第二十章建立數(shù)學(xué)建模案例分析

鎖具裝箱問(wèn)題[學(xué)習(xí)目標(biāo)]能表述鎖具裝箱問(wèn)題的分析過(guò)程；能表述模型的建立方法；會(huì)利用排列組合來(lái)計(jì)算古典概型；會(huì)利用Mathematica求解鎖具裝箱問(wèn)題。問(wèn)題某廠生產(chǎn)一種彈子鎖具，每個(gè)鎖具的鑰匙有5個(gè)槽，每個(gè)槽的高度從{1，2，3，4，5，6}6個(gè)數(shù)（單位從略）中任取一數(shù)。由于工藝及其它原因，制造鎖具時(shí)對(duì)5個(gè)槽的高度有兩個(gè)要求：一是至少有3個(gè)不同的數(shù)；二是相鄰兩槽的高度之差不能為5。滿(mǎn)足上述兩個(gè)條件制造出來(lái)的所有互不相同的鎖具稱(chēng)為一批。銷(xiāo)售部門(mén)在一批鎖具中隨意地抽取，每60個(gè)裝一箱出售。從顧客的利益出發(fā)，自然希望在每批鎖具中不能互開(kāi)（“一把鑰匙開(kāi)一把鎖”）。但是，在當(dāng)前工藝條件下，對(duì)于同一批中兩個(gè)鎖具是否能夠互開(kāi)，有以下實(shí)驗(yàn)結(jié)果：若二者相對(duì)應(yīng)的5個(gè)槽的高度中有4個(gè)相同，另一個(gè)槽的高度差為1，則可能互開(kāi)；在其它情況下，不可能互開(kāi)。團(tuán)體顧客往往購(gòu)買(mǎi)幾箱到幾十箱，他們會(huì)抱怨購(gòu)得的鎖具中出現(xiàn)互開(kāi)的情形?，F(xiàn)請(qǐng)回答以下問(wèn)題：每批鎖具有多少個(gè)，能裝多少箱？按照原來(lái)的裝箱方案，如何定量地衡量團(tuán)體顧客抱怨互開(kāi)的程度（試對(duì)購(gòu)買(mǎi)一、二箱者給出具體結(jié)果）。問(wèn)題分析與建立模型因?yàn)閺椬渔i具的鑰匙有5個(gè)槽，每個(gè)槽的高度從{1，2，3，4，5，6}這6個(gè)數(shù)中任取一數(shù)，且5個(gè)槽的高度必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：至少有3個(gè)不同的數(shù)；相鄰兩槽的高度之差不能為5。所以我們?cè)谇笠慌i具的總數(shù)時(shí)，應(yīng)把問(wèn)題化為三種情況，即5個(gè)槽的高度由5個(gè)不同數(shù)字組成、由4個(gè)不同數(shù)字組成、由3個(gè)不同數(shù)字組成，分別算出各種情況的鎖具個(gè)數(shù)，然后相加便得到一批鎖具的總個(gè)數(shù)。在分別求這三種情況鎖具個(gè)數(shù)的時(shí)候，先求出滿(mǎn)足第1個(gè)條件的鎖具個(gè)數(shù)再減去不滿(mǎn)足第2個(gè)條件的鎖具個(gè)數(shù)。在求這三種情況鎖具個(gè)數(shù)的時(shí)候，主要依靠排列組合的不盡相異元素的全排列公式。下面用一個(gè)5元數(shù)組來(lái)表示一個(gè)鎖具：Key=（h1，h2，h3，h4，h5）其中hi表示第i個(gè)槽的高度，i=1，2，3，4，5。此5元數(shù)組表示一把鎖，應(yīng)滿(mǎn)足下述條件：條件1：hi∈{1，2，3，4，5，6}，i=1，2，3，4，5。條件2：對(duì)于任意一種槽高排列h1，h2，h3，h4，h5，至少有3種不同的槽高。條件3：對(duì)于任意一種槽高排列h1，h2，h3，h4，h5，有|hi，hi-1|≠5，i=2，3，4，5。而兩個(gè)鎖可以互開(kāi)的條件為：兩個(gè)鎖的鑰匙有四個(gè)槽高相同，其中一個(gè)槽高相差為1。一批鎖具個(gè)數(shù)的計(jì)算記一批鎖具的集合為：K={（h1，h2，h3，h4，h5）|hi∈{1，2，3，4，5，6}，i=1，2，3，4，5，且（h1，h2，h3，h4，h5）為一鎖具}，其個(gè)數(shù)小于65，可采用逐個(gè)檢驗(yàn)條件1，2，3的方法，求一批中的所有鎖具，當(dāng)然也可計(jì)算出其個(gè)數(shù)。抱怨程度的刻劃在這里我們簡(jiǎn)單地用平均互開(kāi)總對(duì)數(shù)來(lái)刻劃抱怨程度，所以，關(guān)鍵是計(jì)算出顧客購(gòu)買(mǎi)一箱或兩箱時(shí)的平均互開(kāi)總對(duì)數(shù)，這可以用計(jì)算機(jī)模擬去計(jì)算。