2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.6 三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用（4）教學(xué)教案 新人教A版必修4

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.6三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用（4）教學(xué)教案新人教A版必修4課題：科目：班級(jí)：課時(shí)：計(jì)劃3課時(shí)教師：?jiǎn)挝唬阂?、教材分析?024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.6三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用（4）教學(xué)教案新人教A版必修4》課程內(nèi)容在學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基本概念、圖像及性質(zhì)有一定了解的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探討三角函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。本節(jié)通過(guò)引入實(shí)例，如物理擺動(dòng)、周期現(xiàn)象等，使學(xué)生掌握正弦、余弦函數(shù)在描述物體周期運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用。課程緊密聯(lián)系教材，以必修4課本中三角函數(shù)應(yīng)用案例為藍(lán)本，結(jié)合實(shí)際生活情境，培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題的能力，加強(qiáng)對(duì)三角函數(shù)模型的認(rèn)識(shí)，提高數(shù)學(xué)思維及分析解決問(wèn)題的能力。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課旨在深化學(xué)生對(duì)三角函數(shù)應(yīng)用的理解，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。通過(guò)分析實(shí)際問(wèn)題中的周期性變化，培養(yǎng)學(xué)生將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力，加強(qiáng)數(shù)學(xué)抽象思維。在探討三角函數(shù)解決具體問(wèn)題時(shí)，強(qiáng)化邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，使學(xué)生能夠準(zhǔn)確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行數(shù)學(xué)證明和問(wèn)題求解。此外，通過(guò)小組合作和問(wèn)題討論，提高學(xué)生的溝通與合作能力，促進(jìn)學(xué)生綜合素質(zhì)的發(fā)展，與新人教A版必修4的教學(xué)要求緊密相連，確保教學(xué)內(nèi)容與核心素養(yǎng)目標(biāo)的有效融合。三、學(xué)情分析本節(jié)課的教學(xué)對(duì)象為高中一年級(jí)學(xué)生，他們?cè)谥R(shí)、能力、素質(zhì)方面具備以下特點(diǎn)：

1.知識(shí)層面：學(xué)生在初中階段已經(jīng)接觸過(guò)簡(jiǎn)單三角函數(shù)的概念，具備一定的三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)。然而，對(duì)于三角函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，尤其是運(yùn)用三角函數(shù)解決具體問(wèn)題，學(xué)生的掌握程度相對(duì)有限。此外，學(xué)生在初中階段對(duì)周期性問(wèn)題的認(rèn)識(shí)主要停留在直觀層面，缺乏深入理解和抽象概括。

2.能力層面：學(xué)生在數(shù)學(xué)邏輯推理和運(yùn)算能力方面，經(jīng)過(guò)初中階段的學(xué)習(xí)，具備一定的數(shù)學(xué)思維和推理能力。但在將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，能力仍有待提高。此外，學(xué)生在團(tuán)隊(duì)合作和溝通表達(dá)方面，能力參差不齊，部分學(xué)生表現(xiàn)較為內(nèi)向，影響課堂討論效果。

3.素質(zhì)層面：學(xué)生在學(xué)習(xí)態(tài)度、自律性和學(xué)習(xí)方法方面存在一定差異。部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿熱情，具有較高的自覺(jué)性和探究精神；而另一部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣不足，學(xué)習(xí)積極性不高，容易受外界因素干擾。這種差異對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容產(chǎn)生一定影響。

4.行為習(xí)慣：學(xué)生在課堂上的行為習(xí)慣各異，部分學(xué)生能夠積極參與課堂討論，主動(dòng)提問(wèn)和回答問(wèn)題；而部分學(xué)生習(xí)慣于被動(dòng)接受知識(shí)，課堂參與度不高。此外，學(xué)生在課后作業(yè)和復(fù)習(xí)方面，習(xí)慣也有所不同，影響學(xué)習(xí)效果的鞏固。

針對(duì)以上學(xué)情，本節(jié)課的教學(xué)策略如下：

1.強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)：在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，通過(guò)復(fù)習(xí)導(dǎo)入、實(shí)例分析等方式，幫助學(xué)生鞏固已學(xué)知識(shí)，為學(xué)習(xí)新內(nèi)容奠定基礎(chǔ)。

2.激發(fā)學(xué)生興趣：教師應(yīng)結(jié)合生活實(shí)例，創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)應(yīng)用的興趣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

