蘇科版八年級數(shù)學(xué)上期末復(fù)習(xí)與強(qiáng)化提優(yōu)（三）

蘇科版八年級數(shù)學(xué)上期末復(fù)習(xí)與強(qiáng)化提優(yōu)(三)

《第三章勾股定理》期末專題復(fù)習(xí)

重點(diǎn)知識掃描

一：勾股定理一一(揭示的是平面幾何圖形本身所蘊(yùn)含的代數(shù)關(guān)系)：如果直角三角形兩

直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2(勾三、股四、弦五)

(1)重視勾股定理的敘述形式：

①直角三角形直角邊上的兩個(gè)正方形的面積之和等于斜邊上的正方

形的面積.

②斜邊的平方等于兩直角邊的平方和.

從這兩種形式來看，有“形的勾股定理”和“數(shù)的勾股定理”之分。

(2)勾股定理的證明

勾股定理的證明方法很多，教科書正文中介紹了趙爽弦圖，這是一

種面積證法.

常見的是拼圖的方法，用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是：

①圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變；

②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理.

常見方法如下：

方法一：(趙爽弦圖/畢達(dá)哥拉斯證法)

方法二：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.四個(gè)直角三角形

方法三：(美國第20任總統(tǒng)詹姆斯?加菲爾德)

二：勾股定理的逆定理一一如果三角形的三邊長a、b、c滿足r+bJc*那么這個(gè)三

角形是直角三角形.

(1)勾股定理的逆定理的證明方法，通過構(gòu)造一個(gè)三角形與直角三角形全等，達(dá)到證明某

個(gè)角為直角的目的。

(2)逆定理的作用：判定一個(gè)三角形是否為直角三角形。

步驟：找出最長邊，計(jì)算兩短邊的平方和是否與最長邊的平方相等

(3)直角三角形的判定：

①有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。

②有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。

③兩短邊的平方和等于最長邊的平方的三角形是直角三角形。

（4）勾股數(shù)：能夠成為直角三角形三條邊長的三個(gè)正整數(shù)

如：3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,12,15；9,

40,41；……以及這些數(shù)組的倍數(shù)組成的數(shù)組。

1）確定勾股數(shù)：三個(gè)數(shù)都是正整數(shù)，兩個(gè)較小數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方

2）如果a,b,c是一組勾股數(shù)，那么na,nb,nc（n為正整數(shù)）也是一組勾股數(shù).

經(jīng)典例題

例1.已知，在△ABC中，ZACB=90°,CD_LAB垂足為D,BC=6,AC=8,求AB與CD的長.

例2.如圖，在一棵樹的10米高B處有兩只猴子，其中一只爬下樹走向離樹20米的池塘C,

而另一只爬到樹頂D后直撲池塘C,結(jié)果兩只猴子經(jīng)過的距離相等，問這棵樹有多高？

例3.如圖，在ABC中，NACB=90°,AC=BC,P、Q在斜邊上，且NPCQ=45°,求證：PQ2=AP2+BQ2=

例4..在正方形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，且FC=1/4DC.試說明：AE±EF

例5.如圖，距沿海某城市A正南220千米的8處，有一臺風(fēng)中心，其最大風(fēng)力為12級，

每遠(yuǎn)離臺風(fēng)中心20千米，風(fēng)力就減弱1級，該中心正以每小時(shí)15千米的速度沿北偏東30°

的BC方向移動(dòng)，且風(fēng)力不變，若城市A所受風(fēng)力達(dá)到或超過4級，則稱為受臺風(fēng)影響.（1）

A城市是否會受臺風(fēng)影響？為什么？（2）若會，將持續(xù)多長時(shí)間？（3）該城市受臺風(fēng)影響

的最大風(fēng)力為幾級？

C

1/

/風(fēng)向

夕/

《第三章勾股定理》期末強(qiáng)化提優(yōu)

（時(shí)間：90分鐘滿分：120分）

選擇題（共20小題共40分）

1.下列每一組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)值分別為三角形的三邊長，不能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.3、4、5B.6、8、10C.小、2、下D.5、12、13

2.如圖，AABC是等腰直角三角形，BC是斜邊，將AABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與

