第06講雙曲線分層精練

第06講雙曲線A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·江西·高二校聯(lián)考期中）若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】方程表示雙曲線,則，解得或，故選：D2．（2023·四川成都·?？家荒＃┮阎行脑谠c(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，因?yàn)?，所以，則，所以漸近線方程為.故選：C.3．（2023春·湖南衡陽·高二衡陽市八中校考階段練習(xí)）已知雙曲線的漸近線方程為，若雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為12，則雙曲線C的焦距為（

）A．30 B．24 C．15 D．12【答案】A【詳解】依題意，右焦點(diǎn)到漸近線的距離，解得，所以雙曲線C的焦距為30.故選：A.4．（2023·陜西安康·統(tǒng)考三模）若雙曲線的漸近線與圓相切，則k=（

）A．2 B． C．1 D．【答案】B【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即,∵雙曲線的漸近線與圓相切，且圓心為，∴，解得．故選：B5．（2023·四川遂寧·射洪中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，若直線與只有一個(gè)交點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】雙曲線可得，，，所以雙曲線的漸近線方程為，右焦點(diǎn)為，因?yàn)橹本€與只有一個(gè)交點(diǎn)，所以直線與雙曲線的漸近線平行，所以，解得.故選：B.6．（2023秋·安徽滁州·高三校考期末）若雙曲線的兩條漸近線與直線圍成了一個(gè)等邊三角形，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題可知，則的離心率．故選：A.7．（2023·四川綿陽·模擬預(yù)測）與橢圓有公共焦點(diǎn)，且離心率的雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：在雙曲線中：，，所以，，，所以雙曲線的方程為：.故選：B8．（2023春·陜西安康·高三?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線：的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的一條漸近線上，為坐標(biāo)原點(diǎn).若，則的面積為（

）A． B．1 C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)殡p曲線，可知右焦點(diǎn)為，，又，所以點(diǎn)在線段的中垂線上，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，又雙曲線的漸近線方程為，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即的高為，所以的面積為.故選：C.

二、多選題9．（2023春·安徽·高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)雙曲線，其離心率為，虛軸長為，則（

）A．上任意一點(diǎn)到的距離之差的絕對值為定值B．雙曲線與雙曲線：共漸近線C．上的任意一點(diǎn)（不在軸上）與兩頂點(diǎn)所成的直線的斜率之積為D．過點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn)，不可能是弦中點(diǎn)【答案】AB【詳解】雙曲線的離心率為，虛軸長為，所以，解得，所以雙曲線，所以兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，由雙曲線定義知，故A正確；雙曲線的漸近線方程是，雙曲線：的漸近線方程也是，故B正確；上的任意一點(diǎn)（不在軸上）設(shè)為，則，即，又兩頂點(diǎn)為，所以斜率之積為，故C錯(cuò)誤；易知點(diǎn)在雙曲線的右側(cè)，此區(qū)域內(nèi)存在一條直線交于兩點(diǎn)，使是弦中點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：AB10．（2023秋·湖南長沙·高二統(tǒng)考期末）已知，，直線AP，BP相交于P，直線AP，BP的斜率分別為，則（