3.培養(yǎng)建模能力：在教學(xué)過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

4.分層教學(xué)：針對(duì)學(xué)生能力差異，教師應(yīng)實(shí)施分層教學(xué)，關(guān)注不同層次學(xué)生的需求，提高課堂教學(xué)效果。

5.培養(yǎng)良好學(xué)習(xí)習(xí)慣：教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的課堂行為和課后學(xué)習(xí)習(xí)慣，通過(guò)課堂紀(jì)律管理、課后輔導(dǎo)等方式，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

6.促進(jìn)團(tuán)隊(duì)合作：教師組織課堂討論和小組活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作能力和溝通表達(dá)能力。四、教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都提前準(zhǔn)備好新人教A版高中數(shù)學(xué)必修4教材，以便在課堂上能及時(shí)翻閱到本節(jié)課相關(guān)的三角函數(shù)內(nèi)容。同時(shí)，為學(xué)生提供課堂練習(xí)冊(cè)和課后作業(yè)，以鞏固所學(xué)知識(shí)。

2.輔助材料：為提高學(xué)生對(duì)三角函數(shù)模型的理解，準(zhǔn)備以下多媒體資源：

-圖片：展示生活中常見(jiàn)的周期性現(xiàn)象，如蕩秋千、擺鐘等，幫助學(xué)生直觀理解周期性變化。

-圖表：制作正弦、余弦函數(shù)的圖像，以及在不同相位下的變化，讓學(xué)生更清晰地觀察函數(shù)性質(zhì)。

-視頻：播放與周期性運(yùn)動(dòng)相關(guān)的物理實(shí)驗(yàn)或?qū)嶋H應(yīng)用場(chǎng)景，如橋梁振動(dòng)、聲波傳播等，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)應(yīng)用的認(rèn)識(shí)。

-課件：制作包含本節(jié)課重點(diǎn)知識(shí)、例題和練習(xí)題的PPT，方便學(xué)生跟隨課堂進(jìn)度。

3.實(shí)驗(yàn)器材：針對(duì)本節(jié)課涉及的簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)，如用蕩秋千模擬正弦運(yùn)動(dòng)，準(zhǔn)備以下器材：

-蕩秋千模型：用于演示周期性運(yùn)動(dòng)，讓學(xué)生觀察和記錄數(shù)據(jù)。

-計(jì)時(shí)器：用于測(cè)量周期時(shí)間，以便計(jì)算頻率和角速度。

-測(cè)量工具：如刻度尺、量角器等，用于測(cè)量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

4.教室布置：

-分組討論區(qū)：將學(xué)生分成若干小組，每組配備一張桌子、若干椅子，方便學(xué)生進(jìn)行小組討論和合作學(xué)習(xí)。

-實(shí)驗(yàn)操作臺(tái)：在教室一側(cè)設(shè)置實(shí)驗(yàn)操作區(qū)，確保實(shí)驗(yàn)器材的整齊擺放，便于學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作。

-投影設(shè)備：確保教室內(nèi)的投影儀、音響設(shè)備等正常工作，以便在課堂上展示多媒體資源。

為保證教學(xué)活動(dòng)的順利進(jìn)行，教師應(yīng)提前檢查教學(xué)資源的完整性和適用性，確保各項(xiàng)資源與教材內(nèi)容緊密相連，便于學(xué)生理解和掌握三角函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。同時(shí)，關(guān)注學(xué)生在課堂上的參與程度，靈活運(yùn)用各種教學(xué)資源，提高課堂教學(xué)效果。五、教學(xué)流程本節(jié)課的教學(xué)流程分為課前、課中、課后三個(gè)階段，共計(jì)45分鐘。

1.課前準(zhǔn)備（5分鐘）

（1）預(yù)習(xí)任務(wù)：布置學(xué)生預(yù)習(xí)新人教A版高中數(shù)學(xué)必修4教材中關(guān)于三角函數(shù)應(yīng)用的相關(guān)內(nèi)容，了解三角函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

（2）教學(xué)資源準(zhǔn)備：檢查教材、輔助材料、實(shí)驗(yàn)器材等教學(xué)資源的完整性和適用性。

2.課中教學(xué)（35分鐘）

（1）導(dǎo)入（5分鐘）

（2）知識(shí)點(diǎn)講解（10分鐘）

結(jié)合教材內(nèi)容，回顧正弦、余弦函數(shù)的定義和圖像，引導(dǎo)學(xué)生理解周期性變化與三角函數(shù)的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，講解三角函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，如物體振動(dòng)、聲波傳播等。

