2024初中數學競賽七年級競賽輔導講義七年級專題01 質數那些事

2024初中數學競賽七年級競賽輔導講義七年級競賽專題01

質數那些事

閱讀與思考

一個大于1的自然數如果只能被1和本身整除，就叫作質數(也叫素數)：如果能被1和本身以外的

自然數整除，就叫作合數；自然數?既不是質數，也不是合數，叫作單位數.這樣，我們可以按約數個

數將正整數分為三類：

’單位1

正整數質數

合數

關于質數、合數有下列重要性質：

1.質數有無窮多個，最小H勺質數是2,但不存在最大的質數，最小的合數是4.

2.1既不是質數，也不是合數；2是唯一的偶質數.

3.若質數pIab,則必有p|?；颉?

4.算術基本定理：任意一個大于1的整數N能唯一地分解成攵個質因數的乘積(不考慮質因數之間

的順序關系):

N=甲岑2冗，，其中片〈鳥〈…〈4，，為質數，〃，為非負數(i=l,2,3,…，k).

正整數N的正約數的個數為(1+q)(1+〃)??(1+卬),所有正約數的和為(I+<+…+P；1')(1+2

+???+邛2)…(1+&+???+).

例題與求解

【例1】已知三個質數a,b,c滿足〃+〃+c+〃儀:=99,那么,一百+快一。|+上一。|的值等于

(江蘇省競賽試題)

解題思想：運用質數性質，結合奇偶性分析，推出a,b,c的值.

【例2】若〃為質數，+5仍為質數，則〃$+7為()

A.質數B.可為質數，也可為合數

C.合數D.既不是質數，也不是合數

(湖北省黃岡市競賽試題)

解題思想：從簡單情形入手，實驗、歸納與猜想.

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【例3】求這樣的質數，當它加上10和14時，仍為質數.

(上海市競賽試題)

解題思想：由于質數的分布不規(guī)則，不妨從最小的質數開始進行實驗，另外，需考慮這洋的質數是

否唯一，按剩余類加以深入討論.

【例4】(1)將1,2,…，2004這2004個數隨意排成一行，得到一個數〃，求證：〃一定是合數.

⑵若〃是大于2的正整數，求證：2〃-1與2"+1中至多有一個質數.

(3)求360的所有正約數的倒數和.

(江蘇發(fā)競賽試題)

解題思想：⑴將1到2004隨意排成一行，由于中間的數很多，不可能一一排出，不妨找出無論怎

樣排，所得數都有非1和本身的約數；⑵只需說明2〃-1與2”+1中必有一個是合數，不能同為質數即

可；⑶逐個求解正約數太麻煩，考慮整體求解.

1I7

【例5】設x和y是正整數，xWy,〃是奇質數，并且一+一二一，求x+y的值.

xyP

解題思想：由題意變形得出〃整除X或y,不妨設x=由質數的定義得到2/—1=1或2Z—

l=p.由xHy及2/—1為質數即可得出結論.

【例6】若一個質數的各位數碼經任意排列后仍然是質數，則稱它是一個“絕對質數”［如2,3,5,

7,II,13(31),17(71),37(73),79(97),113(131,311),199(919,991),337(373,733),…都是質數］.求

iE：絕對質數的各位數碼不能同時出現數碼1,3,7,9.

(青少年國際城市邀請賽試題)

解題思想：一個絕對質數如果同時含有數字1,3,7,9,則在這個質數的十進制表示中，不可能含

有數字0,2,4,5,6,8,否則，進行適當排列后，這個數能被2或5整除.

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能力訓練

A級

1.若a,b,c,d為整數，（/+-2）/2+儲）=1997,則/+從+c'+d2G.

2.在1,2,3,…，〃這個〃自然數中，已知共有〃個質數，q個合數，々個奇數，陽個偶數，

則（q—tn）+（p-k）=__________.

3.設〃，〃為自然數，滿足1176。=/,則。的最小值為.

（“希望杯”邃請賽試題）

4.已知〃是質數，并且p0+3也是質數，則〃”一48的值為.

