huì)，為什么？

（3）如果運(yùn)動(dòng)員長(zhǎng)跑也都是勻速的，那么在長(zhǎng)跑途中這三名運(yùn)動(dòng)員有可能某人追上某人嗎？為什

么？

（江蘇省徐州市中考試題）

解題思路：從表格中獲取信息，注意速度、時(shí)間的比較是解本例的關(guān)鍵.

【例4】一小船由A港到B港順流需行6小時(shí)，由B港到A港逆流需行8小時(shí).一天，小船從早

晨6點(diǎn)由A港出發(fā)順流行至B港時(shí)，發(fā)現(xiàn)一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小時(shí)后找到救生圈，

問(wèn)：

（1）若小船按水流速度由A港漂流到B港時(shí)需多少小時(shí)？

（2）救生圈是何時(shí)掠人水中的？

（天津市中考試題）

解題思路：要求小船按水流速度由A港漂流到8港時(shí)所需時(shí)間，需求兩港間的距離及水流速度，考

慮增設(shè)輔助未知數(shù).

【例5】某鄉(xiāng)鎮(zhèn)小學(xué)到縣城參觀，規(guī)定汽車從縣城出發(fā)于上午7時(shí)到達(dá)學(xué)校后，接參觀的師生立即

HI發(fā)去縣城，由于汽車在赴校的途中發(fā)生故障，不得不停車修理，學(xué)校師生等到7時(shí)10分，仍未見(jiàn)汽

車來(lái)接，就步行走向縣城.在行進(jìn)途中遇到了已經(jīng)修理好的汽車，立即上車趕赴縣城，結(jié)果比預(yù)定到達(dá)

縣城的時(shí)間晚了半小時(shí)，如果汽車的速度是步行速度的6倍，汽車在途中排除故障花了多少時(shí)間？

（山東省中考試題）

解題思路：從題中比原定時(shí)間晚到半小時(shí)入手，選好未知量，找出汽車所用時(shí)間與師生步趕所用時(shí)

間之間的關(guān)系.依時(shí)間、速度和路程之間的關(guān)系列出方程.

【例6】甲、乙兩人分別從A,8兩地同時(shí)出發(fā)，在距離8地6千米處相遇，相遇后兩人又繼續(xù)

按原方向、原速度前進(jìn)，當(dāng)他們分別到達(dá)8地、A地后，立刻返回，又在距A地4千米處相遇，求4,

8兩地相距多少千米？

（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）

解題思路：本例有多種解法，可借助圖形輔助分析.

能力訓(xùn)練

A級(jí)

1.某人以4千米/小時(shí)的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/小時(shí)的速度從乙地返回甲地，那

么某人往返一次的平均速度是千米/小時(shí).

2.汽車以每小時(shí)72千米的速度筆直地開(kāi)向寂靜的山谷，駕駛員按一聲喇叭，4秒后聽(tīng)到回響，已

知聲音的速度是每秒340米，聽(tīng)到回響時(shí)汽車離山谷的距離是__________米.

（江蘇省競(jìng)賽試題）

3.甲、乙兩地相距70千米，有兩輛汽車同時(shí)從兩地相向出發(fā)，并連續(xù)往返于甲、乙兩地，從甲地

開(kāi)出的為第一?輛汽車，每小時(shí)行30千米，從乙地開(kāi)出的為第二輛汽車，每小時(shí)行40千米.當(dāng)從甲地開(kāi)

出的第一輛汽車第二次從甲地出發(fā)后與第二輛汽車相遇，這兩輛汽車分別行駛了千米和

__________千米.

（武漢市選拔賽試題）

4.上午9時(shí)整，時(shí)計(jì)與分針成直角，那么下一次時(shí)針與分針成直角的時(shí)間是（）.

58

A.9時(shí)30分B.10時(shí)5分C.10時(shí)5—分D.9時(shí)32—分

1111

（“希望杯”競(jìng)賽試題）

5.甲、乙兩人同時(shí)從4地到8地，如果乙的速度y保持不變，而甲先用2u的速度到達(dá)中點(diǎn)，再用

1

7u的速度到達(dá)B地，則下列結(jié)論中正確的是（).

A.甲、乙同時(shí)到達(dá)B地B.甲先到8地

C.乙先到8地D.無(wú)法確定誰(shuí)先到

6.甲與乙比賽登樓，他倆從36層的長(zhǎng)江大廈底層出發(fā)，當(dāng)甲到達(dá)6樓時(shí)，乙剛到達(dá)5樓，按此速

度，當(dāng)甲到達(dá)頂層時(shí)，乙可到達(dá)（）.

