2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第3章不等式3.2.2基本不等式的應(yīng)用課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析蘇教版必修第一冊(cè)

PAGE課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)十二基本不等式的應(yīng)用(15分鐘35分)1.已知a>b>0,全集為R,集合M=xb<x<QUOTE,N={x|QUOTE<x<a},P={x|b<x≤QUOTE},則M,N,P滿意 ()A.P=M∩(RN) B.P=(RM)∩NC.P=M∪N D.P=M∩N【解析】選A.由a>b>0結(jié)合基本不等式可得,a>QUOTE>QUOTE>b,故P=M∩(RN).2.某工廠第一年產(chǎn)量為A,其次年的增長(zhǎng)率為a,第三年的增長(zhǎng)率為b,這兩年的平均增長(zhǎng)率為x,則 ()A.x=QUOTE B.x≤QUOTEC.x>QUOTE D.x≥QUOTE【解析】選B.由條件知A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,所以(1+x)2=(1+a)(1+b)≤QUOTE,所以1+x≤1+QUOTE,故x≤QUOTE.3.已知a>0,b>0,ab=1,且m=b+QUOTE,n=a+QUOTE,則m+n的最小值是 ()A.3 B.4 C.5 D.6【解題指南】利用“1”的代換解題.【解析】選B.因?yàn)閍b=1,所以m=b+QUOTE=2b,n=a+QUOTE=2a,所以m+n=2(a+b)≥4QUOTE=4.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí),等號(hào)成立.【補(bǔ)償訓(xùn)練】若實(shí)數(shù)a,b滿意QUOTE+QUOTE=QUOTE,則ab的最小值為 ()A.QUOTE B.2 C.2QUOTE D.4【解析】選C.由題意知a>0,b>0,則QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE,即b=2a時(shí)等號(hào)成立.所以QUOTE≥QUOTE,即ab≥2QUOTE.4.周長(zhǎng)為QUOTE+1的直角三角形面積的最大值為_(kāi)_______.

【解析】設(shè)直角三角形的兩條直角邊邊長(zhǎng)分別為a,b,則QUOTE+1=a+b+QUOTE≥2QUOTE+QUOTE,解得ab≤QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=QUOTE時(shí)取等號(hào),所以直角三角形面積S≤QUOTE,即S的最大值為QUOTE.答案:QUOTE5.某公司一年購(gòu)買某種貨物400噸,每次都購(gòu)買x噸,運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元,要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,則x=________.