（北京市競賽試題）

5.任意調換12345各數位上數字的位置，所得的五位數中質數的個數是（）

A.4B.BC.12D.0

6.在2005,2007,2009這三個數中，質數有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

（“希望杯”邀請賽試題）

7.一個兩位數的個位數字和十位數字變換位置后，所得的數比原來的數大9,這樣的兩位中，質數

有（）

A.1個B.3個C.5個D.6個

（“希望杯”邀請賽試題）

8.設〃，q,，?都是質數，并且=r，p〈q.求

9.寫出十個連續(xù)的自然數，使得個個都是合數.

（上海市競賽試題）

10.在黑板上寫出下面的數2,3,4,…，1994,甲先擦去其中的一個數，然后乙再擦去一個數，

如此輪流下去，若最后剩下的兩個數互質，則甲勝：若最后剩下的兩個數不互質，則乙勝，你如果想勝,

應當選甲還是選乙？說明理由.

（五城市聯(lián)賽試題）

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8.請同時取六個互異的自然數，使它們同時滿足：

⑴6個數中任意兩個都互質；

⑵6個數任取2個，3個，4個，5個，6個數之和都是合數，并簡述選擇的數符合條件的理由.

9.已知正整數p,9都是質數，并且7〃+〃與的+11也都是質數，試求〃夕+/的值.

(沏北省荊州市競賽試題)

10.41名運動員所穿運動衣號碼是1,2,…，40,41這41個自然數，問：

(1)能否使這41名運動員站成一排，使得任意兩個相鄰運動員的號碼之和是質數？

(2)能否讓這41名運動員站成一圈，使得任意兩個相鄰運動員的號碼之和都是質數？若能辦

到，請舉出一例;若不能辦到，請說明理由.

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專題01質數那些事

例134

例2C

例33符合要求提示：當p=3A+l時，〃+10=3k+U,〃+14=3伏+5),顯然〃+14是合數，當p=3A

+2時，〃+10=3(k+4)是合數，當p=3k時，只有七1才符合題意.

例4(1)因1+2+…+2004=工X2004X(1+2004)=1002X2005為3的倍數，故無論怎樣交換這2004

2

個數的順序，所得數都有3這個約數.

(2)因〃是大于2的正整數，則2"—127,2"—1、2"、2"+1是不小于7的三個連續(xù)的正整數，

其中必有一個被3整除，但3不整除2",故2"—1與2"+1中至多有一個數是質數.

(3)設正整數。的所有正約數之和為44，%&，…，4,為。的正約數從小到大的排列，

于是4=1,4』.由于S=」-+'-+,+…+’中各分數分母的最小公倍數4t=〃，故

4444,

S旦+媼+...攻=4+出+…4=匕,rfn67=360=23X32X5,故(1+2+2?+23)X(1

d

nd〃dndHa

-1-3432)x(H5)=1170.-=1122=31.

a3604

例5由止2=2,得x+產型=&.a為正整數)，可得與口切，所以〃整除2。且〃為奇質數，故

盯pP

p整除x或＞,?不放設x=(p,則tp+y=2ty,得產”為整數.又/與2/—1互質，故2t~1整除p,

2/-1

x+v2

p為質數，所以It—1=1或2t—\=p.若2/—1=,得t=\,x=y=p,與x=^y矛盾；若2r—l=p,則:----=—,

肛P

2A尸p(x+y).???〃是奇質數，則x+y為偶數，x、y同奇偶性，只能同為孫="必有某數含

因數p.令x=ap,,2ay=ap-\-y."":故a,2a~\互質，2a~\整除p,又〃

22a-}

口武除.P+1抬〃+l"(P+I)..”(P+I),P+1(P+I)2

是質數,則2?！?=〃,a-----,故x=------p=--------,.,x+y=--------+-----=-------。

222'222

例6設N是一個同時含有數字1,3,7,9的絕對質數.因為心=7931,L=1793,k2=9137,k3=7913,

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3=7193,公二1937,%6=7139除以7所得余數分別為0,1,2,3,4,5,6.故如下7個正整數:

4

N。=GG…*7931=LL1O+A:O,

N]=GG…C,T1793=LL?104+匕，

4

N(、=C,C2…C〃T7139=LL10+/:6,

其中，一定有一個能被7整除，則這個數就不是質數，故矛盾.

A級

1.19982.-13.634.20005.D6.A7.B

8.由『p+q可知r不是最小的質數，則為奇數，故p,q為一奇?偶，又因為故〃既是質數又

是偶數，則片2.