△ACP'重合，如果AP=3,那么PP'的長等于（）

A.3^2B.2小C.4巾D.3小

第2題圖第4題圖第5題圖第6題圖第7題圖

3.若一直角三角形兩邊長分別為12和5,則第三邊長的平方為（）

A.169B.169或119C.169或225D.225

4.如圖所示，有一塊地，已知AD=4米，CD=3米，ZADC=90°,AB=13米，BC=12米，則這

塊地的面積為（）

A.24平方米B.26平方米C.28平方米D.30平方米

5.如圖，在RtZXABC中，/ACB=90。，CD_LAB于點(diǎn)D.已知BC=8,AC=6,則線段CD

的長為（）

2412

A.10B.5C.yD.y

6..如圖，在銳角△ABC中，AC=10,SAABC=25,ZBAC的平分線交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)M,N

分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是（）

A.4B.24/5C.5D,6

7.如圖，點(diǎn)P是NAOB內(nèi)任意一點(diǎn)，且NAOB=40。，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線0A和射線

OB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)小PMN周長取最小值時(shí)，則NMPN的度數(shù)為（）

A.1400B.1000C.50°D.40°

8.下列各組數(shù)據(jù)分別為三角形的三邊長：①2,3,4；②5,12,13；③吸，木,小;@m2-n2,

m2+n2-2mn.其中是直角三角形的有（）

A.①②B.③④C.①③D.②④

9.如圖，點(diǎn)A的正方體左側(cè)面的中心，點(diǎn)B是正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，正方體的棱長為2,一螞

蟻從點(diǎn)A沿其表面爬到點(diǎn)B的最短路程是（）

10.如圖，邊長為6的大正方形中有兩個(gè)小正方形，若兩個(gè)小正方形的面積分別為Si、S2,

貝US1+S2的值為（）

A.16B.17C.18D.19

11.在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五"的記載.如圖1是由邊長相等

的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理.圖2是由圖1放入長方

形內(nèi)得到的，ZBAC=90°,AB=6,AC=8,點(diǎn)D,E,F,G,H,I都在長方形KLMJ的邊上，

則長方形KLMJ的面積為（）

A.360B.400C.440D.484

12.如圖，。為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，OD_LAB,OE±AC,OF±BC,若OD=OE=OF,連接OA,

OB,OC,下列說法不一定正確的是（）

A.ABODV△BOFB.ZOAD=ZOBFC.ZCOE=NCOFD.AD=AE

13.如圖，在長、寬都為3cm,高為8cm的長方體紙盒的A處有一粒米粒，一只螞蟻在B

處去覓食，那么它所行的最短路線的長是（）

A.(32+8)cmB.lOcmC.82cmD.無法確定

第13題圖第16題圖第17題圖第18題圖第20題圖

14.要登上某建筑物，靠墻有一架梯子，底端離建筑物3m,頂端離地面4m,則梯子的長度

為（）

A.2mB.3mC.4mD.5m

15.若直角三角形的兩邊長分別為a,b,且滿足a2-6a+9+|b-4|=0,則該直角三角形的第三

邊長為（）

A.5B.7C.4D.5或7

16.如圖，在AABC中，ZACB=90°,BC=3,AC=4,AB的垂直平分線DE交BC的延長

線于點(diǎn)E,則CE的長為（）

A.|B.jC.yD.2

17.有一張直角三角形紙片，兩直角邊長AC=6cm,BC=8cm,將AABC折疊，使點(diǎn)B與

點(diǎn)A重合，折痕為DE（如圖），則CD等于（）

25「221「5

AA.丁cmB.《~cmC'cmD.gcm

18..如圖，一架2.5米長的梯子AB,斜靠在一豎直的墻AC上，這時(shí)梯足B到墻底端C的距

離為0.7米，如果梯子的頂端下滑0.4米，則梯足將向外移（）

A.0.6米B.0.7米C,0.8米D,0.9米

19.一直角三角形兩邊分別為3和5,則第三邊為（）

A、4B、734C、4或V34D、2

20.如圖，在Rt^ABC中，以三邊AB、BC、CA為直徑向外作半圓，設(shè)直線AB左邊陰影

部分的面積為S1，右邊陰影部分的面積和為S,則（）

A.Si=S2B.Si<S2C.Si>S2D.無法確定

二.填空題（共10小題共20分）

21.圖甲是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的.在

心△ABC中，若直角邊AC=6,BC=5,將四個(gè)直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外

延長一倍，得到圖乙所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長（圖乙中的實(shí)線）是

第21題圖第23題圖第25題圖第26題圖

22.若一直角三角形的兩邊長為4、5,則第三邊的長為

23.如圖，已知在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AB=4,分別以AC、BC為直徑作半圓，面積分別

記為Si、S2,則S1+S2等于.