A.31層B.30層C.29層D.28層

7.如圖，甲、乙兩動(dòng)點(diǎn)分別從正方形A3CO的頂點(diǎn)A,C同時(shí)沿正方形的邊開(kāi)始移動(dòng).甲點(diǎn)依順

時(shí)針?lè)较颦h(huán)行，乙點(diǎn)依逆時(shí)針?lè)较颦h(huán)行，若乙的速度是甲的速度的4倍，則它們的第2007次相遇在邊

（）上.

A.ABB.BCC.CDD.DA

（湖北省黃岡市競(jìng)賽試題）

8.甲、乙兩列火車同時(shí)從相距120千米的兩地相向行駛，甲速為每小時(shí)84千米，乙速為每小時(shí)60

千米，則當(dāng)兩車相距24千米時(shí)行駛的時(shí)間為（）.

A.40分鐘B.1小時(shí)C.1小時(shí)或20分鐘D.40分鐘或1小時(shí)

9.有一個(gè)只允許單向通過(guò)的窄道口，通常情況下，每分鐘可以通過(guò)9人，一天王老師到達(dá)道口時(shí)，

發(fā)現(xiàn)由于擁擠，每分鐘只能有3人通過(guò)道口，此時(shí)自己前面還有36人等待通過(guò)（假定先到的先過(guò)，王

老師過(guò)道口的時(shí)間忽略不計(jì)）.通過(guò)道口后，還需7分鐘到達(dá)學(xué)校：

（1）此時(shí)，若繞道而行，要15分鐘到達(dá)學(xué)校，從節(jié)省時(shí)間考慮，王老師應(yīng)繞道去學(xué)校，還是選擇

通過(guò)擁擠的道口去學(xué)校？

（2）若在王老師等人的維持下，幾分鐘后，秩序恢復(fù)正常（維持秩序期間，每分鐘仍有3人通過(guò)

道口），結(jié)果王老師比擁擠的情況下提前了6分鐘通過(guò)進(jìn)口，求維持秩序的時(shí)間.

（江西省中考試題）

6.某商場(chǎng)有一部自動(dòng)扶梯勻速由下而_L運(yùn)動(dòng)，甲、乙二人都急于，樓辦事，囚此在乘扶梯的同時(shí)

勻速登梯，甲登了55級(jí)后到達(dá)樓上，乙登梯速度是甲的2倍（單位時(shí)間內(nèi)乙登樓級(jí)數(shù)是甲的2倍），他

登了60級(jí)后到達(dá)樓上，那么，由樓下到樓上的自動(dòng)扶梯級(jí)數(shù)為.

（北京市競(jìng)賽試題）

7.甲、乙兩同學(xué)從400米的環(huán)形跑道上的某一點(diǎn)背向出發(fā)，分別以每秒2米和每秒3米的速度慢

跑.6秒鐘后，一只小狗從甲處以每秒6米的速度向乙跑，遇到乙后，又從乙處以每秒6米的速度向甲

跑，如此往返直至甲、乙第一次相遇，那么小狗共跑了米.

8.某風(fēng)景區(qū)的旅游線路如右圖所示，其中A為入口處，B,C,。為風(fēng)景點(diǎn)，E為三岔路的交匯

點(diǎn)，圖中所給的數(shù)據(jù)為相應(yīng)兩點(diǎn)間的路程（單位：千米）.某游客從A處出發(fā)，以每小時(shí)2千米的速度

步行游覽，每到一個(gè)景點(diǎn)逗留的時(shí)間均為半小時(shí).

（1）若該游客沿跨線“A-。一。一E-A”游覽回到A處，共用去3小時(shí)，求C,E兩點(diǎn)間

的路程.

（2）若該游客從A處出發(fā)，打算在最短時(shí)間內(nèi)游完三個(gè)景點(diǎn)并返回A處（仍按上述步行速度和在

景點(diǎn)的逗留時(shí)間，不考慮其他因素），請(qǐng)你為他設(shè)計(jì)一個(gè)步行路線，并對(duì)路線設(shè)計(jì)的合理性予以說(shuō)明.

（江蘇省競(jìng)賽試題）

9.某人沿電車路行走，每12分鐘有一輛電車從后面追上，每4分鐘有一輛電車迎面開(kāi)來(lái)，假定此

人和電車都是勻速前進(jìn)，則電車是每隔多少分鐘從起點(diǎn)站開(kāi)出一輛？

（湖北省黃岡市競(jìng)賽試題）

10.如圖，甲、乙兩人分別在A,8兩地同時(shí)相向而行，于E1處相遇后，甲繼續(xù)向3地行走，乙

則休息了14分鐘，再繼續(xù)向A地行走，甲和乙到達(dá)B和A后立即折返，仍在E處相遇，己如甲每分鐘

行走60米，乙每分鐘行走80米，則A和8兩地相距多少千米？

AEB

?__________?_______________?

