專(zhuān)題29-2022年江蘇高考數(shù)學(xué)滿(mǎn)分限時(shí)題集

專(zhuān)題29大題限時(shí)練291．已知數(shù)列滿(mǎn)足：，，數(shù)列滿(mǎn)足：．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式（2）證明：數(shù)列中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列．【答案】（1），（2）見(jiàn)解析【詳解】（1）由題意可知，令，則又，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即，故，又，故因?yàn)?，故?）假設(shè)數(shù)列存在三項(xiàng)，，按某種順序成等差數(shù)列，由于數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，于是有成立，則只有可能有成立，化簡(jiǎn)整理后可得，，由于，且為整數(shù)，所以上式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，故等式不可能成立，導(dǎo)致矛盾．故數(shù)列中任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列．2．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．（1）求角；（2）若，，求的面積．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）由正弦定理知，，，，即，由余弦定理知，，，．（2）由（1）知，，即，，，，解得，，的面積．3．如圖，在四棱錐中，，，在以為直徑的半圓上（不包括端點(diǎn)），平面平面，，分別為，的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）當(dāng)四棱錐體積最大時(shí)，求二面角的余弦值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，，，，分別為，的中點(diǎn)，，，，，，平面平面，平面，平面；（2）當(dāng)四棱錐體積最大時(shí)，是中點(diǎn)，此時(shí)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，過(guò)作平面的垂線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，，0，，，，，，，，，，，，0，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，0，，平面的法向量，0，，設(shè)二面角的平面角為，則．二面角的余弦值為．4．冠狀病毒是一個(gè)大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征和嚴(yán)重急性呼吸綜合征等較嚴(yán)重疾病，而新型冠狀病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株人，感染了新型冠狀病毒后常見(jiàn)體征有呼吸道癥狀，發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等在較嚴(yán)重病例中，感染可導(dǎo)致肺炎，嚴(yán)重急性呼吸綜合征，腎衰竭，甚至死亡．假如某醫(yī)藥研究機(jī)構(gòu)合成了甲、乙兩種抗“新冠病毒”的藥物．經(jīng)試驗(yàn)，服用甲、乙兩種藥物痊愈的概率分別為，，現(xiàn)已進(jìn)入藥物臨床試用階段．每個(gè)試用組由4位該病毒的感染者組成．其中2人試用甲種抗病毒藥物，2人試用乙種抗病毒藥物．如果試用組中，甲種抗病毒藥物治愈人數(shù)超過(guò)乙種抗病毒藥物的治愈人數(shù)，則稱(chēng)該組為“甲類(lèi)組”．（1）求一個(gè)試用組為“甲類(lèi)組”的概率；（2）觀察3個(gè)試用組，用表示這3個(gè)試用機(jī)組“甲類(lèi)組”的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）設(shè)表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中，服用甲種抗病毒藥物有效的人數(shù)人”，，1，2，表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中，服用乙種抗病毒藥物有效的人數(shù)人”，，1，2，由題意可得，，，，，所以一個(gè)試用組為“甲類(lèi)組”的概率為；（2）的可能取值為0，1，2，3，且，則，，，，所以的分布列為：0123故的數(shù)學(xué)期望為．5．已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）試求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）由函數(shù)，得．另，得．列表如下：，0極小值因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為．（2）由（1）可知，．當(dāng)時(shí)，由，得函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0．當(dāng)時(shí)，因在，上是單調(diào)增，在上單調(diào)減，故，，時(shí)，．此時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．當(dāng)時(shí)，．①時(shí)，因?yàn)楫?dāng)，時(shí)，，所以，函數(shù)在區(qū)間，上無(wú)零點(diǎn)；另一方面，因?yàn)樵?，單調(diào)遞增，且，由，，且，此時(shí)，函數(shù)在，上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．②時(shí)，因?yàn)樵冢蠁握{(diào)遞增，且（1），，所以函數(shù)在區(qū)間，上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；另一方面，因?yàn)樵?，上是單調(diào)遞減，且又，且，（當(dāng)時(shí)，成立）此時(shí)，函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．所以，當(dāng)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．綜上所述，當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，或時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．6．設(shè)橢圓的離心率，過(guò)橢圓上一點(diǎn)作兩條不重合且傾斜角互補(bǔ)的直線(xiàn)、分別與橢圓交于、兩點(diǎn)，且中點(diǎn)為．（1）求橢圓方程．（2）橢圓上是否存在不同于的定點(diǎn)，使得的面積為定值，如果存在，求定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析【詳解】（1）依題意得，解得，，，所以橢圓．（2）解法一：因?yàn)橹本€(xiàn)、的傾斜角互補(bǔ)，所以設(shè)直線(xiàn)、的方程為，，所以，，，，聯(lián)立方程消元得：，所以，所以，所以，同理得，，設(shè)，則，，所以，所以點(diǎn)在直線(xiàn)上，所以當(dāng)時(shí)，的面積為定值．此時(shí)的直線(xiàn)方程為，即，因?yàn)橄茫海獾没颍ㄉ崛ィ詸E圓上存在不同于的定點(diǎn)，使得的面積為定值．（2）解法二：設(shè)直線(xiàn)、的斜率為，，，，，，因?yàn)橹本€(xiàn)、的傾斜角互補(bǔ)，所以，設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程消元得：，所以，，，所以，