24..一根旗桿在離底部4.5米的地方折斷，旗桿頂端落在離旗桿底部6米處，則旗桿折斷前

高為________

25.如圖，為測得到池塘兩岸點(diǎn)A和點(diǎn)B間的距離，一個(gè)觀測者在C點(diǎn)設(shè)樁，使NABC=90。，

并測得AC長5米、BC長4米，則A、B兩點(diǎn)間距離是米.

26.如圖，等邊△ABC的邊長為6,AD是BC邊上的中線,M是AD上的動(dòng)點(diǎn),E是AC邊上一點(diǎn)，若

AE=3,EM+CM的最小值為.

27..在直線I上依次擺放著七個(gè)正方形（如圖所示）.己知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是

1,2,3,正放置的四個(gè)正方形的面積依次是Si,S2,S3,S4,則

S1+S2+S3+S4=.

第27題圖第28題圖第30題圖

28.我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖"，后人稱其為“趙爽弦圖"（如

圖（1））.圖（2）由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形

ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為Si、S2>S3.若正方形EFGH的邊長為2,

則Si+Sz+S3=.

29.若4ABC的三邊分別是a、b、c,且a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,則4ABC是

三角形.

30.如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4,AD=3,折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，折

痕為DG,則AG的長為.

三.解答題（共10小題共60分）

31如圖，在四邊形ABCD中，/B=/D=90°,ZA=60°,BC=2,CD=1,求AD的長.

'x一-----

32.如圖，Z^ABC中，CD_LAB于D,若AD=2BD,AC=6,BC=4,求BD的

33.如圖，沿折痕AE折疊矩形ABCD的一邊，使點(diǎn)D落在BC邊上一點(diǎn)F處.若AB=8,且4ABF

的面積為24,求EC的長.

E

B

34.如圖，滑桿在機(jī)械槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)，/ACB為直角，已知滑桿AB長2.5m,頂端A在AC上

運(yùn)動(dòng)，量得滑桿下端B距C點(diǎn)的距離為1.5m,當(dāng)端點(diǎn)B向右移動(dòng)0.5m時(shí)，求滑桿頂端A

下滑多少米？

35.如圖，在AABC中，ZC=2ZB,D是BC上的一點(diǎn)，且AD_LAB,點(diǎn)E是BD的中點(diǎn),

連結(jié)AE.

(1)求證：ZAEC=ZC；

(2)求證：BD=2AC；

(3)若AE=6.5,AD=5,求4ABE的周長.

36.如圖所示，一根長2a的木棍(AB),斜靠在與地面(OM)垂直的墻(ON)上，設(shè)木棍的中點(diǎn)

為P,若木棍A端沿墻下滑，且B端沿地面向右滑行.

(1)請判斷木棍滑動(dòng)的過程中，點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離是否變化，并簡述理由；

(2)在木棍滑動(dòng)的過程中，當(dāng)滑動(dòng)到什么位置時(shí)，AAOB的面積最大？簡述理由，并求出面

積的最大值.

37.如圖，ZliABC和4ECD都是等腰直角三角形，ZACB=ZECD=90°,D為AB邊上一

點(diǎn).

求證：(1)Z\ACE絲ABCD；(2)AD2+DB2=DE2.

38.(1)如圖①是一個(gè)重要公式的幾何解釋，請你寫出這個(gè)公式；

(2)如圖②，RtAABC^RtACDE,ZB=ZD=90°,且B、C、D三點(diǎn)共線，試證明NACE

=90°；

⑶伽菲爾德(Garfield,1881年任美國第20屆總統(tǒng))利用⑴中的公式和圖②證明了勾股定理

(1876年4月1日，發(fā)表在《新英格蘭教育日志》上)，現(xiàn)請你嘗試該發(fā)明過程.

bA

BbCaD

①②

教師樣卷

經(jīng)典例題

例1.己知，在△ABC中，ZACB=90°,CD_LAB垂足為D,BC=6,AC=8,求AB與CD的長.