舉例：物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其位移x（t）=Asin（ωt+φ）或x（t）=Acos（ωt+φ），其中A為振幅，ω為角速度，φ為初相位。

（3）課堂討論與練習(xí)（10分鐘）

教師提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小組討論，共同探討三角函數(shù)在周期性變化中的應(yīng)用。

問(wèn)題1：蕩秋千的周期與擺長(zhǎng)有什么關(guān)系？

問(wèn)題2：如何利用三角函數(shù)解決物體在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中的位置問(wèn)題？

在討論過(guò)程中，教師給予適當(dāng)指導(dǎo)，確保學(xué)生正確理解和運(yùn)用三角函數(shù)。

隨后，進(jìn)行課堂練習(xí)，鞏固所學(xué)知識(shí)。

練習(xí)1：已知一個(gè)周期性變化的函數(shù)f（t）=Asin（ωt+φ），求其周期、振幅、角速度和初相位。

練習(xí)2：蕩秋千的周期為T(mén)，求擺長(zhǎng)L與周期T的關(guān)系。

（4）實(shí)驗(yàn)操作（5分鐘）

組織學(xué)生進(jìn)行蕩秋千實(shí)驗(yàn)，測(cè)量周期、振幅等數(shù)據(jù)，并利用三角函數(shù)進(jìn)行分析。

實(shí)驗(yàn)步驟：

1）調(diào)整蕩秋千的擺長(zhǎng)，使周期T保持不變。

2）測(cè)量蕩秋千的振幅A。

3）利用三角函數(shù)計(jì)算角速度ω和初相位φ。

4）討論實(shí)驗(yàn)結(jié)果，分析擺長(zhǎng)L與周期T的關(guān)系。

（5）總結(jié)與拓展（5分鐘）

教師對(duì)本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)，強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)在周期性變化中的應(yīng)用，并對(duì)學(xué)生進(jìn)行拓展，介紹其他應(yīng)用場(chǎng)景。

3.課后作業(yè)與反思（5分鐘）

（1）課后作業(yè)：布置與本節(jié)課相關(guān)的練習(xí)題，鞏固所學(xué)知識(shí)。

（2）教學(xué)反思：教師對(duì)本節(jié)課的教學(xué)效果進(jìn)行反思，針對(duì)學(xué)生的掌握情況，調(diào)整教學(xué)方法，以提高教學(xué)質(zhì)量。六、知識(shí)點(diǎn)梳理本節(jié)課的核心知識(shí)點(diǎn)圍繞三角函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，特別是周期性變化問(wèn)題。以下是與新人教A版高中數(shù)學(xué)必修4教材相關(guān)的內(nèi)容梳理：

1.三角函數(shù)的基本概念：

-正弦函數(shù)（sin）和余弦函數(shù)（cos）的定義和圖像。

-周期性：三角函數(shù)的周期性和頻率的關(guān)系。

-相位：初相位的含義及其對(duì)三角函數(shù)圖像的影響。

2.三角函數(shù)的性質(zhì)：

-正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的奇偶性。

-正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性。

-正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的值域。

3.三角函數(shù)的應(yīng)用：

-周期性變化問(wèn)題：如物理擺動(dòng)、機(jī)械振動(dòng)、聲波傳播等。

-物理簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)：利用三角函數(shù)描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移和時(shí)間的關(guān)系。

-周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)建模：將實(shí)際問(wèn)題抽象為三角函數(shù)模型。

4.實(shí)際問(wèn)題的解決方法：

-確定周期和頻率：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的周期性特征，確定三角函數(shù)的周期和頻率。

-確定振幅和初相位：通過(guò)實(shí)際測(cè)量或給定條件，確定三角函數(shù)的振幅和初相位。

-建立函數(shù)模型：利用已知的周期、頻率、振幅和初相位，建立三角函數(shù)模型。

5.具體應(yīng)用案例：

-擺鐘問(wèn)題：利用三角函數(shù)描述擺鐘的擺動(dòng)規(guī)律。

-橋梁振動(dòng)問(wèn)題：分析橋梁在車(chē)輛行駛作用下的振動(dòng)，利用三角函數(shù)進(jìn)行建模。

-聲音傳播問(wèn)題：研究聲波在空氣中的傳播，利用三角函數(shù)描述聲壓級(jí)的變化。

6.數(shù)學(xué)運(yùn)算和證明：

-運(yùn)用三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)和證明。

-利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題中的計(jì)算問(wèn)題。

7.數(shù)學(xué)建模能力：

-從實(shí)際問(wèn)題中抽象出三角函數(shù)模型的能力。

-運(yùn)用三角函數(shù)模型分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。七、課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了三角函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的簡(jiǎn)單應(yīng)用，特別是在周期性變化問(wèn)題中的應(yīng)用。以下是本節(jié)課的課堂小結(jié)和當(dāng)堂檢測(cè)內(nèi)容：