9.設十個連續(xù)合數為2+2,A+設&+4,…，2+10,2+11,這里火為自然數,則只要取火是2,3,4,…，

II的倍數即可.

10.選甲.提示：相鄰的兩個自然數總是互質數，把相鄰自然數兩兩分為一組，這兩數總是互質的，(2,

3),(4,5),(6,7),(1992,1993),1994,甲擦掉1994,無論乙擦哪一個數，甲就擦那一組

的另一數，以此類推，最后還剩一對互質數.

II.設這塊地面積為S,則S=〃/=(〃十］24)j2.

n(x2-y2)=\24y2Vx>.v(x,y)=1

/.(x2,y2)=1(x2-y2,y2)=1得/一)，2|]24

V124=22X3I,x2-y2=(x+y)(x-y)

*?尸31，或x+y=62

x-y=2

x=16x=32

,或，(舍)

y=\5Iy=30

2

n=124v

此時~i---7=900.

%-y

S=nx2=900X162=230400c/??2=23.04〃J。

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B級

1.19或25

31

2.—提不：q=mn,則〃?、〃只能一個為1,另一個為q.

3.133234.2001

5.B提示：唯有a=2.42089-2"=2089—2048=41是質數，符合題意.

6.A提示：當a=3時，符合題意；當oW30寸，/被3處余匕設。2=3〃+1,則7/+8=21〃+15,

8。2+7=24〃+15,它們都不是質數,與條件矛盾.故4=3.

7.a2-a,b2-b,c2-c,d'-d都是偶數，即M=(/+從+C?+c/)一(〃+0+c+d)是偶數.因

222222

為。2+/1+/,所以/+/+/+d=2(a+/)是偶數,從而有?+/?+c+d=(tz+b+c+d)

—M=2(/+〃)—M,它一定是偶數，但a+〃+c+d>2,于是a+A+c+d是個合數.

8.取六個數4=iX(lX2X3X4X5X6)+l(/=1,2,…，6),則其中任意兩個數都是互質的，事實

上，假設S與M不互質，設d是s與的的最大公約數，則4必是(5-2)XlX2X3X4X5X6,即3X1

X2X3X4X5X6的一個因子，但從公=2X1X2X3X4X5X6+1知，d不整除例，這與假設d是。2

與的的最大公約數矛盾，故做與的互質.

9.由pq+11>11且pq+11是質數知，pg+11必為正奇數，從而p=2或q=2.

(I)若〃=2,此時7p+q及2g+11均為質數.設g=3A+l,則q+14=3(2+5)不是質數;設q=3A+2,

則2q+ll=3(2k+5)不是質數，因此q應為弘型的質數，當然只能是夕=3.

(2)若g=2,此時7p+q與2p+ll均為質數，設〃=3A+1,則7p+2=3(7k+3)不是質數；設〃=34

+2,則2p+l1=3(24+5)不是質數，因此，〃應為弘型的質數，“=3.綜合(1),(2)知〃=3,q=2

或p=2,q=3,所以“，十必=17.

10.(1)能辦到提示：注意到41與43都是質數，據題意，要使相鄰兩數的和都是質數，顯然它們只

能都是奇數，因此，在這排數中只能一奇一偶相間排列：不妨先將奇數排成一排：1，3,5,7,…,41,

在每兩數之間留空，然后將所有的偶數依次反序插在各空白中，得I,40,3,38,5,36,7,34,…，

8,35,6,37,4,39,2,41.這樣任何相鄰兩數之和都是41或43.滿足題目要求.

(2)不能辦到提示：若把1,2,3,…，40,41排成一圈，要使相鄰兩數的和為質數，這些質數都

是奇數，故圓圈上任何相鄰兩數必為一奇一偶.但現有20個偶數，21個奇數，總共是41個號碼，由此

引出矛盾，故不能辦到，

專題02數的整除性

閱讀與思考

設。，〃是整數，6W0,如果一個整數4使得等式。=6夕成立，那么稱。能被〃整除，或稱Z?整

倏〃，記作〃|〃，乂稱〃為。的約數，而。稱為〃的倍數.解與整數的整除相關問題常用到以下知識:

I.數的整除性常見特征：

①若整數。的個位數是偶數，則2|a；

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②若整數“的個位數是0或5,則5|a；

③若整數。的各位數字之和是3（或9）的倍數，則3|。（或9|。）；

④若整數。的末二位數是4（或25）的倍數,則4|〃（或251a）；

⑤若整數4的末三位數是8（或125）的倍數,則81a（或125|a）；

⑥若整數。的奇數位數字和與偶數位數字和的差是11的倍數，則11|。.