解：在AABC中，ZACB=90°,CD±AB垂足為D,BC=6,AC=8,由勾股定理得:

AB=7BC2+爽工10,?：SAABC=V2AB?CD=皿AC?BC,/.CD=4.8

例2.如圖，在一棵樹的10米高B處有兩只猴子，其中一只爬下樹走向離樹20米的池塘C,

而另一只爬到樹頂D后直撲池塘C,結(jié)果兩只猴子經(jīng)過的距離相等，問這棵樹有多高？

解：設(shè)BD=x米,則AD=(10+x)米,CD=(30-x)米,根據(jù)題意，得：

(30-x)2-(x+10)2=202,解得x=5.即樹的高度是10+5=15米

例3.如圖,在ABC中，NACB=90",AC=BC,P、Q在斜邊上，且NPCQ=45°,求證：PQ2=AP2+BQ2?

證明：如圖，在PC的右側(cè)作CP的垂線，并截取CD=CP,連接BD,QD,則NDCQ=NPCQ=45。,

于是可證4DCB之△PCA(SAS),得AP=BD,NDBC=ZA=45°,「.ZDBQ=90°,再證△DCQV△PCQ

(SAS),得DQ=PQ,RtADBQ中，DQ2=BQ2+BD2SPPQ2=AP2+BQ2o

例4..在正方形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，且FC=皿DC.試說明：AE±EF

勾股定理得AF=5a,EF=5a,AE=25a從而由(v，5a)2+(2v5a)2=(5a)2即

EF2+AE2=AF2.,.△AEF為直角三角形，斜邊為AF,故NAEF=90°,即AE_LEF

例5.如圖，距沿海某城市A正南220千米的B處，有一臺風(fēng)中心，其最大風(fēng)力為12級，

每遠(yuǎn)離臺風(fēng)中心20千米，風(fēng)力就減弱1級，該中心正以每小時(shí)15千米的速度沿北偏東30°

的方向移動(dòng)，且風(fēng)力不變，若城市A所受風(fēng)力達(dá)到或超過4級，則稱為受臺風(fēng)影響.(1)

A城市是否會受臺風(fēng)影響？為什么？(2)若會，將持續(xù)多長時(shí)間？(3)該城市受臺風(fēng)影響

的最大風(fēng)力為幾級？

C

1/

/風(fēng)向

夕/

解：（1）該城市會受到這次臺風(fēng)的影響.理由是：如圖，過A作ADLBC于D在

中，：乙48。=30°,AB=220,AAD=l/2AB=110,二,城市受到的風(fēng)力達(dá)到或超過四級，

則稱受臺風(fēng)影響，.?.受臺風(fēng)影響范圍的半徑為20X（12-4）=160.V110<160,

...該城市會受到這次臺風(fēng)的影響.（2）如圖以A為圓心，160為半徑作OA交

于E、F.則AE=AP=160....臺風(fēng)影響該市持續(xù)的路程為：EF=2DE=什；:“

\'、邙

2716021102=60^,，臺風(fēng)影響該市的持續(xù)時(shí)間‘=6°/元+15=%怎（小

時(shí)）.（3）距臺風(fēng)中心最近，.?.該城市受到這次臺風(fēng)最大風(fēng)力為：12-（110:V.

>D.

4-20）=6.5（級）.

《第三章勾股定理》強(qiáng)化提優(yōu)

（時(shí)間：90分鐘滿分：120分）

一.選擇題（共20小題共40分）

1.下列每一組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)值分別為三角形的三邊長，不能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.3、4、5B.6、8、10C.小、2、3D.5、12、13

【答案】C【解答】由勾股定理的逆定理可判定A、B、D三項(xiàng)均能構(gòu)成直角三角形.：（/）2

+2?W（小下，.?.選C.

3.如圖，4ABC是等腰直角三角形，BC是斜邊，將AABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與

△ACP'重合，如果AP=3,那么PP'的長等于（）

A.3^2B.2小C.4y[2D.3小

【答案】A【解答】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NP'AP=90。,AP'=AP=3,在RtZiAPP，中，根

據(jù)勾股定理得PP'=7AP2+AP'2=732+32=3班,.?.選A.

