第03節(jié)三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合類型中隱零點問題的探究（學(xué)生版）

第03節(jié)三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合類型中隱零點問題的探究第三節(jié)三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合類型中隱零點問題的探究三角函數(shù)和導(dǎo)數(shù)相結(jié)合問題是高考常見的類型，同時，在函數(shù)中會涉及三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，類似等類型，這三類廣義上被稱為超越函數(shù)，求解這類題目需要運(yùn)用放縮、換元、分類討論等方法．在求導(dǎo)過程中，由于三角函數(shù)具有周期性，難以通過多次求導(dǎo)使三角函數(shù)消失，這造成學(xué)生思維上的障礙．因此，教師有必要通過深入研究和分析出三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合問題的解決方法，建立解決此類問題的數(shù)學(xué)思維模型，進(jìn)而更加有效地解決此類問題．下面本文對三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合類型中隱零點問題進(jìn)行探究．1三角函數(shù)和對數(shù)型函數(shù)結(jié)合的極值與隱零點問題例1已知函數(shù)為的導(dǎo)數(shù)．證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點；（2）有且僅有2個零點．分析本題考查的是三角函數(shù)和對數(shù)型函數(shù)的綜合問題，是一道導(dǎo)數(shù)的壓軸題．三角函數(shù)的出現(xiàn)從已知條件上就讓考生產(chǎn)生畏懼心理，達(dá)到初步選拔的作用．第（1）問中極大值的唯一性，本質(zhì)上還是在導(dǎo)數(shù)的層面上研究零點問題，零點值不能具體解得，注重考查隱零點的運(yùn)用，進(jìn)一步達(dá)到區(qū)分不同層次考生的目的．第（2）問表面上是常規(guī)的零點問題，實際上對考生提出進(jìn)一步的要求，考查考生在分類討論的基礎(chǔ)上對隱零點問題的掌握和運(yùn)用的程度，進(jìn)而更加有效地起到區(qū)分和選拔考生的關(guān)鍵作用．解析（1）由題意知（如圖1甲所示）定義域為且（如圖1乙所示），令，（如圖1丙所示）．因為函數(shù)與在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減．又，，所以，使得．當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則為唯一的極大值點，故在區(qū)間上存在唯一的極大值點．（2）將定義域分成四個區(qū)間：，進(jìn)行函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)零點存在性的討論．當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，存在唯一零點．當(dāng)時，由（1）知在內(nèi)存在唯一極大值點，故引入對極值點和零點進(jìn)行虛設(shè)，這種隱零點的使用是對考生數(shù)學(xué)抽象能力運(yùn)用在具體題目中的進(jìn)一步考驗．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以在上單調(diào)遞增，此時，不存在零點．又因為，所以，使得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又因為，，所以在上恒成立，此時不存在零點．故當(dāng)時，，從而在上不存在零點．當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，，所以在存在唯一零點．當(dāng)時，，所以在沒有零點．綜上，有且僅有2個零點．點評本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，考查考生基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性四個關(guān)鍵能力，同時，對考生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)分析六個核心素養(yǎng)要求較高，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、求解極值和零點問題，重點考查等價轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想．對函數(shù)多次求導(dǎo)將極值問題轉(zhuǎn)化成零點問題，需要較強(qiáng)的邏輯推理能力，實質(zhì)上極值點也是一類零點問題．零點問題主要有四類：零點存在性問題、零點個數(shù)問題、零點求解問題、零點應(yīng)用問題，在求解零點過程中無法具體解得零點時，考生應(yīng)該引入隱零點，隱零點一般采用設(shè)而不求的策略，可以虛設(shè)零點，估算零點位置，進(jìn)而運(yùn)用代換轉(zhuǎn)化、參數(shù)分離、放縮等方法解決問題．2三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)結(jié)合中含有參數(shù)的極值與隱零點問題例2已知函數(shù)．若在上有且僅有1個極值點，求a的取值范圍．解析由題知（如圖2甲所示），（如圖2乙所示）．當(dāng)時，無極值點．當(dāng)時，設(shè)，則（如圖2丙所示）．由于，故，使得，即，故．因為，所以，無極值點．當(dāng)時，無極值點．當(dāng)時，易知．因為在上有且僅有1個極值點，所以，即，故a的取值范圍為．點評本題重點考查三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性、周期性、特殊點和放縮法，先結(jié)合參數(shù)范圍確定單調(diào)性，再進(jìn)行分類討論．關(guān)鍵是分析函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性，通過二次求導(dǎo)得到，然后代入，通過的放縮，確定此區(qū)間內(nèi)無極值點，結(jié)合范圍進(jìn)行適當(dāng)放縮是解決三角函數(shù)型導(dǎo)數(shù)問題的必要方法，一些結(jié)論需要先證后用，對邏輯推理思維能力有較高要求．隱零點的運(yùn)用要注重三個步驟：1）根據(jù)已知條件確定零點的存在范圍；2）根據(jù)零點的意義進(jìn)行代數(shù)式的替換；3）結(jié)合前兩步確定目標(biāo)函數(shù)的范圍．最后，結(jié)合零點存在性定理得到最終結(jié)果．3三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)結(jié)合的不等式與隱零點問題例3已知函數(shù)，當(dāng)時，求證：對任意的，都有．解析因為（如圖3甲所示），所以（如圖3乙所示）．設(shè)，則（如圖3丙所示）．當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減．因為，，所以，使得．當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減．因為，所以當(dāng)時，對任意的，都有．點評本題是指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的綜合問題，根據(jù)型函數(shù)的特點，利用其性質(zhì)、范圍、導(dǎo)數(shù)等優(yōu)化函數(shù)表達(dá)式．同時在已知參數(shù)范圍的前提下，利用參數(shù)邊界的特點確定不等式的范圍，達(dá)到消參或者放縮不等式的目標(biāo)．運(yùn)算過程中對結(jié)果的估算也是必不可少的，估算可以減少不必要的計算過程，在解題過程中需要使