2.整除的基本性質

設〃，〃，。都是整數，有：

①若a\b,b\c,則a|c；

②若c|a,c\b,則c|（。土Z?）；

③若b\a,c\a,則[b,c]\a；

④若c\a,且人與c互質，則。c|a；

⑤若a[be,且。與c互質，則4|〃.特別地，若質數則必有或p|c.

例題與求解

【例1】在1,2,3,…，2000這2000個自然數中，有個自然數能同時被2和3整除，而

且不能被5整除.

（“五羊杯”競賽試題）

解題思想：自然數〃能同時被2和3整除，則〃能被6整除，從中剔除能被5整除的數，即為所求.

【例2】已知。，人是正整數（。＞〃），對于以下兩個結論：

①在。+/?,ab,。一人這三個數中必有2的倍數；

②在出?，。一Z?這三個數中必有3的倍數.其中（）

A.只有①正確B.只有②正確

C.①，②都正確D.①.②都不正確

（江蘇省競賽試題）

解題思想：舉例驗證，或按剩余類深入討論證明.

【例3】已知整數13azM56能被198整除，求。，〃的值.

（江蘇省競賽試題）

解題思想：198=2X9X11,整數134〃456能被9,11整除，運用整除的相關特性建立。，匕的等式,

求出4,〃的值.

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【例4】已知。，b,c都是整數，當代數式7a+2/?+3c的值能被13整除時，那么代數式5。+

7b—22c的值是否一定能被13整除，為什么？

（“華羅庚金杯”邃請賽試題）

解題思想：先把5〃+78—22「構造成均能被13整除的兩個代數式的和，再進行判斷.

【例5】如果將正整數M放在正整數〃7左側，所得到的新數可被7整除，那么稱"為用的''魔術

數”（例如:把86放在415左側,得到86如5能被7整除,所以稱86為415的魔術數）,求正整數〃的

最小值，使得存在互不相同的正整數弓，/，…，％，滿足對任意一個正整數切，在q,%，…，4

中都至少有一個為〃?的“魔術數”.

（2013年全國初中數學競賽試題）

解題思想：不妨設q=7%+“，=1,2,3,…，〃；t=0,1,2,3,4,5,6）至少有一個為根的

“魔術數”.根據題中條件，利用《?10&+〃2（2是〃，的位數）被7除所得余數，分析，的取值.

【例6】一只青蛙，位于數軸上的點七,跳動一次后到達4+1已知4,勺+i滿足1%+-41=1，

我們把青蛙從外開始，經〃一I次跳動的位置依次記作A“：q,生，火，…，

⑴寫出一個4，使其q=6=O,且。［+。2+。3+〃4+%＞（）；

（2）若.②3,/000=2012,求q00G的值；

（3）對于整數〃（〃22）,如果存在一個4“能同時滿足如下兩個條件：①%=0：②/+%+%+…

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+%=0.求整數〃（〃22）被4除的余數，并說理理由.

（2013年“創(chuàng)新杯”邃請賽試題）

解題思想：（I）"=%=（）.即從原點出發(fā)，經過4次跳動后回到原點，這就只能兩次向右，兩次向

左.為保證卬+生+的+氏+生〉。.只需將“向右”安排在前即可.

⑵若〃產13,4200G=2012,從。［經過1999步到020Go.不妨設向右跳了x步,向左跳了），步，則

x+7y=1999，解得彳=1999可見，它一直向右跳，沒有向左跳.

13+x-y=2012［y=0

⑶設同時滿足兩個條件：①4二0；②。］+。2+。3^!■〃〃=（）.由于。［=0,故從原點出發(fā)，經

過（攵一1）步到達4,假定這（左一1）步中,向右跳了々步,向左跳了yk步，于是4=xk—yk,xk+yk=k

一1,貝ijq+%+%+…+/=0+（“2一%）+（七一%）+…（工“一）'“）=2（$+/-+4）-K/+%）

/?（/?-11?”