第2題圖第4題圖第5題圖第6題圖第7題圖

3.若一直角三角形兩邊長分別為12和5,則第三邊長的平方為（）

A.169B.169或119C.169或225D.225

【答案】B【解析】若12和5都為直角邊，則第三邊長平方為169若12為斜邊，5為直

角邊，則第三邊的平方為119,故答案為：B.

4.如圖所示，有一塊地，已知AD=4米，CD=3米，ZADC=90°,AB=13米，BC=12米，則這

塊地的面積為（）c

A.24平方米B.26平方米C.28平方米D.30平方米

【答案】A【解析】【解答】如圖，連接AC.由勾股定理可知AC=VAD2+C-“

22

=V4+3=5,又,.,AC2+BC2=52+122=132=ABR.AABC是直角三角形故所求面

積=4m(3的面積-AACD的面積=1/2x5xl2-1/2x3x4=24(m2>.答案為:A

6.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,CD_LAB于點(diǎn)D.已知BC=8,AC=6,則線段CD

的長為()

A.10

【答案】C【解析】VZACB=90°,BC=8,AC=6,/.AB=10.VCDXAB,.\!ABCD=

11124

^ACBC,即iX10XCD=5><8><6,：.CD=~r.￡

ZZZD

眩'》

6..如圖，在銳角△ABC中，AC=10,SAABC=25,NBAC的平分線交BC于點(diǎn)

D,點(diǎn)M,N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是（）

B.2仍

【答案】C【解析】【解答】如圖，AD是NBAC的平分線，.?.點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)B，

在AC上，過點(diǎn)夕作BNLAB于N交AD于M,由軸對稱確定最短路線問題，點(diǎn)M即為使

BM+MN最小的點(diǎn)，B，N=BM+MN,過點(diǎn)B作BE_LAC于E,rAC=10,SAABC=25,/.1J2xl0?BE=25,

解得BE=5,AD是NBAC的平分線，B，與B關(guān)于AD對稱，=AB=AB，，二△ABB，是等腰三角

形，，B，N=BE=5,即BM+MN的最小值是5.故答案為：C.餐二

7.如圖，點(diǎn)P是NAOB內(nèi)任意一點(diǎn)，且NAOB=40°,點(diǎn)M和點(diǎn)N分別

是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN周長取最小值時(shí)，則NMPN。毛三二^一

的度數(shù)為（）一噓

A.1400B.1000C.50°D.40°

【答案】B【解析】【解答】如圖，分別作點(diǎn)P關(guān)于0B、0A的對稱點(diǎn)C、D,連接CD,分別

交OA、0B于點(diǎn)M、N,連接0C、0D、PM、PN、MN,此時(shí)APMN周長取最小值.根據(jù)軸對稱的性

質(zhì)可得OC=OP=OD,ZCON=ZPONZPOM=ZDOM；因ZAOB=ZMOP+ZPON=4O°,即可得

ZCOD=2ZAOB=8O°,在中，OC=OD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可得

ZOCD=ZODC=5O°；在MON和AP0N中，OC=OP,zC0N=zP0N,ON=ON,利用SAS判定MON要APON,

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得4）CN=ZNPO=5O。，同理可得NOPM=4）DM=5O。，所以

ZMPN=ZNPO+ZOPM=5O°+50°=100°.故答案為：B.

8.下列各組數(shù)據(jù)分別為三角形的三邊長：①2,3,4；②5,12,13；③血，木,小;@m2-n2,

m2+n2-2mn.其中是直角三角形的有（）

A.①②B.③④C.①③D.②④

【答案】D【解析】利用直角三角形的判定定理易得②④可組成直角三角形.

9.如圖，點(diǎn)A的正方體左側(cè)面的中心，點(diǎn)B是正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，正方體的棱長為2,一螞

蟻從點(diǎn)A沿其表面爬到點(diǎn)B的最短路程是（）

A.3B.272C.V10D.4

【答案】c【解析】如圖，AB=J（1+2）2+1=VHL故選c.