我們引入下面的記號(hào)：P={（h1，h2，h3，h4，h5）|（h1，h2，h3，h4，h5）∈K，且為偶數(shù)}Q={（h1，h2，h3，h4，h5）|（h1，h2，h3，h4，h5）∈K，且為奇數(shù)}則可得到P中的鎖具不能互開(kāi)，Q中的鎖具不能互開(kāi)，P中的鎖具與Q中的才能互開(kāi)。在計(jì)算中，判斷互開(kāi)時(shí)，我們將P和Q中的鎖具分別標(biāo)號(hào)為0，1，這樣就減少了判斷時(shí)的計(jì)算，大大提高了計(jì)算速度。說(shuō)明：直接用平均互開(kāi)總對(duì)數(shù)來(lái)刻劃抱怨程度有一定的不合理性。因?yàn)檫@樣來(lái)刻劃，購(gòu)買(mǎi)的箱數(shù)越多，抱怨程度就越大，而實(shí)際上，購(gòu)買(mǎi)的越多，自然互開(kāi)的可能性就越大，這是顧客意料之中的，不應(yīng)有太多的抱怨，顧客所不能容忍的是在購(gòu)買(mǎi)少量的鎖具而出現(xiàn)互開(kāi)現(xiàn)象。因此應(yīng)把購(gòu)買(mǎi)箱數(shù)作為一個(gè)因素考慮到抱怨函數(shù)中。理想的抱怨函數(shù)應(yīng)該是，開(kāi)始隨購(gòu)買(mǎi)量的增加而增加，到一定量后下降，這才合理。在這里，我們的主要任務(wù)是模擬求解，而簡(jiǎn)單地用平均互開(kāi)總對(duì)數(shù)來(lái)刻劃抱怨程度。計(jì)算過(guò)程計(jì)算流程如下：對(duì)（h1，h2，h3，h4，h5）的所有排列逐個(gè)檢驗(yàn)條件2、條件3，判斷其是否為鎖具，將鎖具放在數(shù)組key中，若為奇數(shù)，標(biāo)號(hào)為1，若為偶數(shù)，標(biāo)號(hào)為0，并計(jì)數(shù)count。輸出一批鎖具的總個(gè)數(shù)count。多次用隨機(jī)數(shù)來(lái)模擬銷(xiāo)售一箱的情況，計(jì)算平均互開(kāi)總對(duì)數(shù)。輸出一箱平均互開(kāi)總對(duì)數(shù)average。注意：以上流程略去了某些細(xì)節(jié)，具體的細(xì)節(jié)可參看下面的程序。對(duì)上流程稍加修改，可用于研究2，3，4箱等的平均互開(kāi)總對(duì)數(shù)。程序?qū)Γ╤1，h2，h3，h4，h5）的所有排列逐個(gè)檢驗(yàn)條件2、條件3時(shí)要進(jìn)行兩次判斷，一次是判斷（h1，h2，h3，h4，h5）是否有3個(gè)不同的數(shù)，另一次是相鄰槽高之差是否為5。在前一次判斷時(shí)，采用了比較簡(jiǎn)捷的方法，請(qǐng)仔細(xì)考察。找（h1，h2，h3，h4，h5）的所有排列，實(shí)際上可用五重循環(huán)來(lái)實(shí)現(xiàn)。具體程序如下：Model[{h1，h2，h3，h4，h5，flag，cnt，key，flal，su，te，keel，i，aid，mnx，kebe，k，j，n}，（*計(jì)算一批鎖具的個(gè)數(shù)*）key=Table[Table[0，{5}]，{5880}]；keel=Table[0，{5}]；flag=Table[-1，{5880}]；cnt=0；For[h1=1，h1<=6，h1++，F(xiàn)or[h2=1，h2<=6，h2++，F(xiàn)or[h3=1，h3<=6，h3++，F(xiàn)or[h4=1，h4<=6，h4++，F(xiàn)or[h5=1，h5<=6，h5++，te=Table[0，{6}]；te[[h1]]=1；te[[h2]]=1；Te=[[h3]]=1；te[[h4]]=1；te[[h5]]=1；su=te.Table[1，{6}]；If[su>=3，keel[[1]]=h1；keel[[2]]=h2；keel[[3]]=h3；For[flal=1；i=2，i<=5，i++，If[Abs[keel[[i]]-keel[[i-1]]]>=5，flal=0，]]；If[flal==1，cnt++；key[[cnt]]=keel；flag[[cnt]]=If[Mod[keel.Table[1，{5}]，2]==0，0，1]；，]，]]]]]]；Print[“count=”，cnt]；（*計(jì)算顧客購(gòu)買(mǎi)一箱時(shí)的平均互開(kāi)總對(duì)數(shù)*）cnt=0；aid=Table[1，{5}]；kebe=Table[0，{5}]；For[n=1，n<=1000，n++，（*模擬1000次*）Mnx=Table[Rndom[Integer，{1，5880}]，{60}]；For[i=1，i<=60，i++，F(xiàn)or[k=i+11，k<=60，k++，If[flag[[mnx[[i]]]!