_|

+（七+丫3）------F（x,f+yzj）］=2（x2+-------Fxn）——--------.由于卬+生+的^-----^/二。，所以

2

n（n—1）=4（x2+x34------Fxn）.即4|n（n—1）.

能力訓練

A級

1.某班學生不到50人，在一次測驗中，有1的學生得優(yōu)，1的學生得良，［的學生得及格，則

732

有人不及格.

2.從1到10000這1萬個自然數中，有個數能被5或能被7整除.

（上海市競賽試題）

3.一個五位數3ab98能被11與9整除,這個五位數是.

4.在小于1997的自然數中，是3的倍數而不是5的倍數的數的個數是（）

A.532B.665C.133D.798

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5.能整除任意三個連續(xù)整數之和的最大整數是（）

A.1B.2C.3D.6

（江蘇省競賽試題）

6.用數字1,2,3,4,5,6組成的沒有重復數字的三位數中，是9的倍數的數有（）

A.12個B.18個C.20個D.30個

（“希望杯”邀請賽試題）

7.五位數而l是9的倍數，其中而7是4的倍數，那么前%的最小值為多少？

（黃岡市競賽試題）

8.1,2,3,4,5,6每個使用一次組成一個六位數字。be四,使得三位數abc,bed,cde,def

能依次被4,5,3,II整除，求這個六位數.

（上海市競賽試題）

9.173口是個四位數字，數學老師說：“我在這個口中先后填入3個數字，所得到的3個四位數，

依次可被9,11,6整除.”問：數學老師先后填入的這3個數字的和是多少？

（“華羅庚金杯”邀請賽試題）

B級

1.若一個正整數。被2,3,…，9這八個自然數除，所得的余數都為1,則。的最小值為,

。的一般表達式為.

（“希望杯”邀請賽試題）

2.已知〃？，〃都是正整數，若IW機W〃W3（）,且〃皿能被21整除，則滿足條件的數對（m,n）

共有個.

（天津市競賽試題）

3.一個六位數N989y能被33整除，這樣的六位數中最大是

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1,3,5,7,,1991/993,1995,1997,1999

4.有以下兩個數串｝1,4,7,10,,1987,1990,1993,1996,1999同時出現在這兩個數串中的數的個

教共有（）個.

A.333B.334C.335D.336

5.一個六位數H99仍能912整除,這樣的六位數共有（）個.

A.4B.6C.8D.12

6.若1059,1417,2312分別被自然數，除時，所得的余數都是〃2,則〃一〃7的值為（）.

A.15B.1C.164D.174

7.有一種室內游戲，魔術師要求某參賽者相好一個三位數c必c,然后，魔術師再要求他記下五個

數：acb,bac,bca,cab,cba,并把這五個數加起來求出和N.只要講出N的大小，魔術師就

能說出原數是什么.如果N=3194,請你確定“be.

（美國數學邀請賽試題）

8.一個正整數N的各位數字不全相等，如果將N的各位數字重新排列，必可得到一個最大數和一

個最小數，若最大數與最小數的差正好等于原來的數N,則稱N為“拷貝數”，試求所有的三位“拷貝

數”.

（武漢市競賽試題）

9.一個六位數，如將它的前三位數字與后三位數字整體互換位置，則所得的新六位數恰為原數的6

倍，求這個三位數.

（“五羊杯”競賽試題）

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10.一個四位數，這個四位數與它的各位數字之和為I999,求這個四位數，并說明理由.

(重慶市競賽試題)

11.從1,2,9中任取〃個數，其中一定可以找到若干個數(至少一個，也可以是全部)，它們

的和能被10整除,求〃的最小值.

(2013年全國初中數學競賽試題)

專題02數的整除性

例1267提示：333-66=267.

例2C提示：關于②的證明：對于〃若至少有一個是3的倍數，則。方是3的倍數.若a,b

都不是3的倍數,則有：(1)當。=3/〃+1,〃=3〃+1時，。一〃=3(〃L〃)；⑵當。=3/”+1,〃=3〃+2時，

。+8=3(〃?+〃+1)；(3)當。=3川+2,。=3〃+1時，力=3(川+〃+1)；(4)當。=36+2,。=3〃+2時，

a—b=3(m—n).