10.如圖，邊長為6的大正方形中有兩個(gè)小正方形，若兩個(gè)小正方形的面積分別為Si、S2,

則S2+S2的值為()

A.16B.17C.18D.19

【答案】B【解析】如圖，設(shè)正方形Si的邊長為x,「△ABC和4CDE都為等腰直角三角

形，；.AB=BC,DE=DC,ZABC=ZD=90°,.，.sinZCAB=sin45°=BCAC=22,即

AC=2BC,同理可得：BC=CE=2CD,AC=2BC=2CD,又：AD=AC+CD=6,

CD=63=2,.\EC2=22+22,即EC=22；；.Si的面積為EC2=22x22=8；：/MAO=

ZMOA=45°,/.AM=MO,VMO=MN,；.AM=MN,...M為AN的中點(diǎn)，；.S2

的邊長為3,；.S2的面積為3x3=9,.?.SI+S2=8+9=17.故選B.

11.在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五"的記載.如圖1是由邊長相等

的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理.圖2是由圖1放入長方

形內(nèi)得到的，NBAC=90。，AB=6,AC=8,點(diǎn)D,E,F,G,H,I都在長方形KLMJ的邊上，

則長方形KLMJ的面積為()

A.360B.400C.440D.484

【答案】C【解析】如下圖：延長AB交KL于點(diǎn)O,延長AC交GM于點(diǎn)P,則四邊形APLO

是正方形，A0=AB+AC=14,KL=6+14=20,ML=8+14=22,長方形KLMJ的面積為22*20=440.

故答案為：C.

12.如圖，。為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，OD_LAB,OE±AC,OF±BC,若OD=OE=OF,連接OA,

OB,OC,下列說法不一定正確的是()

A.ABOD空△BOFB.ZOAD=ZOBFC.ZCOE=ZCOFD.AD=AE

【答案】B【解析】【解答】A、OD_LAB,OE±AC,OF±BC,OD=OE=OF,二0在NABC

的角平分線上QDBO=NFBO),ZODB=NOFB=90。，?/在4BOD和^BOF中

ZBDO=ZBFOZDBO=ZFBOBO=BO/.△BODV△BOF,正確，A不符合題意；B、根據(jù)

已知不能推出NOAD=ZOBF,錯(cuò)誤，符合題意；C、；OD±AB,OE±AC,OF±BC,OD=OE=OF,

0在NACB的角平分線上(NFCO=ZECO),ZOFC=ZOEC=90°,:在ACOF和ACOE中

ZCFO=ZCEOZFCO=NECOCO=CO/.&CO0&COE,/.ZCOE=NCOF,正確，不符合題

意；D、OD±AB,OE±AC,ZAD0=ZAEO=90°,OD=OE,OA=OA,由勾股定理得：

AE=AD,正確，不符合題意；故答案為：B

13.如圖，在長、寬都為3cm,高為8cm的長方體紙盒的A處有一粒米粒，一只螞蟻在B處

去覓食，那么它所行的最短路線的長是()

A.(32+8)cmB.lOcmC.82cmD.無法確定

【答案】B【解析】將點(diǎn)A和點(diǎn)B所在的兩個(gè)面展開，①矩形的長和

寬分別為6cm和8cm,故矩形對角線長AB=62+82=10cm；②矩形的長和/,,"

寬分別為3cm和11,故矩形對角線長AB=32+112=130cm.即螞蟻所行的I

"6“3

最短路線長是10cm.故選B.

第13題圖

14.要登上某建筑物，靠墻有一架梯子，底端離建筑物3m,頂端離地面4m,則梯子的長度

為（）

A.2mB.3mC.4mD.5m

【答案】D【解析】根據(jù)題意，畫出圖形，AB=4m,BC=3m,AC為梯子的長度，

可知△BAC^Rg,有AC=AB2+BC2=42+32=5（m）.故選：D.

15.若直角三角形的兩邊長分別為a,b,且滿足a2-6a+9+|b-4|=0,則該直角三角4

形的第三邊長為（）

A.5B.7C.4D.5或7

【答案】D【解析】：a2-6a+9+|b-4|=0,.'.a2-6a+9=0,b-4=0,；.a=3,b=4,

...直角三角形的第三邊長=42+32=5,或直角三角形的第三邊長=42-32=7,直角三角形

的第三邊長為5或7,故選D.

