3.3 冪函數(shù)課件-2024~2025學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

3.3

冪函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)

新課講授前面學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，利用函數(shù)概念和對(duì)函數(shù)的觀察，研究了函數(shù)的一些性質(zhì).本節(jié)我們利用這些知識(shí)研究一類(lèi)新的函數(shù).先看幾個(gè)實(shí)例.

問(wèn)題1：請(qǐng)觀察（1）—（5）中的函數(shù)解析式，討論它們有何共同特征.

概念講解一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù).注意：(1)自變量前的系數(shù)是1.(2)冪的系數(shù)為1.(3)α是任意常數(shù).(4)函數(shù)的定義域與α有關(guān).例1

在函數(shù)y＝

，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為()A.0

B.1

C.2

D.3B解析：∵y＝

＝x－2，∴是冪函數(shù)；y＝2x2由于出現(xiàn)系數(shù)2，因此不是冪函數(shù)；y＝x2＋x是兩項(xiàng)和的形式，不是冪函數(shù)；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函數(shù)y＝1的圖象比冪函數(shù)y＝x0的圖象多了一個(gè)點(diǎn)(0，1)，所以常函數(shù)y＝1不是冪函數(shù).歸納總結(jié)冪函數(shù)的判斷方法判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y=xα(α為常數(shù))的形式，即:(1)系數(shù)為1；(2)指數(shù)為常數(shù)；(3)后面不加任何項(xiàng).反之，若一個(gè)函數(shù)為冪函數(shù)，則該函數(shù)必是這種形式.練1.已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是冪函數(shù)，求m，n的值.練2.已知冪函數(shù)y=(k-1)xα的圖象過(guò)點(diǎn)(2，4)，則k+α等于(

)D解析：∵冪函數(shù)y=(k-1)xα的圖象過(guò)點(diǎn)(2，4)，∴k-1=1，2α=4，∴k=2，α=2.∴k+α=4，故選D.問(wèn)題2：根據(jù)之前所學(xué)，我們應(yīng)該從哪些方面來(lái)研究?jī)绾瘮?shù)？根據(jù)函數(shù)解析式先求出函數(shù)的定義域，然后畫(huà)出函數(shù)圖象，再利用圖象和解析式研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、值域、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性等問(wèn)題.問(wèn)題3：你能在同一坐標(biāo)系下作出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝

，y＝x－1這五個(gè)函數(shù)的圖象嗎？問(wèn)題4：觀察函數(shù)圖象以及函數(shù)解析式，完成下表.

y＝xy＝x2y＝x3y＝

y＝x－1定義域

值域

奇偶性

單調(diào)性

R

R

R

[0，＋∞){x|x≠0}R

[0，＋∞)

R

[0，＋∞)

{y|y≠0}奇函數(shù)

偶函數(shù)

奇函數(shù)

非奇非偶函數(shù)

奇函數(shù)增函數(shù)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－∞，0]上單調(diào)遞減增函數(shù)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，在(－∞，0)上單調(diào)遞減通過(guò)以上信息，我們可以得到：(1)函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝

和y＝x－1的圖象都通過(guò)點(diǎn)

；(2)函數(shù)y＝x，y＝x3，y＝x－1是

，函數(shù)y＝x2是

；(3)在區(qū)間(0，＋∞)上，函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝

，函數(shù)y＝x－1

；(4)在第一象限內(nèi)，函數(shù)y＝x－1的圖象向上與y軸

，向右與x軸_________.(1，1)奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)遞減無(wú)限接近無(wú)限接近單調(diào)遞增注意：一般冪函數(shù)的圖象特征(1)所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，因此在第一象限內(nèi)都有圖象，并且圖象都過(guò)點(diǎn)(1，1).(2)當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增.特別地，當(dāng)α>1時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)α＝1時(shí)，冪函數(shù)的解析式為y＝x；當(dāng)0<α<1時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸.(3)當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且函數(shù)在原點(diǎn)無(wú)意義.(4)在(－∞，0)上，冪函數(shù)有無(wú)圖象與α的取值有關(guān)，若函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)圖象一定出現(xiàn)在第二象限，若函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)圖象一定出現(xiàn)在第三象限.(5)冪指數(shù)互為倒數(shù)的冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象關(guān)于直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng).(6)在第一象限，作直線(xiàn)x＝a(a>1)，它同各冪函數(shù)圖象相交，按交點(diǎn)從下到上的順序，冪指數(shù)按從小到大的順序排列.例2如圖所示，圖中的曲線(xiàn)是冪函數(shù)y＝xn在第一象限的圖象，已知n取±2，

四個(gè)值，則相應(yīng)于C1，C2，C3，C4的n依次為()B練3.如圖所示，曲線(xiàn)C1與C2分別是函數(shù)y=xm和y=xn在第一象限內(nèi)的圖象，則下列結(jié)論正確的是(

)A.n<m<0 B.m<n<0C.n>m>0 D.m>n>0A例3

函數(shù)f(x)=(m2-m-5)xm-1是冪函數(shù)，且在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞增，試確定m的值.解：根據(jù)冪函數(shù)的定義，得m2-m-5=1，解得m=3或m=-2.當(dāng)m=3時(shí)，f(x)=x2在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)m=-2時(shí)，f(x)=x-3在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞減，不符合要求.故m=3.練4.如果冪函數(shù)y=(m2-3m+3)的圖象不過(guò)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值.解：由冪函數(shù)的定義得m2-3m+3=1，解得m=1或m=2；當(dāng)m=1時(shí)，m2-m-2=-2，函數(shù)為y=x-2，其圖象不過(guò)原點(diǎn)，滿(mǎn)足條件；當(dāng)m=2時(shí)，m2-m-2=0，函數(shù)為y=x0，其圖象不過(guò)原點(diǎn)，滿(mǎn)足條件.綜上所述，m=1或m=2.例4比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大小:歸納總結(jié)1.比較冪大小的三種常用方法

2.利用冪函數(shù)單調(diào)性比較大小時(shí)要注意的問(wèn)題比較大小的兩個(gè)實(shí)數(shù)必須在同一個(gè)函數(shù)的同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，否則無(wú)法比較大小.課堂總結(jié)根據(jù)本節(jié)課所學(xué)，回答下列問(wèn)題：(1)冪函數(shù)的定義.(2)幾個(gè)常見(jiàn)冪函數(shù)的圖象.(3)冪函數(shù)的性質(zhì).當(dāng)堂檢測(cè)1.下列函數(shù)中不是冪函數(shù)的是()A.y＝ B.y＝x3C.y＝3x D.y＝x－1CA3.已知冪函數(shù)f(x)=(m2-5m+7)x-m-1(m∈R)為偶函數(shù).(1)求

的值；(2)若f(2a+1)=f(a)，求實(shí)數(shù)a的值.解：(1)因?yàn)閒(x