甲一一乙

（“華羅庚金杯”競(jìng)賽試題）專題10多變的行程問(wèn)題

例11950提示:設(shè)甲乙兩站相距S千米，則=一+2=——，解得S=1950千米

80+7080+50

例2B提示:乙第一次追上甲用了」分鐘.72x4"=7x36（）+2?x9（）

777

例3⑴8.127.037.48

（2）191號(hào)能追上194號(hào),這時(shí)離第一換項(xiàng)點(diǎn)有24037.96米⑼號(hào)不會(huì)追上195號(hào)

（3）從笫二換項(xiàng)點(diǎn)出發(fā)時(shí),195號(hào)比191號(hào)提前216秒,口長(zhǎng)跑速度比191號(hào)快，所以195號(hào)在長(zhǎng)跑

時(shí)始終在191號(hào)前面，而191號(hào)在長(zhǎng)跑時(shí)始終在194前面，故在長(zhǎng)跑時(shí)，誰(shuí)也追不上誰(shuí).

例4⑴設(shè)小船在靜水中的速度為a,水流的速度為力,由題意，得6m+〃尸8小”解得a=7A.故小船按水流

速度由

“6（67+/?）6（7Z?+Z?）48b/cIQ

A港漂流到B港所需的時(shí)間為二-----=---------=——=48小時(shí)

hhb

（2）設(shè)小船行駛x小時(shí)后救生圈掉入水中，則小船找到救生圈即小船與救生圈相遇，他們行駛的路

程如圖所示：

.

:效明■j---------------61小船J

（il）XA，--------

rfr）XI

由題意得（67+1）匕+小6岡=（6/）（白+〃）,將〃=7〃代入上式，解得x=5故救生圈是在上午II點(diǎn)掉入水中的.

例5如圖，設(shè)點(diǎn)A為縣城所在地，點(diǎn)B為學(xué)校所在地，但C為師生途中與汽車相遇之處.汽車晚到的的半

小時(shí)一方面是因晚出發(fā)了10分鐘,另一方面是從B到C由于步行代替乘車而多花了20分鐘.若設(shè)汽車從

C到B需要X分鐘，則師生從B到C應(yīng)花（盧20）分鐘，由于汽車日C到B與師生從B到C的路程相等由時(shí)

間與速度成反比可得」一=」解得I

x+206

??B

C

故排除故障花的時(shí)間為4x2+30=38分鐘

例6解法一:第一次相遇時(shí)，甲乙兩人所走的路程之和，正好是A4兩地相距的路程，即當(dāng)甲乙合走完44

間的全部路程

（甲M四（乙）

時(shí)，乙走了6千米.第二次相遇時(shí)，兩人合走的路程恰為兩地間距離的3倍（如圖，圖中實(shí)線表示甲走的

路程，虛線表示乙走的路程），因此，這時(shí)乙走的路程應(yīng)為6x3=18千米.考慮到乙從B地走到A地后

又返回了4千米，所以A,B兩地間的距離為18-4=14千米.

解法二:甲、乙兩人同時(shí)出發(fā)，相向而行，到相遇時(shí)兩人所走時(shí)間相等，又因?yàn)閮扇硕甲鰟蛩龠\(yùn)動(dòng)，應(yīng)有:

兩人速度之比等于他們所走路程之比，且相同時(shí)間走過(guò)的路程亦成正比例.到第一次相遇，甲走了（全程

-6）千米，乙走了6千米;到第二次相遇，甲走了（2x全程-4）千米，乙走了（全程+4）千米.

設(shè)全程為S,則可列方程無(wú)9二蘭二士.

6S+4

解得加=14,S2=0（舍去）.

故A,B兩地相距14千米.

解法三:設(shè)全程為S千米，甲、乙兩人速度分別為h為v,

工色①

則1%%

J2s-4S+4小

------=------②

匕打

①?②得-9=)一,解得S=14或5=0(舍去)

2S-4S+4

故A.B兩地相距14千米.

A級(jí)

1.4.82.640

3.150200提示：設(shè)第一輛車行駛了(140十X)千米，則第二輛車行駛了

(l40+x)xg=140+(46|+qJ千米，由題意得

A+f46-+-x|=70,解得x=10.

I33J

4D提示:因?yàn)榉轴樏糠昼娹D(zhuǎn)6°,時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)(g),設(shè)兩針從上午9時(shí)開(kāi)始，工分鐘后兩針成直角，

由題意知61+90+(90-，二|二360解得工=32色.

I2)11

QVs

5C6.C提示：-=—=7.C8.D

S乙V乙4

9.(1)因至+7=19>15，故王老師應(yīng)選擇繞道去學(xué)校.

3

⑵設(shè)維持秩序時(shí)間為t,則+葛3)=6,解得t=3(分鐘).

10.設(shè)此人從家里出發(fā)到火車開(kāi)車的時(shí)間為X小時(shí)，由題意得30(x15、(15、

--=18x+—,解得x=l.