1.課堂小結(jié)：

（1）三角函數(shù)的基本概念：

-正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義、圖像和性質(zhì)。

-三角函數(shù)的周期性、頻率和相位。

（2）三角函數(shù)在周期性變化中的應(yīng)用：

-利用三角函數(shù)描述物理擺動(dòng)、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)等周期性變化問(wèn)題。

-建立周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。

（3）實(shí)際問(wèn)題的解決方法：

-確定周期、頻率、振幅和初相位。

-利用三角函數(shù)建立函數(shù)模型。

（4）數(shù)學(xué)運(yùn)算和證明：

-運(yùn)用三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)和證明。

-解決實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)學(xué)運(yùn)算。

2.當(dāng)堂檢測(cè)：

（1）填空題：

1）正弦函數(shù)的周期為_(kāi)___，余弦函數(shù)的周期為_(kāi)___。

2）物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，位移x（t）=Asin（ωt+φ），其中A表示____，ω表示____，φ表示____。

3）蕩秋千的周期T與擺長(zhǎng)L的關(guān)系為_(kāi)___。

（2）選擇題：

1）以下哪個(gè)選項(xiàng)是正弦函數(shù)的圖像？

A.

B.

C.

D.

2）以下哪個(gè)選項(xiàng)表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中的角速度？

A.周期T

B.頻率f

C.振幅A

D.初相位φ

（3）解答題：

1）已知一個(gè)周期性變化的函數(shù)f（t）=Asin（ωt+φ），求其周期、振幅、角速度和初相位。

2）蕩秋千的周期為T(mén)，求擺長(zhǎng)L與周期T的關(guān)系。

（4）實(shí)驗(yàn)題：

1）進(jìn)行蕩秋千實(shí)驗(yàn)，測(cè)量周期、振幅等數(shù)據(jù)，并利用三角函數(shù)進(jìn)行分析。

2）根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，討論擺長(zhǎng)L與周期T的關(guān)系。八、課后拓展1.拓展內(nèi)容：

-閱讀材料：提供與三角函數(shù)應(yīng)用相關(guān)的科普文章，如《三角函數(shù)在工程中的應(yīng)用》、《音樂(lè)中的三角函數(shù)》等，以豐富學(xué)生對(duì)三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用的了解。

-視頻資源：推薦觀看與周期性變化相關(guān)的科學(xué)實(shí)驗(yàn)視頻，如《簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的模擬實(shí)驗(yàn)》、《聲波傳播的演示》等，幫助學(xué)生直觀感受三角函數(shù)在現(xiàn)實(shí)世界中的運(yùn)用。

2.拓展要求：

-鼓勵(lì)學(xué)生在課后閱讀推薦的科普文章，了解三角函數(shù)在不同領(lǐng)域的應(yīng)用。

-學(xué)生觀看視頻資源，觀察實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，思考視頻中的周期性變化如何用三角函數(shù)來(lái)描述。

-教師提供閱讀材料和視頻資源的摘要或指導(dǎo)，幫助學(xué)生理解拓展內(nèi)容。

-鼓勵(lì)學(xué)生將拓展內(nèi)容與課堂所學(xué)相結(jié)合，嘗試解決實(shí)際問(wèn)題，如分析生活中的周期性現(xiàn)象。

-教師在課后為學(xué)生解答拓展內(nèi)容相關(guān)的疑問(wèn)，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效的自主學(xué)習(xí)。板書(shū)設(shè)計(jì)1.條理清楚、重點(diǎn)突出：

①重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：

-正弦、余弦函數(shù)的定義與圖像

-周期、頻率、振幅、初相位的概念

-三角函數(shù)在周期性變化中的應(yīng)用

②關(guān)鍵詞：

-周期性

-簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

-數(shù)學(xué)建模

③重要句式：

-x(t)=Asin(ωt+φ)

-x(t)=Acos(ωt+φ)

-周期T與擺長(zhǎng)L的關(guān)系

2.簡(jiǎn)潔明了：

①知識(shí)點(diǎn)概括：

-三角函數(shù)基本概念與性質(zhì)

-周