例3?=8.〃=0提示：由9I(19+〃+與得a+b=8或17：由11|(3+〃一㈤得〃一力=8或一3.

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例4設x,y,z,，是整數，并且假設5。+70-22c—x(7q+2/?+3c)+13。以十zO+rc).比較，式a,b,c

7x+13y=5

的系數，應當有＜2x+13z=7,取x=-3,可以得到y(tǒng)=2,z=l,/=—1,

3x+13r=-22

則有13(2a+〃-c)-3(7〃+20+3c)=5a+7/L22c.既然3(7a+28+3c)和13(2a+0-c)都能被13整除,

則5a+lb-22c就能被13整除.

例5考慮到“魔術數”均為7的倍數，又m，。2,…，如互不相等，不妨設nV/V…〈源，余數必

為1,2,3,4,5,6,0,設“=左+d=1,2,3,…，，】；/=(),I,2,3,4,5,6),至少有一個為機

的“魔術數”，因為0?10"+〃口是，〃的位數)，是7的倍數，當iW。時，而a?f除以7的余數都是0,

1,2,3,4,5,6中的6個；當i=7時，而出?10”除以7的余數都是()，1,2,3,4,5,6這7個數

字循環(huán)出現，當i=7時，依抽屜原理，a,?1(/與〃?二者余數的和至少有一個是7,此時0?10”+〃?被

7整除，即〃=7.

例6(1)A5：0,1,2,1,0.(或A“0,1,0,1,0)(2)0ooo=13+999=1012.⑶〃被4除余數

為0或I.

A級

1.I2.31433.397984.A5.C6.B

7.五位數位de=10XHcd+e.又??Z%d為4的倍數.故最值為1()00,又因為Mede為9的倍數.故1

+0+0+0+e能被9整除，所以e只能取8.因此嬴%最小值為10008.

8.324561提示：d+f-e是II的倍數，但6&/+/W5+6=11,KW6,故0Wd+/-eW10,因此d

-hf-e=O,即5+/=e,又eWd,,仔1,故/=/，e=6,

9.19提示：1+7+3+口的和能被9整除，故口里只能填7,同理，得到后兩個數為8,4.

B級

1.2521。=2520〃+1(〃￡巾)

2.57

3.719895提示：這個數能被33整除，故也能被3整除.于是，各位數字之和(x+1+9+8-9+)，)也能

被3整除，故工+)，能被3整除.

4.B

5.B

6.A提示：兩兩差能被〃整除，〃=179,加=164.

7.由題意得acb+bac+bca+cab+cba=3194,兩邊加上abc.得222(a+〃+c)=3l94+abc

.12223+8+c)=222X14+86+嬴7.則就+86是222的倍數.

且a+A+c>14.設一怎7+86=222〃考慮到小c7是三位數，依次取〃=1,2,3,4.分別得出益c的可能

值為136,358,580,802,又因為a+6+c>14.故/7=358.

8.設N為所求的三位“拷貝數”，它的各位數字分別為a,b,c(a,b,c不全相等).將其數碼重新排列

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后,設其中最大數為曲c,則最小數為Ma.故N=abc—cba=(I00?+10/>4-c)—(100c+10b+a)

=99(tz-c).

可知N為99的倍數.這樣的三位數可能是198,297,396,495,594,693,792,891,990.而

這9個數中,只有954—459=495.故495是唯一的三位“拷貝數”.

9.設原六位數為abcdef,則6Xabcdef=defabc>即6X(1000Xabc+def)=I000Xdef+abc>所

以即142X^^=857X_^T,V(142,857)=1,工142|肉，857P^r，

而赤，而為三位數，.??%7=142,而=857,故茄兩=142857.

10.設這個數為茄文，則1000a+100〃+10c+d+a+/?+c+d=l999,即1001。+103+1lc+2d=1999,

得。=1,進而103+1"+2d=998,101〃2998—117—881,有〃=9,則Uc+2d=89,而0W24W18,

71WllcW89,推得c=7,d=6,故這個四位數是1976.