60)(60)

'15](15)

30xx----30x1--

、60；160J

此人打算在火車前10分鐘到達(dá)火車站，騎摩托車的速度應(yīng)為——_10=_10=271

X

.60—60

時(shí).

11.設(shè)火車的速度為X米/秒，由題意得(?1)x22=(x-3)x26,解得k14.

故火車的車身長(zhǎng)為(14-1)x22=286米.

B級(jí)

b+a

1------

b-a

27.5提示：先求出甲、乙兩車速度和為料=20米/秒.

10

9()

3.20或3

3

4.D提示:設(shè)三個(gè)等長(zhǎng)路段的路程均為S,則平均速度為

3S

SSS

——F---1----

H%匕

5D提示:考慮兩船同時(shí)先順?biāo)叫械那樾危O(shè)想乙船在靜水中的速度接近水流的速度，則它將遲遲難以

返航.而甲先返回A港，類似的可考慮兩船同時(shí)先逆水航行的情形.

6667.444

8(l)CE=0.6千米.(2)基本的行走路線有兩條:一是A—D—C—B—ETA(或A—E-B—C-D—A)，總時(shí)

間為4小時(shí);二是A—D—C—ETB—E—A(或E-C-D-A),總時(shí)間為3.9小時(shí).

9設(shè)電車速度為九人速為X,目車每隔，分鐘開(kāi)出一輛，則每?jī)奢v電車之間的距離W，對(duì)于迎面來(lái)的電

車，這個(gè)距離是人與電車共同走4分鐘完成的，對(duì)于后面追上的電車，兩輛電車之間的距離是電車在12

分鐘追上起始時(shí)的距離，由題意得4u+4x=i〃=12u-12x,解得仁6分鐘.

+4x7Y

10.AE:BE=60:80=3:4,設(shè)AE=3乂BE=4x,從而AB=7x(米).由題意得一----=—~~—+14,解得

6080

x=240,故AB=7戶7x240=1680米.

專題11設(shè)元的技巧

閱讀與思考

應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要目的之一.應(yīng)用題聯(lián)系實(shí)際，

反映現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)解應(yīng)用題可以培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去分析和解決問(wèn)題的能

力.

列方程解應(yīng)用題，一般有審題、設(shè)元、布列方程、解方程、作答等幾個(gè)步驟.恰當(dāng)

地設(shè)元是列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵步驟之一，常見(jiàn)的設(shè)元技巧有：

1.直接設(shè)元

題目要求什么量，就設(shè)什么量為未知數(shù)，或有幾個(gè)要求的量，而設(shè)其中的某一個(gè)量

為未知數(shù).

2.間接設(shè)元

即所沒(méi)的不是所求的，適當(dāng)?shù)剡x擇與題目要求的未知數(shù)有關(guān)的某個(gè)量為未知數(shù)，則

易找出符合題意的數(shù)量關(guān)系，從而列出方程.

3.輔助設(shè)元

有些應(yīng)用題中隱含一些未知的常量，這些量對(duì)于求解無(wú)直接聯(lián)系，但如果不指明這

些量的存在，則難求其解，因而需把這些未知的常量設(shè)為參數(shù)，作為橋梁幫助思考，這就

是輔助設(shè)元.

4.整體設(shè)元

有些應(yīng)用題未知量太多而已知關(guān)系又少，如果在未知數(shù)的某一部分存在一個(gè)整體

關(guān)系，可設(shè)這一部分為一個(gè)未知數(shù)，這樣就減少了設(shè)元的個(gè)數(shù)，這就是整體設(shè)元.

例題與求解

［例1］某編輯用0?9這10個(gè)數(shù)字給一本書(shū)的各頁(yè)標(biāo)上頁(yè)碼，若共寫(xiě)了636個(gè)數(shù)

字，則該書(shū)有一頁(yè).

解題思路：依題意可知該書(shū)頁(yè)碼的數(shù)字組成有三種：一個(gè)數(shù)字、兩個(gè)數(shù)字、三個(gè)

數(shù)字.一共有636個(gè)數(shù)字，可設(shè)直接未知數(shù)，列方程求解.

找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的一個(gè)相等關(guān)系是列方程解應(yīng)用題又一關(guān)鍵.尋找

相等關(guān)系常用方法有：

①?gòu)年P(guān)鍵詞中尋找相等關(guān)系；

②利用基本公式尋找相等關(guān)系；

③利用不變量尋找相等關(guān)系；

④對(duì)一種“量”，從不同的角度進(jìn)行表述（即計(jì)算兩次），形成一種相等關(guān)系.

