專(zhuān)題10兩角和與差的三角函數(shù)（原卷版）

2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)項(xiàng)微專(zhuān)題核心考點(diǎn)突破專(zhuān)題10兩角和與差的三角函數(shù)1專(zhuān)題綜述兩角和與差的三角函數(shù)，由于集中交匯了三角函數(shù)內(nèi)部各知識(shí)模塊間的內(nèi)容，還常常涉及函數(shù)、向量、解三角形等知識(shí)，形成了化簡(jiǎn)、求值(最值)求單調(diào)區(qū)間等多種題型，對(duì)于考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、計(jì)算能力推理能力是一個(gè)很好的平臺(tái).本節(jié)內(nèi)容是高考數(shù)學(xué)試卷中必考的、反復(fù)考查的知識(shí)點(diǎn)，要求學(xué)生能夠做到熟練掌握、靈活運(yùn)用.在《考試大綱》中，對(duì)兩角和與差的三角函數(shù)的要求是:(1)會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式；(2)能利用兩角差的余弦公式，導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式；(3)能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式.由此，我們可以分析出本節(jié)內(nèi)容的兩個(gè)考點(diǎn):能由兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式，及兩角和與差的正弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并能靈活運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換.命題趨勢(shì)分析:近3年來(lái)，各地的高考數(shù)學(xué)試卷中，對(duì)兩角和與差的三角函數(shù)的考查在選擇題、填空題和解答題中都有出現(xiàn)，其命題規(guī)律大致為:利用兩角和與差的三角函數(shù)公式直接進(jìn)行求值，或通過(guò)兩角和與差公式的逆用、變形使用進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)，主要考查兩角和與差的三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)和利用這些知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算的能力；通過(guò)拆角、拼角等方法，利用兩角和與差三角函數(shù)公式進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)，考查學(xué)生的推理能力和運(yùn)算能力；以?xún)山呛团c差的三角函數(shù)、解三角形、函數(shù)、向量等知識(shí)為素材形成交匯，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用上述知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算求解的能力.通過(guò)研究已經(jīng)公布的2018年《考試說(shuō)明》發(fā)現(xiàn)，2018年高考對(duì)本節(jié)知識(shí)的考查要求未有改變.近3年高考的命題思路和命題風(fēng)格均相對(duì)穩(wěn)定，預(yù)計(jì)2018年高考對(duì)兩角和與差的三角函數(shù)的考查會(huì)延續(xù)上述命題的思路和風(fēng)格.2難點(diǎn)與剖析2.1難點(diǎn)梳理對(duì)于求值(求角)、化簡(jiǎn)等題型來(lái)說(shuō)，學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)有兩個(gè):一是如何準(zhǔn)確地記住眾多兩角和與差的三角函數(shù)公式，以及如何理解這些公式之間的內(nèi)在聯(lián)系；二是如何根據(jù)題目條件中三角函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式去選擇合適的方法來(lái)解決問(wèn)題.對(duì)于兩角和與差的三角函數(shù)與三角函數(shù)、解三角形、向量等知識(shí)的綜合題型，對(duì)學(xué)生的思維和運(yùn)算能力要求相對(duì)較高，難度較大.2.2突破難點(diǎn)如何才能讓學(xué)生準(zhǔn)確記住兩角和與差的三角函數(shù)的公式，并能理解這些公式之間的關(guān)系，我們的做法是:在復(fù)習(xí)時(shí)，幫助學(xué)生回憶并重建這些知識(shí)，包括兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過(guò)程，以及由此出發(fā)，推導(dǎo)出兩角和的余弦公式、兩角和與差的正弦公式、兩角和與差的正切公式.通過(guò)這些公式的推導(dǎo)，讓學(xué)生深刻理解這些公式的來(lái)龍去脈和公式之間的聯(lián)系，建立起完整的知識(shí)結(jié)構(gòu).同時(shí)，也復(fù)習(xí)了解決三角函數(shù)問(wèn)題中常用的數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、整體代換等思想方法，以及弦化切、切化弦、正弦與余弦互化等常用方法.如何才能根據(jù)題目中的三角函數(shù)結(jié)構(gòu)形式，選擇合適的方法來(lái)解決問(wèn)題?我們的做法是:分析結(jié)構(gòu)、尋找規(guī)律、巧用方法.分析結(jié)構(gòu)，就是要認(rèn)真分析已知式子和所求式子的整體結(jié)構(gòu)之間的異同點(diǎn)，幫助我們找到變形的方向；尋找規(guī)律，就是要尋求函數(shù)名之間、角之間的差別和聯(lián)系，為我們選用正確的方法做好前期準(zhǔn)備；巧用方法，就是要熟練掌握解決三角求值、化簡(jiǎn)的常用方法:切化弦法、升降冪法、輔助元素法、“1”的代換法等，熟悉角的拆拼、變換的技巧.兩角和與差的三角函數(shù)與其他三角函數(shù)的綜合，通常需要將f(x)的解析式轉(zhuǎn)化為fx針對(duì)不同問(wèn)題的個(gè)性化的難點(diǎn)突破方法，我們將通過(guò)下面的典例剖析加以闡述.3典例剖析例1(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x軸為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).若sinα=13，則(2)sin20°(3)sin15°(4)已知sin(α+β)=12,(5)tan23°(6)1-tanα例2(1)若tanα-π4=(2)已知tan(α+β)=2,tan(α-β)=3，則(3)已知sin3π4+α=5 .(4)已知tan(α-β)=12,例3(1)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若△ABC為銳角三角形，且滿足sinBA．a(chǎn)=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A(2)在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC例4已知向量a=(cos(I)若a∥b，求x的值；(Ⅱ)記f(x)=a?b，求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值.例5△ABC的內(nèi)角A，B，C.已知△ABC的面積為a2(I)求sinB(Ⅱ)若6cosBcosC=1,a=3

1．已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，將終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A． B． C． D．2．已知α∈(0,π)，α≠π4，sinα+2A．-17 B．17 C．3．已知，則（）A． B．2 C． D．4．已知銳角α，β滿足sinα=55，A．3π4 B．π4或3π4 C．π4 D．2k5．設(shè)為第二象限角，若，則（）A.B.C.D.6．已知，則（）A． B． C．2 D．37．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．已知，a=2，c=，則C=A． B． C． D．8．已知，點(diǎn)為角的終邊上一點(diǎn)，且，則角（）A． B． C． D．9．已知的最小值為A． B． C． D．10．已知，且，則（）A． B． C． D．11．已知，，則()A． B． C．或 D．12．已知，則（）A． B． C． D．13．已知α、β為銳角，cosα＝，tan(α?β)＝?，則tanβ＝()A． B．3 C． D．14．在中，已知，，（）A． B． C．或 D．以上答案都不對(duì)15．若，則（）A． B． C． D．16．函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_______.17．已知?jiǎng)t________.18．已知α為銳角，且cos(α＋)＝，則sinα＝________．19．若，，則______．20．已知，，則的值為．21．已知，則的值是_____.22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).若，則=___________.23．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則__________．24．直線與半圓交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)的傾斜角是，則_______25．____________．26．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，，，且滿足，.（1）求角的大??；（2）求的值.27．已知．，其中.為銳角，且.（1）求的值；（2）若，求及的值．28．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若B=2C，2b=3c.（I）求cosC的值（II）求sin(2C+)的值.29．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足，.（1）求的值；（2）求的值。30．已知函數(shù)．Ⅰ求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；Ⅱ若，，求的值．31．在中，角，，的對(duì)邊分別是，