【解析】總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和f(x)=4x+QUOTE×4=4x+QUOTE≥2QUOTE=160,當(dāng)且僅當(dāng)4x=QUOTE,即x=20時(shí)取等號(hào).答案:206.設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1.證明:(1)ab+bc+ac≤QUOTE.(2)QUOTE+QUOTE+QUOTE≥1.【證明】(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由題設(shè)得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤QUOTE.(2)因?yàn)镼UOTE+b≥2a,QUOTE+c≥2b,QUOTE+a≥2c.故QUOTE+QUOTE+QUOTE+(a+b+c)≥2(a+b+c),即QUOTE+QUOTE+QUOTE≥a+b+c.所以QUOTE+QUOTE+QUOTE≥1.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.若x,y為正數(shù),且QUOTE+2y=3,則QUOTE的最大值為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.由x,y為正數(shù)得3=QUOTE+2y≥2QUOTE,所以QUOTE≤QUOTE,QUOTE≤QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)x=QUOTE,y=QUOTE時(shí)等號(hào)成立.2.將一根鐵絲切割成三段做一個(gè)面積為2m2,形態(tài)為直角三角形的框架,在下列四種長(zhǎng)度的鐵絲中,選用最合理(夠用且奢侈最少)的是 ()A.6.5m B.6.8mC.7m D.7.2m【解析】選C.設(shè)兩直角邊分別為a,b,直角三角形框架的周長(zhǎng)為l,則QUOTEab=2,所以ab=4,l=a+b+QUOTE≥2QUOTE+QUOTE=4+2QUOTE≈6.828(m).因?yàn)橐髩蛴们疑莩拮钌?故應(yīng)選擇7m長(zhǎng)的鐵絲.3.已知a>0,b>0,若不等式QUOTE+QUOTE≥QUOTE恒成立,則m的最大值為 ()A.9 B.12 C.18 D.24【解析】選B.由QUOTE+QUOTE≥QUOTE得m≤(a+3b)QUOTE=QUOTE+QUOTE+6,又QUOTE+QUOTE+6≥2QUOTE+6=12,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE,即a=3b時(shí)等號(hào)成立.所以m≤12,所以m的最大值為12.【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)a>0,b>0,且不等式QUOTE+QUOTE+QUOTE≥0恒成立,則實(shí)數(shù)k的最小值等于()A.0 B.4 C.-4 D.-2【解析】選C.由QUOTE+QUOTE+QUOTE≥0,得k≥QUOTE,而QUOTE=QUOTE+QUOTE+2≥4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立,所以-QUOTE≤-4,因此要使k≥-QUOTE恒成立,應(yīng)有k≥-4,即實(shí)數(shù)k的最小值等于-4.4.若x,y為正數(shù),則QUOTE+QUOTE的最小值是 ()A.3 B.QUOTE C.4 D.QUOTE【解析】選C.QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE≥4,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE即x=y=QUOTE時(shí)等號(hào)成立.【誤區(qū)警示】同一題目中多次用基本不等式,必需保證每次用時(shí)等號(hào)成立的條件相同.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)5.已知a>0,b>0,a+b=1,對(duì)于代數(shù)式1+QUOTE1+QUOTE,下列說(shuō)法正確的是 ()A.最小值為9B.最大值是9C.當(dāng)a=b=QUOTE時(shí)取得最小值D.當(dāng)a=b=QUOTE時(shí)取得最大值【解析】選AC.QUOTE=1+QUOTE1+QUOTE=QUOTE·QUOTE=5+2QUOTE≥5+4=9.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=QUOTE時(shí),取等號(hào).6.某單位在國(guó)家科研部門的支持下,進(jìn)行技術(shù)攻關(guān),采納了新工藝,把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸,最多為600噸,月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=QUOTEx2-200x+80000,且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元.以下推斷正確的是 ()A.該單位每月處理量為400噸時(shí),才能使每噸的平均處理成本最低B.該單位每月最低可獲利20000元C.該單位每月不獲利,也不虧損D.每月須要國(guó)家至少補(bǔ)貼40000元才能使該單位不虧損【解析】選AD.由題意可知,二氧化碳每噸的平均處理成本為QUOTE=QUOTEx+QUOTE-200≥2QUOTE-200=200,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTEx=QUOTE,即x=400時(shí)等號(hào)成立,故該單位月處理量為400噸時(shí),才能使每噸的平均處理成本最低,最低成本為200元.設(shè)該單位每月獲利為S元,則S=100x-y=100x-QUOTE=-QUOTEx2+300x-80000=-QUOTE(x-300)2-35000,因?yàn)閤∈[400,600],所以S∈[-80000,-40000].故該單位每月不獲利,須要國(guó)家每月至少補(bǔ)貼40000元才能不虧損.三、填空題(每小題5分,共10分)7.在4×□+9×□=60的兩個(gè)□中,分別填入兩個(gè)自然數(shù),使它們的倒數(shù)和最小,應(yīng)分別填上________和________.

【解析】設(shè)兩數(shù)分別為x,y,即4x+9y=60,QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE≥QUOTE×(13+12)=QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE,且4x+9y=60,即x=6且y=4時(shí),等號(hào)成立,故應(yīng)分別填上6,4.答案:64【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)x,y均為正數(shù),且xy+x-y-10=0,則x+y的最小值是________.