行程問(wèn)題、工程問(wèn)題、勞力分配問(wèn)題、濃度問(wèn)題、數(shù)字問(wèn)題等是列方程解應(yīng)用題

的基本類型，此外，還有趣味問(wèn)題（如年齡、時(shí)鐘等）、經(jīng)濟(jì)問(wèn)題（如銀行存款、銷售利潤(rùn)

等），盡管形式多變，但是解題實(shí)質(zhì)未變，需要我們用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，理清數(shù)量關(guān)系，恰當(dāng)設(shè)未

知數(shù)，準(zhǔn)確列方程.

【例2】某服裝廠生產(chǎn)某種定型冬裝，9月份銷售冬裝的利潤(rùn)（每件冬裝的利潤(rùn)=

出廠價(jià)一成本）是出廠價(jià)的25%,10月份將每件冬裝的出廠價(jià)調(diào)低10%（每件冬裝的成本

不變），銷售件數(shù)比9月份增加80%,那么該廠10月份銷售這種冬裝的利潤(rùn)總額比9月份

的利潤(rùn)總額增長(zhǎng)（）。

A.2%B.8%C.40.0%D.62%

（江蘇省競(jìng)賽試題）

解題思路：設(shè)出與總額相關(guān)的量：出廠價(jià)、銷售件數(shù).

解決以實(shí)際生活為情景的應(yīng)用題時(shí)，需要具備一定的優(yōu)化意識(shí)和估算決策能力.

［例3］某音樂(lè)廳決定月初在暑假期間舉辦學(xué)生專場(chǎng)音樂(lè)會(huì)，入場(chǎng)券分為團(tuán)體票

和零售票，其中團(tuán)體票占總票數(shù)的二，若提前購(gòu)票，則給予不同程度的優(yōu)惠，在五月份內(nèi)，

3

團(tuán)體票每張12元，共售出團(tuán)體票數(shù)的|；零售票每張16元，共售出零售票數(shù)的一半，如

果在六月份內(nèi)，團(tuán)體票按每張16元出售，并計(jì)劃在六月份內(nèi)售出全部余票，那么零售票應(yīng)

按每張多少元定價(jià)才能使這兩個(gè)月的票款收入持平？

（北京市東城區(qū)中考試題）

解題思路：票款與票數(shù)、票價(jià)有關(guān)，故既要用字母表示六月份零售價(jià)，乂要用字

母表示總票數(shù).

與商品利潤(rùn)相關(guān)的基本知識(shí)：

①利潤(rùn)率=X100%；

進(jìn)貨價(jià)

②利潤(rùn)=售出價(jià)一進(jìn)貨價(jià)；

③售出價(jià)=利潤(rùn)+進(jìn)貨價(jià)=進(jìn)貸價(jià)X（1+利澗率）.

［例4］為了加強(qiáng)公民的節(jié)水意識(shí)，合理利用水資源，某市采用價(jià)格調(diào)控的手段達(dá)到

節(jié)水的目的，該市自來(lái)水收費(fèi)價(jià)格見(jiàn)價(jià)目表.

價(jià)目表

每月用水量單價(jià)

不超過(guò)6/的部分2元//

超過(guò)3—不超出10—的部

4元/背

分

超出10萬(wàn)的部分8元//

注：水費(fèi)按月結(jié)算.

若某居民1月份用水8人則應(yīng)收水費(fèi)2X6+4X（8-6）=20（元）.

（1）若該戶居民2月份用水12.5則應(yīng)收水費(fèi)元.

（2）若該戶居民3,4月份共用水15/6月份用水量超過(guò)3月份），共交水費(fèi)44元，

則該居民3,4月份各用水多少立方米？

（江蘇省揚(yáng)州市中考試題）

解題思路：第（1）問(wèn)須分段計(jì)費(fèi)；第⑵問(wèn)設(shè)3月扮用水量為x/,則4月份用水量為

（15-x）/,分兩種情況進(jìn)行討論.

【例5】4屬。三個(gè)微型機(jī)器人圍繞一個(gè)圓形軌道高速運(yùn)動(dòng)，它們順時(shí)針同時(shí)同

地出發(fā)后，力在2秒鐘時(shí)追上8,2.5秒鐘時(shí)追上C,當(dāng)。追上8時(shí)，C和8的運(yùn)動(dòng)路程之

匕是3：2,問(wèn)第1分鐘時(shí)，力圍繞這個(gè)圓形軌道運(yùn)動(dòng)了多少圈？

（“華羅庚金杯”競(jìng)賽試題）

解題思路：要充分運(yùn)用問(wèn)題中的等量關(guān)系，需設(shè)出48C三個(gè)微型機(jī)器人的速

度、圓形軌道長(zhǎng)等多個(gè)未知數(shù).

【例6】有一片牧場(chǎng)，草每天都在勻速地生長(zhǎng)（即草每天增長(zhǎng)的量相等），如果放

牧24頭牛，則6天吃完牧草；如果放牧21頭牛，則B天吃完牧草.設(shè)每頭牛每天吃草的

星是相等的，問(wèn)：

（1）如果放牧16頭牛，幾天可以吃完牧草？

（2）要使牧草永遠(yuǎn)吃不完，至多放牧幾頭牛？

（全國(guó)數(shù)學(xué)通訊賽試題）

解題思路：此題可采取設(shè)定多個(gè)間接未知數(shù)的解決方法.