16.如圖，在AABC中，ZACB=90°,BC=3,AC=4,AB的垂直平分線DE交BC的延長

線于點(diǎn)E,則CE的長為（）

3725

B.3B.TC.~7~D.2

266

【答案】B【解析】連結(jié)AE,：DE垂直平分AB,AE=BE.設(shè)CE=x,貝|BE=AE=

7

3+x.在Rt^ACE中，VAC2+CE2=AE2,.,.42+X2=（3+X）2,解得X=&.

17.有一張直角三角形紙片，兩直角邊長AC=6cm,BC=8cm,將AABC折疊，使點(diǎn)B與

點(diǎn)A重合，折痕為DE（如圖），則CD等于（）

252275

B.-cmB.-cmC.4cmDqcm

【答案】C【解析】設(shè)CD=xcm,則AD=BD=（8—x）cm,又AC=6cm,在RtZ\ACD

7

中，根據(jù)勾股定理,得6?+x2=（8—x）2,，x=w.

18..如圖，一架2.5米長的梯子AB,斜靠在一豎直的墻AC上，這時(shí)梯足B到墻底端C的距

離為0.7米，如果梯子的頂端下滑0.4米，則梯足將向外移（）

A.0.6米B.0.7米C.0.8米D,0.9米

【答案】C【解析】在直角三角形ABC中，首先根據(jù)勾股定理求得AC=2.4,則A，C=2.4-

0.4=2,在直角三角形AEC中，根據(jù)勾股定理求得B，C=1.5,所以B，B=1.5-0.7=0.8,故選C.

19.一直角三角形兩邊分別為3和5,則第三邊為（）

A、4B、\/34C、4或V34D,2

【答案】C【解析】①當(dāng)5是斜邊時(shí)，根據(jù)勾股定理，得：第三邊是4；②當(dāng)5是直角

邊時(shí)，根據(jù)勾股定理，得：第三邊是抬+52=屈.故選C.

20.如圖，在RtZ\ABC中，以三邊AB、BC、CA為直徑向外作半圓，設(shè)直線AB左邊陰影

部分的面積為S1，右邊陰影部分的面積和為S2,貝!]()

A.Si=S2B.Si<S2C.Si>S2D.無法確定

ARRCAC

2222-22

【答案】A【解析]\'AB=BC+AC,/.)=,(-y)+71,(―),s1=s2.

—.填空題(共10小題共20分)

21.圖甲是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的.在

2△ABC中，若直角邊AC=6,BC=5,將四個(gè)直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外

延長一倍，得到圖乙所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(圖乙中的實(shí)線)是

【答案】76【解析】由勾股定理得#52+(6+6)2=13,外圍周長是4X(13+6)=4X19=76.

第21題圖第23題圖第25題圖第26題圖

22.若一直角三角形的兩邊長為4、5,則第三邊的長為

【答案】百和3【解析】【解答】解：當(dāng)4和5都是直角邊時(shí)，則第三邊是歷

當(dāng)5是斜邊時(shí)，則第三邊是3.故答案為：歷和3.

23.如圖，已知在RtaABC中，ZACB=90°,AB=4,分別以AC、BC為直徑作半圓，面積分別

記為S1、$2,則S1+S2等于.

2

【答案】2n【解析】Si=1/2兀(AC/2)2="SrtAC?,S2=lySnBC,所以Si+52=或兀

(AC2+BC2)=V8nAB2=2n.故答案為：2H.

24..一根旗桿在離底部4.5米的地方折斷，旗桿頂端落在離旗桿底部6米處，則旗桿折斷前

高為________

【答案】12米【解析】【解答】解：如圖所示，AC=6米，BC=4.5米，由勾

股定理得，AB=4.52+62=7.5(米).故旗桿折斷前高為：4.5+7.5=12(米).故/

答案是：12米.J

25.如圖，為測得到池塘兩岸點(diǎn)A和點(diǎn)B間的距離，一個(gè)觀測者在C點(diǎn)設(shè)樁，使NABC=90。,

并測得AC長5米、BC長4米，則A、B兩點(diǎn)間距離是米.

【答案】3【解析】【解答】由題意得，AC=5米，BC=4米，在RtAABC中，AB=',AC?一BC?

=3米故答案為：3

26.如圖，等邊△ABC的邊長為6,AD是BC邊上的中線,M是AD上的動(dòng)點(diǎn),E是AC邊上一點(diǎn)，若

AE=3,EM+CM的最小值為.