【解析】由xy+x-y-10=0,得x=QUOTE=QUOTE+1,所以x+y=QUOTE+1+y≥2QUOTE=6,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=1+y,即y=2時(shí),等號(hào)成立.答案:68.為凈化水質(zhì),向一個(gè)游泳池加入某種化學(xué)藥品,加藥后池水中該藥品的濃度C(單位:mg·L-1)隨時(shí)間t(單位:h)的改變關(guān)系為C=QUOTE,則經(jīng)過(guò)________h后池水中該藥品的濃度達(dá)到最大.

【解析】C=QUOTE=QUOTE.因?yàn)閠>0,所以t+QUOTE≥2QUOTE=4當(dāng)且僅當(dāng)t=QUOTE,即t=2時(shí),等號(hào)成立.所以C=QUOTE≤QUOTE=5,即當(dāng)t=2時(shí),C取得最大值.答案:2四、解答題(每小題10分,共20分)9.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:(1)xy的最小值.(2)x+y的最小值.【解析】(1)由2x+8y-xy=0,得QUOTE+QUOTE=1,又x>0,y>0,則1=QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=QUOTE,得xy≥64,當(dāng)且僅當(dāng)x=16,y=4時(shí),等號(hào)成立.所以xy的最小值為64.(2)由2x+8y-xy=0,得QUOTE+QUOTE=1,則x+y=QUOTE·(x+y)=10+QUOTE+QUOTE≥10+2QUOTE=18.當(dāng)且僅當(dāng)x=12且y=6時(shí)等號(hào)成立,所以x+y的最小值為18.10.運(yùn)貨卡車以每小時(shí)x千米的速度勻速行駛130千米,按交通法規(guī)限制50≤x≤100(單位:千米/時(shí)).假設(shè)汽油的價(jià)格是每升2元,而汽車每小時(shí)耗油QUOTE升,司機(jī)的工資是每小時(shí)14元.(1)求這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式.(2)當(dāng)x為何值時(shí),這次行車的總費(fèi)用最低,并求出最低費(fèi)用的值.【解析】(1)設(shè)所用時(shí)間為t=QUOTE(h),y=QUOTE×2×QUOTE+14×QUOTE,x∈[50,100].所以,這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式是y=QUOTE+QUOTEx,x∈[50,100].(或y=QUOTE+QUOTEx,x∈[50,100]).(2)y=QUOTE+QUOTEx≥26QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTEx,即x=18QUOTE時(shí),等號(hào)成立.故當(dāng)x=18QUOTE時(shí),這次行車的總費(fèi)用最低,最低費(fèi)用的值為26QUOTE元.1.已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿意a2-2ab+9b2-c=0,則當(dāng)QUOTE取得最大值時(shí),QUOTE+QUOTE-QUOTE的最大值為_(kāi)_______.

【解析】正實(shí)數(shù)a,b,c滿意a2-2ab+9b2-c=0,得QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE≤QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE,即a=3b時(shí),QUOTE取最大值QUOTE.又因?yàn)閍2-2ab+9b2-c=0,所以此時(shí)c=12b2,所以QUOTE+QUOTE-QUOTE=QUOTE+QUOTE-QUOTE=QUOTE≤QUOTE=1.當(dāng)且僅當(dāng)a=3,b=1時(shí),等號(hào)成立.故最大值為1.答案:1【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)a>b>c>0,則2a2+QUOTE+QUOTE-10ac+25c2的最小值是 ()A.2 B.4 C.2QUOTE D.5【解析】選B.2a2+QUOTE+QUOTE-10ac+25c2=(a-5c)2+a2-ab+ab+QUOTE+QUOTE=(a-5c)2+ab+QUOTE+a(a-b)+QUOTE≥0+2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)a-5c=0,ab=1,a(a-b)=1時(shí),等號(hào)成立,如取a=QUOTE,b=QUOTE,c=QUOTE時(shí)滿意條件.2.我們學(xué)習(xí)了二元基本不等式:設(shè)a>0,b>0,QUOTE≥QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立,利用基本不