=flag[[mnx[[k]]]]，If[Abs[key[[mnx[[i]]]].aid-key[[mnx[[k]]]].aid]==1，Keel=key[[mnx[[I]]]]；kebe=key[[mnx[[k]]]]；For[flal=0；j=1，j<=5，j++，If[keel[[j]]!=kebe[[j]]，flal++，]]；If[flal==1，cnt++，]，]，]；]]]；Print[“Average=”，N[cnt/1000]]；]運(yùn)算結(jié)果：count=5880與Average=2.362，即得到一批鎖具的個(gè)數(shù)為：5880，購(gòu)買(mǎi)一箱的平均互開(kāi)總對(duì)數(shù)大約為：2.362。對(duì)程序稍加修改可得到買(mǎi)兩箱時(shí)的平均互開(kāi)總對(duì)數(shù)大約為：8.91，即得到如下結(jié)果：count=5880與Average=8.91。習(xí)題15.4請(qǐng)為銷(xiāo)售部門(mén)提出一種方案，包括如何裝箱（仍舊是60個(gè)鎖具裝一箱），如何給箱子以標(biāo)志，出售時(shí)如何利用這些標(biāo)志，使團(tuán)體顧客不再抱怨或減少抱怨？有4位教師給5個(gè)班級(jí)授課，按教學(xué)要求教師Xi給班級(jí)Yi上課的課時(shí)數(shù)如下表所示。班級(jí)教師Y1Y2Y3Y4Y5X120110X201010X301110X400011試排出課程表。某些工業(yè)部門(mén)（如貴重石材加工等）采用截?cái)嗲懈畹募庸し绞?，從一個(gè)長(zhǎng)方體中加工出一個(gè)已知尺寸、位置預(yù)定的長(zhǎng)方體（這兩個(gè)長(zhǎng)方體的對(duì)應(yīng)表面是平行的），通常要經(jīng)過(guò)六次截?cái)嗲懈?。已知待加工長(zhǎng)方體和成品長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為10、14.5、19和3、2、4，二者左側(cè)面、正面、底面之間的距離分別為6、7、9（單位均為厘米）。切割費(fèi)用為每平方厘米1元，試求最佳切割方案。復(fù)習(xí)題十五席位分配問(wèn)題在n個(gè)單位的團(tuán)體中，經(jīng)常涉及到代表名額分配問(wèn)題，每個(gè)單位都希望自己的代表名額多一些，以便在委員會(huì)中能更好地反映自己?jiǎn)挝坏囊鈭D。試設(shè)計(jì)一種公平的代表名額分配方案，并針對(duì)下面三種情況就方案的公平與合理性進(jìn)行說(shuō)明。該團(tuán)體有A、B、C三個(gè)單位，開(kāi)始時(shí)A、B、C三個(gè)單位的人數(shù)分別是100、60、40，一年后三單位的人數(shù)是103、63、34。就20名代表和21名代表名額給出分配方案。該團(tuán)體有A、B、C、D、E五個(gè)單位，其人數(shù)分別為9061、7179、5259、3319、1182，給出26、27、28、29個(gè)代表名額的分配方案。該團(tuán)體有A、B、C、D、E、F六個(gè)單位，其人數(shù)分別為9215、159、158、157、156、155，給出100名代表名額的分配方案。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分解組成生命蛋白質(zhì)的若干種氨基酸可以形成不同的組合，通過(guò)質(zhì)譜實(shí)驗(yàn)測(cè)定分子量來(lái)分析某個(gè)生命蛋白質(zhì)分子的組成時(shí)，遇到的首要問(wèn)題就是如何將它的分子量x分解為幾個(gè)氨基酸的已知分子量a[i]（i=1，2，…，n）之和，某實(shí)驗(yàn)室所研究的問(wèn)題中：n=18，a[1：18]=57，71，87，97，99，101，103，113，114，115，128，129，131，147，156，163，186。