【答案】3百【解析】【解答】解：如圖作點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)是點(diǎn)B,連接BE交AD于

點(diǎn)M,連接CM〔,等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線.IAD是BC邊上的高線，即AD垂直

平分BC.-.MB=MC當(dāng)B.M、E三點(diǎn)共線時(shí)，EM+CM的值最小，即EM+CM=EM+BM=BE；等邊

△ABC中，E是AC邊的中點(diǎn).,.在RtAABE中，

BE='A52-AF2=V62-32=3V5故答案為：3>/1

27..在直線I上依次擺放著七個(gè)正方形(如圖所示).已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是

1,2,3,正放置的四個(gè)正方形的面積依次是Si,S2,S3,S4,則

S1+S2+S3+S4=

【答案】4【解析】觀察發(fā)現(xiàn)，

AB=BE,ZACB=ZBDE=90",

ZABC+ZBAC=90°,ZABC+ZEBD=90°,

ZBAC=ZEBD,二△ABCV&BDE(AAS),

222222

BC=ED,■，-AB=AC+BC,AB=AC+ED=SI+S2,即S1+S2E,同理S3+S4=3.貝U

SI+S2+S3+S4=1+3=4.故答案為：4.

第27題圖第28題圖第30題圖

28.我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅"弦圖"，后人稱其為"趙爽弦圖"(如

圖(1)).圖(2)由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形

ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為Si、S2、S3.若正方形EFGH的邊長為2,

則Si+S2+S3=.

【答案】12【解析】：八個(gè)直角三角形全等，四邊形ABCD,EFGH,MNKT是正方形，

CG=KG,CF=DG=KF,，Si=(CG+DG)2=CG2+DG2+2CG?DG=GF2+2CG?DG,

22222222

S2=GF,S3=(KF-NF)=KF+NF-2KF?NF,SI+S2+S3=GF+2CG?DG+GF+KF+NF-

2KF?NF=3GF2=12,故答案是：12.

29.若AABC的三邊分別是a、b、c,且a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,則AABC是

三角形.

【答案】直角【解析】把a(bǔ)2+b2+c2+50=6a+8b+10c移項(xiàng)，配方，得(a—3>+(b—4)2

+(c—5)2=0...a=3,b=4,c=5,V32+42=52,即a2+b2=c2.；.ZkABC是直角三角形.

30.如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4,AD=3,折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，折

痕為DG,則AG的長為（）

3

【答案】，【解析】在矩形ABCD中，ZA=90°,VAB=4,AD=3,；.BD=5,折疊后

A'D=AD=3,...A'B=2.設(shè)AG=x,則BG=4—x,在Rt^GA'B中，A'G2+AZB2

3

=GB2,x2+22=（4—x）2,.".x=2.

三.解答題（共10小題共60分）

31如圖，在四邊形ABCD中，/B=/D=90°,ZA=60°,BC=2,CD=1,求AD的長.

解：分別延長AD、DC交于點(diǎn)E,在Rt^ABE中，：NA=60。，

E=30°,在Rt^CBE中，VZE=30°,BC=2,，EC=4,.，.DE=4+1=5,在此△

ABE中，ZE=30°,AE=2AD,AE2=AD2+DE2,4AD2=AD2+52,解得：

AD=*.

3

32.如圖，ZiABC中，CD_LAB于D,若AD=2BD,AC=6,BC=4,求BD的

ADB

解：設(shè)BD=x,貝!]AD=2x,在RtZ\ACD中，由勾股定理得，AC2-AD2=CD2,

在Rt^BCD中，BC2-BD2=CD2,/.AC2-AD2=BC2-BD2,即62-(2x)2=42-x2

解得，x=2jly/3,貝!JBD=2JH/3.

33.如圖，沿折痕AE折疊矩形ABCD的一邊，使點(diǎn)D落在BC邊上一點(diǎn)F處.若AB=8,且4ABF

的面積為24,求EC的長.

解：-.^6=8,.「在RtMBF中，AF=\/AB2+AF-=10,.-AD=AF=BC=10.-JCF=10-

6=4設(shè)EC=x,則EF=DE=8-x.在RtAECF中，EF2=CF2+CE2,即(8-x)2=x2+42,解得,

x=3..*.CE=3.

34.如圖，滑桿在機(jī)械槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)，/