能力訓(xùn)練

A組

1.光明中學(xué)七年級(jí)一、二、三班，向希望學(xué)校共捐書(shū)385本，一班與二班捐書(shū)的本數(shù)

之比為4：3,一班與三班捐書(shū)的本數(shù)之比為6：7,那么二班捐書(shū)______本.

（北京市“迎春杯”競(jìng)賽試題）

2.一個(gè)六位數(shù)1abcde的3倍等于abedel,則這個(gè)六位數(shù)為.

（黑龍江省競(jìng)賽試題）

3.某種電器產(chǎn)品，每件若以原定價(jià)的9.5折銷售，可獲利150元，若以原定價(jià)的7.5

折銷售，則虧損50元.該種商品每件的進(jìn)價(jià)為元.

（“希望杯”競(jìng)賽試題）

4.某出租汽車的車費(fèi)是這樣計(jì)算的：路程在4公里以內(nèi)（含4公里）為10.40元；達(dá)

到4公里以后，每增加1公里加1.60元；達(dá)到15公里后，每增加1公里加2.40元.增

加不足1公里時(shí)按四舍五人計(jì)算.則乘坐15公里該種出租車應(yīng)交車費(fèi)一元.某乘客乘坐

該種出租車交了車費(fèi)95.20元，則這個(gè)乘客乘該出租車行駛的路程為公里.（精確

到兩位小數(shù)）

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

5.甲、乙兩種茶葉，以（重量比）相混合制成一種混合茶，甲種茶葉的價(jià)格每千

克50元，乙種茶葉的價(jià)格每千克40元，現(xiàn)在甲種茶葉的價(jià)格上調(diào)了10版乙種茶葉的價(jià)

格下調(diào)了10%,但混合茶的價(jià)格不變，則等于（）.

A.1:1B.5:4C.4:5D.5:6

（北京市競(jìng)賽試題）

6.某城市按以下規(guī)定收取每月煤氣費(fèi)：用煤氣如果不超過(guò)60立方米.按每立方米0.8

元收費(fèi)；如果超過(guò)60立方米，超過(guò)部分接每立方米1.2元收費(fèi).己知某用戶4月份的煤氣

費(fèi)平均每立方米0.88元，那么，4月份這用戶應(yīng)交煤氣費(fèi)（）.

A.60元B.66元C.75元D.78元

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

7.植樹(shù)節(jié)時(shí)，某班平均每人植樹(shù)6棵，如果只由女同學(xué)完成，每人應(yīng)植樹(shù)15棵；如

果只由男同學(xué)完成，每人應(yīng)植樹(shù)（）棵.

A.9B.10C.12D.14

（四川省競(jìng)賽試題）

8.某服裝商販同時(shí)賣出兩套服裝，每套均賣168元，以成本計(jì)算，其中一套盈利20%,

另一套虧本20%則這次出售中商販（）.

A.不賺不賠B.賺37.2元C.賺14元D.賠14元

9.從兩塊重量分別為6千克和4千克且含銀的百分?jǐn)?shù)不同的合金上切下重量相等的兩

塊，把所切下的每塊分別和另一塊切剩的合金放在一起，熔煉后，兩塊合金的含銀的百分

數(shù)相同，求所切下的合金的重量是多少？

10.陳老師為學(xué)校購(gòu)買(mǎi)運(yùn)動(dòng)會(huì)的獎(jiǎng)品后，回學(xué)校向后勤處王老師交賬說(shuō)：“我買(mǎi)了兩種

書(shū)，共105本，單價(jià)分別為8元和12元，買(mǎi)書(shū)前我領(lǐng)了15。。元，現(xiàn)在還余418元，”王老

師算了一下，說(shuō)：“你肯定弄錯(cuò)了

（1）王老師為什么說(shuō)他弄錯(cuò)了？試用方程的知識(shí)加以解釋；

（2）陳老師連忙拿出購(gòu)物發(fā)票，發(fā)現(xiàn)的確弄錯(cuò)了，因?yàn)樗€買(mǎi)了一個(gè)筆記本，但筆記本

的單價(jià)已模糊不清，只能辨認(rèn)出應(yīng)是小于10的整數(shù)，筆記本的單價(jià)可能為多少元？

（四川省資陽(yáng)市中考試題）

B級(jí)

1.一幢樓房?jī)?nèi)住有6家住戶，分別姓趙、錢(qián)、孫、李、周、吳，這幢樓住戶共訂有人

B,C,D,E,尸六種報(bào)紙，每戶至少訂了一種報(bào)紙，已知趙、錢(qián)、孫、李、周分別訂了其

中2,2,4,3,5種報(bào)紙.而4B,QD,￡五種報(bào)紙?jiān)谶@幢樓里分別有1,4,2,2,2家

訂戶，那么吳姓住戶訂有一種報(bào)紙，報(bào)紙產(chǎn)在這幢樓里有一家訂戶.

