2.4.2 圓的一般方程 課件-2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

2.4.2圓的一般方程1.掌握?qǐng)A的一般方程及其特點(diǎn).（重點(diǎn)）2.會(huì)將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能熟練地指出圓心的坐標(biāo)半徑的大小.（重點(diǎn)）3.能根據(jù)某些具體條件，運(yùn)用待定系數(shù)法確定圓的方程以及與圓有關(guān)的簡(jiǎn)單的軌跡方程問題．（難點(diǎn)）.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(x-a)2+(y-b)2=r2特征：直接看出圓心與半徑直線的一般方程：類比把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-a)2+(y-b)2=r2展開，得-22222202=-++-+rbabyaxyxDEFx2

＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0結(jié)論：任何一個(gè)圓方程可以寫成下面形式我們知道，方程(x-1)2+(y+2)2=4表示以(1,-2)為圓心，2為半徑的圓，可以將此方程變形為x2+y2-2x+4y+1=0.一般地，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2可以變形為x2+y2+Dx+Ey+F=0 (1)的形式.反過來，形如(1)的方程一定能通過恒等變形變?yōu)閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？思考對(duì)方程x2+y2-2x-4y+6=0進(jìn)行配方，得(x-1)2+(y-2)2=-1，例如，對(duì)于方程x2+y2-2x-4y+6=0，請(qǐng)檢驗(yàn)其能否變形為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.任意一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都不滿足這個(gè)方程，所以這個(gè)方程不表示任何圖形.所以，形如

x2+y2+Dx+Ey+F=0 (1)的方程不一定都能通過恒等變形變?yōu)閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程.那當(dāng)D，E，F(xiàn)滿足什么條件時(shí)這個(gè)方程表示圓？將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0

(2)，配方可得

那當(dāng)x2+y2+Dx+Ey+F=0中的D，E，F(xiàn)滿足什么條件時(shí)這個(gè)方程表示圓？

因此，當(dāng)D2+E2-4F>0

時(shí)，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一個(gè)圓，我們把它叫做圓的一般方程.

圓的一般式方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)式方程有何不同之處呢？說一說知識(shí)總結(jié)圓的一般式方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)式方程的不同之處：我們觀察一下這個(gè)二元二次方程不難發(fā)現(xiàn)：圓的一般方程突出了代數(shù)結(jié)構(gòu):(1)x2和y2系數(shù)相同，都不等于0.(2)沒有xy這樣的二次項(xiàng).(3)當(dāng)D2+E2-4F>0時(shí)，方程才表示一個(gè)圓.

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程明確給出了圓心坐標(biāo)和半徑圓的一般方程則明確表明其形式是一種特殊的二元二次方程．知識(shí)拓展

兩種方程的字母間的關(guān)系：

圓的一般式方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)式方程的比較：知識(shí)拓展

CxoyCxoyCxoyD=0E=0F=0例2求過三點(diǎn)O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圓的方程，并求這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑.解1：(待定系數(shù)法)設(shè)過O,M1,M2的圓方程為則∴過O,M1,M2的圓方程為解2：(待定系數(shù)法)設(shè)過O,M1,M2的圓方程為則∴過O,M1,M2的圓方程為例題講解求圓的方程常用待定系數(shù)法，其大致步驟如下：(1)根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；(2)根據(jù)條件列出關(guān)于a,b,r或D,E,F的方程組；(3)解出a,b,r或D,E,F，得到標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.歸納總結(jié)變式訓(xùn)練1.判斷下列方程分別表示什么圖形，并說明理由.(1)x2＋y2－2x＋4y－6＝0;(2)3x2＋3y2－2x＋4y－6＝0;(3)x2＋y2－2ax－b2＝0.(3)原方程等價(jià)于(x－a)2＋y2＝a2+b2因?yàn)閍2＋b2≥0，所以當(dāng)a＝b＝0時(shí)，方程表示原點(diǎn)；

建：建立直角坐標(biāo)系設(shè)：用坐標(biāo)表示有關(guān)的量限：限制條件

代：進(jìn)行有關(guān)代數(shù)運(yùn)算化：化簡(jiǎn)例題講解求軌跡方程的三種常用方法(1)直接法：根據(jù)題目條件，建立坐標(biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，找出動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，然后化簡(jiǎn)、證明；(2)定義法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡符合圓的定義時(shí)，可利用定義寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(3)代入法：若動(dòng)點(diǎn)P(x，y)依賴于某圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q(x1，y1)而運(yùn)動(dòng)，把x1，y1用x，y表示，再將Q點(diǎn)的坐標(biāo)代入到已知圓的方程中，得點(diǎn)P的軌跡方程．歸納總結(jié)變式訓(xùn)練2.已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)．求(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．解：(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x－2,2y)．因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON，則ON⊥PQ.所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