2024-2025學(xué)年云南省昆明市云南大學(xué)附中星耀學(xué)校高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年云南大學(xué)附中星耀學(xué)校高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(1,1,2)，則|OA|=(

)A.2 B.4 C.6 D.2.已知圓C1：x2+y2+8x?20=0和圓CA.8x+3y?20=0 B.4x+3y?10=0

C.4x?3y+10=0 D.2x+3y+5=03.已知空間單位向量a，b，c兩兩垂直，則|a?bA.3 B.6 C.3 4.若點(diǎn)M(x,y)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總滿足關(guān)系式(x?1)2+y2A.x216+y215=1 B.5.如圖，三棱柱ABC?A1B1C1中，G為棱AD的中點(diǎn)，若BA=a，BCA.12a?b+12c

6.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是F1、F2，焦距為2c，若直線y=3(x+c)與橢圓交于M點(diǎn)，且滿足A.22 B.3?1 C.7.若直線l：y=kx+3?k與曲線C：y=1?x2恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)kA.(43,+∞) B.(43,8.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直線上，這條直線后人稱之為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)A(0,0)，B(0,2)，C(?6,0)，則其歐拉線的一般式方程為(

)A.3x+y=1 B.3x?y=1 C.x+3y=0 D.x?3y=0二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知P(x0,y0)是橢圓C：x216+A.|PF1|+|PF2|=8 B.矩軸長(zhǎng)為27

C.10.已知直線l：mx+y+1=0，A(1,0)，B(3,1)，則下列結(jié)論正確的是(

)A.直線l恒過(guò)定點(diǎn)(0,1) B.當(dāng)m=1時(shí)，直線l的傾斜角為3π4

C.當(dāng)m=?2時(shí)，直線l與AB平行 D.當(dāng)m=2時(shí)，直線l與直線AB11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，P為線段B1C上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A.直線A1P與BD所成的角可能為π6

B.當(dāng)B1P=2PC時(shí)，點(diǎn)D1到平面A1BP的距離為23

C.當(dāng)B三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知空間向量a=(2,?2,1)，b=(3,0,4)，向量a在向量b上的投影向量坐標(biāo)為______．13.過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線被圓x2+y14.阿基米德(公元前287年—公元前212年)不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率π等于橢圓的長(zhǎng)半軸與短半軸的乘積．已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面積為23π，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形．則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程______.若過(guò)點(diǎn)P(1,0)的直線四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)已知圓C的圓心在直線y=12x上，且過(guò)圓C上一點(diǎn)M?(1,3)的切線方程為(Ⅰ)求圓C的方程；(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)M的直線l與圓交于另一點(diǎn)N，以MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，求直線l的方程．16.(本小題15分)

已知橢圓M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為63，且短軸長(zhǎng)為22．

(1)求M的方程；

(2)若直線l17.(本小題15分)

如圖，空間四邊形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC．

(Ⅰ)求證：OC⊥AB；

(Ⅱ)若O?ABC為正四面體，M是AB中點(diǎn)，N是OC中點(diǎn)，求OM與BN的夾角余弦值．18.(本小題17分)

將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE=2．

(Ⅰ)求證：DE⊥AC；

(Ⅱ)求DE與平面BEC所成角的正弦值；

(Ⅲ)直線BE上是否存在一點(diǎn)M，使得CM/?/平面ADE，若存在，求點(diǎn)M的位置，不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

19.(本小題17分)

設(shè)點(diǎn)F1、F2分別是橢圓C：x22t2+y2t2=1(t>0)的左、右焦點(diǎn)，且橢圓C上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積最大值為4.點(diǎn)M、N是橢圓C上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且向量F1M與向量F2N平行．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)參考答案1.D

2.B

3.A

4.A

5.A

6.B

7.B

8.C

9.ABC

10.BD

11.BD

12.(613.214.x24+15.解：(Ⅰ)由題意，過(guò)M點(diǎn)的直徑所在直線方程為y?3=?13(x?1)；

由y?3=?13(x?1)y=12x解得x=4y=2,∴圓心坐標(biāo)為(4,2)；

半徑r2=(4?1)2+(2?3)2=10；

∴圓C的方程為(x?4)2+(y?2)2=10；

(Ⅱ)解法一：以MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，∴OM⊥ON；

又kOM=3，∴kON=?13；

∴直線ON方程為y=?13x；

由y=?13x(x?4)2+(y?2)2=10，可得N點(diǎn)坐標(biāo)為(3,?1)；

∴直線MN方程為y+13+1=x?31?3，

即直線l的方程為y=?2x+5；

解法二：當(dāng)l不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y?3=k(x?1)，

且M(x116.解：(1)由題意得，b=2，ca=63，又a2=b2+c2，

解得：a=6,c=2，

所以M的方程為：x26+y22=1；

(2)由題，設(shè)A(x1,y1)B(x2,y2)，

因?yàn)锳B的中點(diǎn)為P(?2,?12)，

則x117.(Ⅰ)證明：∵OA⊥BC，OB⊥AC，

∴OA⊥BC，OB⊥AC，可得OA?BC=0，OB?AC=0．

∴OC?AB=(OA+AC)?(AC?BC)=OA?AC?OA?BC+AC?(AC?BC)

=OA?AC+AC?AB=AC?(OA+18.

解：(Ⅰ)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AB，AD，AE所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則E(0,0,2)，B(2,0,0)D(0,2,0)，

取BD的中點(diǎn)F并連接CF，AF；由題意可得CF⊥BD且AF=CF=2，

又∵平面BDA⊥平面BDC，平面BDA∩平面BDC=BD，CF?平面CBD，∴CF⊥平面BDA，

所以C的坐標(biāo)為C(1,1,2)，

∴DE=(0,?2,2)，AC=(1,1,2)，

∴DE?AC=(0,?2,2)?(1,1,2)=0，

故DE⊥AC；

(Ⅱ)設(shè)平面BCE的法向量為n=(x,y,z)，EB=(2,0,?2)，CB=(1,?1,?2)，則

n?EB=0n?CB=0，即2x?2z=0x?y?2z=0，

令x=1得n=(1,?1,2)

又DE=(0,?2,2)，

設(shè)平面DE與平面BCE所成角為θ，

則sinθ=|cos<n，DE>|=|n?DE||n||DE|=63；

19.解：(Ⅰ)由于三角形的底邊長(zhǎng)即橢圓的焦距為定值，

所以面積最大時(shí)高最大，即三角形的頂點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，

由橢圓方程可得：|F1F2|=22t2?t2=2t，

所以12×2t×t=4,解得：t=2，

所以橢圓方程為：x28+y24=1；

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得F1(?2,0)，F(xiàn)2(2,0)，

點(diǎn)M、N是橢圓C上位于x軸上方的兩點(diǎn)，可設(shè)N(22cosθ,2sinθ)，sinθ>0，

則F1N=(22cosθ+2,2sinθ)，F(xiàn)2N=(22cosθ?2,2sinθ)，

因?yàn)镕1N?F2N=0，

則(22cosθ+2)(22cosθ?2)+4sin2θ=0，又cos2θ+sin2θ=1，

解得：cosθ=0，sinθ=1，

故N(0,2)