（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）

2.某人購(gòu)買(mǎi)鋼筆和圓珠筆各若干支，鋼筆的價(jià)格是圓珠筆價(jià)格的2倍，付款時(shí)，發(fā)現(xiàn)

所買(mǎi)兩種筆的數(shù)量是顛倒了，因此，比計(jì)劃支出增加了50%,則此人原計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)鋼筆與圓

珠筆數(shù)量的比為.

（天津市競(jìng)賽試題）

3.為使某項(xiàng)工程提前20天完成任務(wù)，需將原定工作效率提高25%,則原計(jì)劃完成這

項(xiàng)工程需要_______天.

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

4.右邊算式中，每個(gè)漢字代表1個(gè)數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，已知“神”一

。,那么被乘數(shù)是.

神舟十號(hào)飛天

x神

飛天神舟五號(hào)

5.一艘輪船從月港到6港順?biāo)叫?，?小時(shí)，從6港到力港逆水需8小時(shí)，若在

靜水條件下，從力港到6港需（）小時(shí).

A.7B.7-C.6-D.6-

272

（五城市聯(lián)賽試題）

6.某商品連續(xù)兩次提價(jià)10%,又提價(jià)5樂(lè)要恢復(fù)原價(jià)，至少應(yīng)降價(jià)X％（x為整數(shù)），則

4=（）.

A.20B.21C.22D.23

7.如圖，是一塊在電腦屏幕上出現(xiàn)的矩形色塊圖，由6個(gè)不同顏色的正方形組成，已

知中間最小的一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1,那么這個(gè)長(zhǎng)方形色塊圖的面積為多少？

（山東省濟(jì)南市中考試題）

8.自行車輪胎，安裝在后輪上，只能行駛3000就就要報(bào)廢，安裝在前輪上，則行駛

5000筋才報(bào)廢.為使一對(duì)輪胎能在行駛盡可能多的路程后才報(bào)廢，在自行車行駛一定路

程后，就將前后輪調(diào)整，這樣安裝在自行車上的一對(duì)輪胎最多可行駛多少千米？

（《時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào)》數(shù)學(xué)文化節(jié)試題）

9.山腳下有一池塘，ill泉以固定的流量（即單位時(shí)間里流入池中的水量相同）不停地

向池塘內(nèi)流淌，現(xiàn)池塘中有一定深度的水，若用一臺(tái).4型抽水機(jī)，1小時(shí)后正好能把池塘

中的水抽憲，若用兩臺(tái)力型抽水機(jī)20分鐘正好把池塘中水抽完。問(wèn)若用三臺(tái)/型抽水機(jī)同

時(shí)抽水，則需要多長(zhǎng)時(shí)間恰好把池塘中的水抽完？

（江蘇省競(jìng)賽試題）

專題11設(shè)元的技巧

例1248提示:設(shè)該書(shū)有X頁(yè)，則可列方程（x-99）x3+90x2+9=636,解得x=248頁(yè).

例2B提示:設(shè)9月份每件冬裝的出廠價(jià)為x元，9月份銷售冬裝m件，則

0.15xx1.8〃?一0.2547〃

---------------------------------=0/0?

0.25x〃z

例3設(shè)總票數(shù)為。張，六月份零售票應(yīng)按每張1元定價(jià)，

748641

則一a+—a——a+—ax,解得x=19.2元.

53156

例4（1）應(yīng)收水費(fèi)2、6+4乂（10-6）+8、（12.5—10）=48元.

⑵設(shè)三月份用水量為x",則四月份用水量為(i5?x)nr?.若x<6,15-x<10時(shí)，則

2x+[2x64-4(15-x-6)]=44,解得，x=2(舍去)；若x<6,15-x>10時(shí)，則

2X+[2X6+4X4+8(15-A:-I0)]=44,解得x=4；

若x>6,由題意知x<10,則15-xvlO,則2x6-4x(x-6)+12x6+4(15—工-〃)]=44,無(wú)解.

所以三月份用水4加3,四月份用水ll//.例542圈提示：設(shè)4,B,C三個(gè)微型機(jī)器人的速度分

S55

-s__s_

-2,2

別為u,v和圓形軌道周長(zhǎng)是S,『

w,-VM2-2.5

3S

有

代

中

又

-入757S

22---V

②.解①和②，得得〃=To,Iox60=42S.

故第一分鐘時(shí)，A圍繞這個(gè)圓形軌道運(yùn)動(dòng)了42圈.