11.當〃=4時，數1,3,5,8中沒有若干個數的和能被10整除.當〃=5時，設。圖2,…，。5是1，2,…，

9中的5個不同的數，若其中任意若干個數，它們的和都不能被10整除，則4,外,…,％中不可能同時

出現1和9,2和8,3和7,4和6,于是",生,…,內中必定有一個為5,若4,生，…,生中含1，則不

含9,于是，不含4x(4+5+l=IO),故含6；不含3x(3+6+l=10),故含7；不含2x(2+l+7=10),故含

8；但是5+7+8=20是10的倍數，矛盾.若q,%，…中含%則不含L于是不含6x(6+9+5=20),故

合4;不含7x(7+4+9=20),故含3;不含8x(8+9+3=20),故含2;但是5+3+2=10是10的倍數，矛盾.

綜上所述,〃的最小值為5

專題03從算術到代數

閱讀與思考

算術與代數是數學中兩門不同的分科，它們之間聯(lián)系緊密，代數是在算術中“數”和“運算”的基

礎上發(fā)展起來的.

用字母表示數是代數的一個重要特征，也是代數與算術的最顯著的區(qū)別.在數學發(fā)展史上，從確定的

數過渡到用字母表示數經歷了一個漫長的過程，是數學發(fā)展史上的一個飛躍.用字母表示數有如下特:點：

i.任意性

即字母可以表示任意的數.

2.限制性

即雖然字母表示任意的數，但字母的取值必須使代數式或實際問題有意義.

3.確定性

即在用字母表示的數中，如果字母取定某值，那么代數式的值也隨之確定.

4.抽象性

即與具體的數值相比，用字母表示數具有更抽象的意義.

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例題與求解

【例1】研究下列算式，你會發(fā)現什么規(guī)律：

IX3+l=4=22

2X4+1=9=32

3X5+1=16=42

4X6+1=25=52

???

請將你找到的規(guī)律用代數式表示出來：_____________________________________

（山東荷澤地區(qū)中考試題）

解題思路：觀察給定的幾個簡單的、特殊的算式，尋找數字間的聯(lián)系，發(fā)現一股規(guī)律，然后用代數

式表示.

［例2］下列四個數中可以寫成100個連續(xù)自然數之和的是（）

A.1627384950B.2345678910C.3579111300D.4692581470

（江蘇省競賽試題）

解題思路：設自然數從開始，這100個連續(xù)自然數的和為（〃+1）+3+2）+…+3+100）

=100?+5050,從揭示和的特征入手.

1+22222

■石2?+3232+421003+100411004+1005

【例3】設4=一「+?,+十…十--------------求A的整數部

12233'41003,10041004'1005

分.

（北京市競賽試題）

解題思路：從分析4中第“項〃~的特征入手.

〃？（〃1）

【例4】現有。根長度相同的火柴棒，按如圖①擺放時可擺成〃?個正方形，按如圖②擺放時可擺成

2n個正方形.

⑴用含〃的代數式表示〃?：

（2）當這。根火柴棒還能擺成如圖③所示的形狀時，求。的最小值.

（浙江省競賽試題）

―：???.L.J

…11I

圖①圖②圖③

解題思路：由圖①中有機個正方形、圖②中有2〃個正方形，可設圖③中有3〃個正方形，無論怎樣

擺放，火柴棒的總數相同，可建立含陽，小〃的等式.

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【例5】化簡99?-9乂99?-9+199—9

'~V_''~V~'----7----'

"個“個"個

（江蘇省競賽試題）

解題思路：先考察〃=1,2,3時的簡單情形，然后作出猾想，這樣，化簡的FI標更明確.

【例6］觀察按下列規(guī)律排成的一列數：

1121231234I23451

-9，，—，，一，9，，，一，，一，，―，，???，\：!：/

1213214321543216

2

（1）在（*）中，從左起笫機個數記為2〃?）=-----時，求〃?的值和這〃?個數的積.

2001

（2）在（*）中，未經約分且分母為2的數記為c,它后面的一個數記為d,是否存在這樣的兩個

覆c和/使4=2001000,如果存在，求出c和4如果不存在，請說明理由.

I1?123

解題思路：解答此題，需先找到數列的規(guī)律，該數列可分姐為（2）,（-,-）,