x為正整數(shù)小于等于1000。要求針對(duì)該實(shí)驗(yàn)室擁有或不擁有計(jì)算機(jī)的情況，對(duì)上述問(wèn)題提出相應(yīng)解答，并就所討論的數(shù)學(xué)模型與方法在一般情形下進(jìn)行討論。加工順序現(xiàn)有14件工件等待在一臺(tái)機(jī)床上加工，某些工件的加工必須安排在另一些工件加工完工以后才能開(kāi)始，第j號(hào)工件的加工時(shí)間tj及先期必須完工的工件號(hào)i由下表給出。工件號(hào)j1234567891011121314tj2028251642123210242040243616前期工件號(hào)i3,45,7,85,9-10,113,8,943,5,74-4,76,7,145,121,2,6若給出一個(gè)加工工序，則確定了每個(gè)工件的完工時(shí)間（包括等待與加工兩個(gè)階段）。試設(shè)計(jì)一個(gè)滿(mǎn)足條件的加工順序，使各工件的完工時(shí)間之和最小。若第j號(hào)工件緊接著第i號(hào)工件完工后開(kāi)工，機(jī)床需要花費(fèi)的準(zhǔn)備時(shí)間是：假定工件的完工時(shí)間（包括等待與加工兩個(gè)階段）超過(guò)一確定時(shí)限u時(shí)，則需支付一定的補(bǔ)償費(fèi)用，其數(shù)值等于超過(guò)時(shí)間與費(fèi)用率之積，各工件的補(bǔ)償費(fèi)用率ωi如下：j1234567891011121314ωi121015161011108541010812u=100，tij=0，安排一個(gè)加工順序，使總補(bǔ)償最小。追捕與逃跑的策略問(wèn)題一種肉食（捕食其它動(dòng)物的）恐龍，成年恐龍平均長(zhǎng)3米，髖高0.5米，重約45公斤。據(jù)估計(jì)，這種恐龍跑的非?？?，速度可達(dá)60公里/小時(shí)，持續(xù)15秒。在以這種速度進(jìn)行沖刺后，它要停下來(lái)在其肌肉中增加乳酸以恢復(fù)體力。假設(shè)恐龍捕食一種稱(chēng)為太西龍屬的雙足食草動(dòng)物，大小與所述恐龍差不多，可以50公里/小時(shí)的速度長(zhǎng)時(shí)間奔跑。設(shè)恐龍是一只獨(dú)居的獵食者，試設(shè)計(jì)一個(gè)單個(gè)恐龍潛近獵物并追捕單只太西龍屬的策略，以及被追捕者逃避追捕策略的數(shù)學(xué)模型。假設(shè)當(dāng)恐龍潛近15米內(nèi)時(shí)，太西龍屬總能察覺(jué)到，根據(jù)棲息地及氣候的條件不同，甚至在（多達(dá)50米）更大范圍內(nèi)覺(jué)察欲捕食者的存在。此外，由于恐龍的身體結(jié)構(gòu)及體能，它在全速奔跑時(shí)的轉(zhuǎn)彎半徑是有限的，據(jù)估計(jì)，轉(zhuǎn)彎半徑大約是其髖高的三倍。另一方面，太西龍屬卻是極其靈活的，其轉(zhuǎn)彎半徑只有0.5米。更現(xiàn)實(shí)地假設(shè)恐龍是成對(duì)外出追獵，試設(shè)計(jì)一個(gè)新的關(guān)于成對(duì)恐龍潛近獵物并追獵單只太西龍屬的策略，以及被追捕者逃避追捕策略的數(shù)學(xué)模型。利用（1）中給的假設(shè)和限制。評(píng)卷問(wèn)題在確定以論文形式給出比賽優(yōu)勝者時(shí)，常常要評(píng)閱大量的答卷，比如說(shuō)有P=100份答卷。一個(gè)由J位評(píng)閱人組成的小組來(lái)完成評(píng)閱任務(wù)，基于比賽資金，對(duì)于能夠聘請(qǐng)的評(píng)閱人數(shù)量和評(píng)閱時(shí)間的限制，如果P=100，通常J=8。理想的情況是每個(gè)評(píng)閱人看所有的答卷，并給出分?jǐn)?shù)。為了減少所看答卷的數(shù)量，考慮如下的篩選模式：如果答卷是被排序的，則在每個(gè)評(píng)閱人給出的排序中排在最下面的30%答卷被篩除；如果答卷被打分（比如說(shuō)從1分到10分），則某個(gè)截止分?jǐn)?shù)線以下的答卷被篩除。這樣，通過(guò)篩選的答卷重新放在一起返回給評(píng)閱小組，重復(fù)上述過(guò)程。人們關(guān)注的是，每個(gè)評(píng)閱人看的答卷總數(shù)要顯