例6(1)設(shè)牧場(chǎng)原有草量為〃，每天生長(zhǎng)出的草量為兒每頭牛每天吃草量為c,16頭牛x天吃完草，由

題意得：

。+68=24x6c?①

?〃+80=21x8c②.

a+bx=16ct③

②一①得〃=12。④，

③一②得(x—8)b=(16.r-168)c⑤，

將④代人⑤得(”―8)?12c=(16x-168)c,解得x=18.

(2)設(shè)至多放牧)，頭牛，牧草才永遠(yuǎn)吃不完，則有c)W),即每天吃的草不能多于生長(zhǎng)的草，)4=12.

A級(jí)

199

2.142857提示：設(shè)abcde=%,則3(100000+x)=/0x+l,解得％=42857.故這個(gè)六位數(shù)為142857.

9575

3800提示：設(shè)該商品的原定價(jià)為x元，由題意有：TQX—I50=TT-X4-50,解得X=1000.

故該商品每件的進(jìn)價(jià)為1OOOx-j^+50=8007E.

430.4043提示：(1)注意，到15千米時(shí)剛好跳表，所以要加上2.4元，不要漏了.(2)設(shè)所行路程

為x公里，則2.40x。-15)+28.00=95.20.

5.C6.B

7.B提示：設(shè)分別有男、女同學(xué)x,y人,則15y=6(x+y),x=|y.則男同學(xué)完成每人應(yīng)植樹(shù)6(x+yHx

=10棵.

8.D

/>X+(/Lx)a

9.設(shè)所切下的合金重量為x千克，重6千克，4千克的合金含銀的百分?jǐn)?shù)分別為〃，伙a處),

6

at+(4—x)6

=4解得x=2.4.

10.(1)設(shè)單價(jià)為8元的課外書(shū)為x本，由8x+l2(IO5-x)=1500-418,解得x=44.5(不合題意)，所

以陳老師肯定弄錯(cuò)了.

⑵設(shè)單價(jià)為8元的課外書(shū)為)，本，筆記本的單價(jià)為。元，則8)，+(105—)，)xl2=1500—418—〃,即178

+o=4.y,178+a應(yīng)被4整除，?=2,4,6,8,經(jīng)討論。=2或6.

B級(jí)

I.16提示：設(shè)吳姓住戶訂有工種報(bào)紙，報(bào)紙尸在這幢樓里有)，家訂戶，其中x,y為啟1,.怯6的

整數(shù)，由題意得2+2+4+3+5+x=1+4+2+2+2+y,解得x=l,y=6.

2.1：4提示：設(shè)原計(jì)劃賄買(mǎi)鋼筆x支，圓珠筆)，支，圓珠筆的價(jià)格為k元，由題意得(2kx+ky)x(l

+50%)=2心，+丘，解得y=4x.

3.100

4.307692提示：設(shè)“神舟十號(hào)”=A,“飛天”=4則3x(1004+8)=100004+A,得234=769&又

(23,769)=1,故/3=23〃，A=769〃，〃為自然數(shù)且29".經(jīng)討論〃=4可行，從而4=3076,5

=92.

5.C提示：設(shè)A港到8港路程為5,靜水速度和水流速度分別為V船，V水.則

SSI

v=6……①，v，-/=8……②，則6(丫制+丫水)=8(丫儡一"水)，得丫嫡=7丫水.把V水=:yV

船代入①中'得—=6,故*=6*

%+飆47

6.C

7.143提示：設(shè)C,。的邊長(zhǎng)為X,貝ijE,F,6的邊長(zhǎng)分別為％十1,x十2,2x~1,由題意得(x+1)

+(x+2)=x+(2.x—1),解得x=4.也可用x+3表示出8的邊長(zhǎng)，則X+3=2A—1,更易求得X

=4.

8.設(shè)自行車行駛了xkm后，互換前、后輪胎再行駛，致使兩只輪胎同時(shí)報(bào)廢，因此，前輪胎還可行駛

3

(5000—x)km.后輪胎還可行駛(3000—x)km.當(dāng)前后輪胎互換后，還可行駛，并有(5000—x)x§=(3000

-A)X|.解此方程，有《一,)x=2000,解得X=1875.這就是說(shuō)，當(dāng)自行車行駛了1875km后，互

換前后輪胎，這樣還可行駛(5(X)0—1875)x,=1875km.故最多可行駛3750km.

9.設(shè)流水的速度為工米3/分，池塘原有水)，米3,每臺(tái)A型抽水機(jī)抽水效率為Z米3/分，三臺(tái)A型抽

水機(jī)需t分鐘把池塘中水抽完，由題意得

>'+60.v=60z①

<>'+20.v=40z②.

.y+/x=3/2③

②一①，得z-=2-x…④

③一②，得(20-t)x=(40-3/)