）A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為除去A，B兩點(diǎn)的橢圓B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為除去A，B兩點(diǎn)的雙曲線C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為拋物線D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為一條直線【答案】AB【詳解】設(shè)，A選項(xiàng)，，故，變形為，且，故點(diǎn)的軌跡為除去A，B兩點(diǎn)的橢圓，A正確；B選項(xiàng)，，故，變形為，且，故點(diǎn)的軌跡為除去A，B兩點(diǎn)的雙曲線，B正確；C選項(xiàng)，，故，變形為，且，故點(diǎn)的軌跡為除去A，B兩點(diǎn)的拋物線，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，即，變形為，且，故點(diǎn)的軌跡為除去點(diǎn)的直線，D錯(cuò)誤；故選：AB三、填空題11．（2023春·上海浦東新·高二上海南匯中學(xué)?？计谥校┮阎?，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C上，，則．【答案】/【詳解】，，則，，，.故答案為：.12．（2023·河南南陽·南陽中學(xué)?？寄M預(yù)測）若直線與雙曲線有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是．【答案】【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由雙曲線與直線有交點(diǎn)，則有，所以，則雙曲線的離心率的取值范圍為．故答案為：．四、解答題13．（2023春·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？计谥校┮阎p曲線，焦點(diǎn)為，其中一條漸近線的傾斜角為，點(diǎn)在雙曲線上，且.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線交于兩點(diǎn)，若的面積為，求正實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由條件知，，故.即雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，到直線的距離為，聯(lián)立得，由，解得，又，故，而又由，故弦長，，又，解得，，又，故.14．（2023秋·高二單元測試）已知雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，它們的離心率之和為．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)P是雙曲線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意設(shè)雙曲線的方程為（，），（），由橢圓得到焦點(diǎn)為，橢圓的離心率為.因?yàn)殡p曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，則，因?yàn)殡p曲線與橢圓的離心率之和為，所以雙曲線的離心率為，則，即，所以，故雙曲線的方程是.（2）由（1）結(jié)合雙曲線和橢圓的定義得：，，解得：或，又，所以在由余弦定理得：，故的值為.B能力提升1．（2023春·四川廣元·高二廣元中學(xué)?？计谥校╇p曲線的左焦點(diǎn)為F1（－c,0），過點(diǎn)F1作直線與圓x2＋y2＝相切于點(diǎn)A，與雙曲線的右支交于點(diǎn)B，若，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接，

，所以，，即，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與圓相切于點(diǎn)，，是的中點(diǎn)，，，，，由雙曲線的定義可得，，，，因此，該雙曲線的離心率為.故選：B.2．（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)過原點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線C：的左，右支分別交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，若三角形的面積大于，則C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】不妨設(shè)是雙曲線的左焦點(diǎn)，由題可知，直線的方程為，由，得，且，所以，，因?yàn)?，且大于，所以，所以，解得，又因?yàn)?，解得，所以，故選：D．3．（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線的左頂點(diǎn)為A，以為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于P，Q兩點(diǎn)，其中點(diǎn)Q在y軸右側(cè)，若，則該雙曲線的離心率的取值范圍是.【答案】【詳解】依題意可得，以為直徑的圓的方程為，不妨設(shè)雙曲線的這條漸近線方程為，由，得：或，所以，雙曲線的左頂點(diǎn)為，則，所以，，因?yàn)?，所以，化簡得，所以，所以，所以，又，所?故答案為：

4．（2023春·湖北宜昌·高二葛洲壩中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)且與軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點(diǎn)，且在第三象限，四邊形為平行四邊形，為直線的傾斜角，若，則該雙曲線離心率的取值范圍是.【答案】【詳解】解：因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)且與軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點(diǎn)，且在第三象限，四邊形為平行四邊形，所以由雙曲線的對稱性可知點(diǎn)B也在雙曲線的漸近線上，且B在第一象限，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)闉橹本€的傾斜角，且，所以在中，，且，則，即，即，即，解得，所以該雙曲線離心率的取值范圍是，故答案為：C綜合素養(yǎng)1．（2023·四川涼山·三模）已知雙曲線T：的離心率為，且過點(diǎn)．若拋物線C：的焦點(diǎn)F與雙曲線T的右焦點(diǎn)相同．(1)求拋物線C的方程；(2)過點(diǎn)且斜率為正的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)（A在M，B之間），點(diǎn)N滿足：，求與面積之和的最小值，并求此時(shí)直線l的方程．【答案】(1)(2)．【詳解】（1）由題意得：，解之得，即雙曲線的右焦點(diǎn)為，，所以；（2）根據(jù)題意不妨設(shè)直線l的方程為，，，，則由得∴∵，∴，又，同理，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，“＝”成立，即，此時(shí)，直線l的方程為．2．（2023春·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線的實(shí)軸長為，離心率為.動(dòng)點(diǎn)P是雙曲線C上任意一點(diǎn).(1